架通“結”字橋 數(shù)形天塹變通途

師：大家好，很高興和大家一起學習。張老師今天來上課，是帶了禮物來的———魔術表演。喜歡嗎？請大家看一段劉謙的魔術。（魔術表演視頻：一個拼圖，拼成正方形。在表演過程中，劉謙分別增加一個1×1的正方形和一個1×2的長方形，每次增加后，形狀和面積都保持不變）神奇嗎？（生：神奇）最神奇的是什么？

生1：增加兩塊后，面積不變。

師：是的，這似乎完全顛覆了我們關于面積的認識，增加兩塊，面積肯定增加，為什么面積會不變呢？今天這節(jié)課，我們有一個重要的任務，就是要破解這個魔術！有沒有興趣？

生（齊）：有興趣！

師：好的，那學習一個什么內容就能破解這個魔術呢？（出示課題：數(shù)與形）數(shù)，我們有沒有學過？（生：學過）說一說，都學過什么數(shù)？（生舉例：整數(shù)、小數(shù)……）形呢？有沒有學過？（生舉例：長方形、正方形、圓形……）數(shù)，我們已經(jīng)學過；形，我們也學過。大家想一想，為什么還要學習數(shù)與形？會要學點什么呢？

生：聯(lián)系起來學。學習它們之間的關系。

師：說得非常好，以前，我們學數(shù)的時候只學數(shù)，學形的時候只學形。今天，我們要結合起來學，學習數(shù)與形的關系。關于今天的學習，老師提出三個詞作為目標：第一個是“認識”，對數(shù)與形之間的關系有一點點認識；第二個是“理解”；第三個是“欣賞”。關于數(shù)與形的關系，有一位著名的數(shù)學家作了非常精辟的論述，我們來看一看。（課件出示圖1）請大家一起讀一讀這句話。（生齊讀）我愿意相信，現(xiàn)在大家讀這句話沒什么特別的感受，老師希望大家能通過這一節(jié)課的學習，認識、理解繼而欣賞這句話。

師：（出示算式：1=1×1）沒問題吧？

生：沒問題。

師：（出示算式：1+3=）算一算？

生：4。

師：當然是4，但能不能結合第一個算式，換一個答案？

生2：2×2。

師：了不起！特別有數(shù)學的眼光。1=1×1，1+ 3=2×2，非常工整。再看：1+3+5=？

生3：3×3。

師：特別好！再來：1+3+5+7=？

生4：4×4。

師：你計算了沒有？（學生有的說計算了，有的說不用計算）我們一起算一下吧。真的是16，4×4，沒問題。其實正如有些同學說的，不用計算，規(guī)律比較明顯。那下一個將是？

生5：1+3+5+7+9=5×5。

師：（出示算式）非常好。繼續(xù)往下寫也很簡單，不過這些是數(shù)還是形呢？（生：數(shù)）是的，是數(shù)與數(shù)的關系。如果按照這樣的方式繼續(xù)往下寫，這節(jié)課就不能叫“數(shù)與形”了，我們得把數(shù)與數(shù)的關系與圖形聯(lián)系起來。（出示1+3+5=3×3）我們要把這個算式與圖形聯(lián)系起來，大家想想，1可以用什么表示？

生：一個正方形。一個長方形。一個圓形。

師：都很好，我們就用1個正方形表示1吧。那3呢？（生：3個正方形）5呢？（生：5個正方形）（依次出示1、3、5個正方形，形成如圖2所示圖形）3×3呢？

生：9個正方形。

師：1是1個正方形，3是3個正方形，5是5個正方形，3×3是9個正方形，這是幾年級水平？（生：一年級）是的，我們提高點水平，3×3，別簡單地說是9個正方形，行嗎？

生6：一個大正方形，有3行，每行3個。

師：是的，這馬上就提高到三年級水平了，我們三年級知道了正方形的面積是邊長×邊長。因此，3×3讓我們想起一個邊長是3的正方形，它的面積恰好是3×3。（出示圖3）請大家仔細觀察。左邊是1+3+5，對應著那些紅色、黃色的正方形，右邊是3×3，對應著那個大正方形。通過計算，我們知道，1+3+5=3×3。難不成，左邊這些正方形……

生：和右邊一樣。

師：是不是呢？左邊這些正方形填到右邊的大正方形中，是否恰好填滿呢？請同學來操作。（一學生操作，形成如圖4所示的圖形）

師：怎么樣？（生：恰好填滿）是的！不過稍稍有點遺憾，這個圖形不夠漂亮。有沒有誰來重新擺一擺，把圖形變漂亮點？（一學生操作，形成如圖5所示的圖形）怎么樣？（生：漂亮）是的，整齊、漂亮。不過還是有一點小遺憾：1和5不見了！1+3+5，3清清楚楚地在這里，1和5一眼看過去，好像看不見了。有誰可以解決這個問題？（一學生操作，形成如圖6所示的圖形，學生鼓掌）

師：大家的掌聲說明了一切。大家一起看看，1，看到?jīng)]有？3，看到?jīng)]有？5呢？3×3呢？（生：看到了）1、3、5很明顯，在這，誰來說說3×3在哪？

生7：不看這些顏色，就是3行，每行3個，也就是3×3。

師：你看到?jīng)]有？（生8：看到了）是的，注意到顏色，很容易看到這是1+3+5。忽略顏色，這就是個3×3的正方形。有首歌是這樣唱的———精美的石頭會說話。其實，精美的圖形也會說話，眼前這個圖形，它就在說著1+3+5=3×3，你聽懂了嗎？說這個圖形漂亮，是有理由的。請看。（將3×3的正方形左下角拉開，形成4×4的正方形，如圖7）這個圖形也在說話，你聽懂了嗎？

生9：1+3+5+7=4×4。

師：1、3、5、7，看到了嗎？4×4呢？當然，大屏幕可以繼續(xù)拉開。（將4×4的正方形左下角拉開，形成5×5的正方形，如圖8）有誰知道，此時，我想說什么？（生10：這個圖形在說什么話？）真好！是的，聽懂了這個圖形說的話嗎？endprint

生：1+3+5+7+9=5×5。

師：是的，如果我們愿意，可以一下把大屏幕全部拉開。（如圖9所示）這個圖形又在說什么話呢？同桌互相說說。（學生互相說）請一位同學說說。

生11：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10。

師：是的，這些圖形都非常漂亮，大屏幕上的圖形呆會就沒有了，我們貼一個到黑板上。（貼出圖8）還記得它在說什么話嗎？（生：1+3+5+7+9=5×5）是的。（從黑板上取下圖8）如果沒有這個圖形，1+3+5+7+9是不是還等于5×5？（生：是的）的確，沒有這個圖形，這個等式還是成立的。那有了這個圖形（再次貼上圖8）又有什么不同呢？

生12：更清楚。

生13：一眼就可以看出來。

生14：這個圖說明了為什么會相等。

師：是的，還記得華羅庚先生說的第一句話嗎？數(shù)缺形時少直覺，有了形，數(shù)與數(shù)之間的關系就變得非常直觀了?，F(xiàn)在你們有一點認識了嗎？我們繼續(xù)往下看。（出示算式1+2+3+4+5+4+3+2+1）算一算，結果是多少？（生：25）25，會讓你想到什么圖形嗎？

生：一個5×5的正方形。

師：（出示圖10）是的，1+2+3+4+5+4+3+2+1恰好等于5×5，難不成，在這個圖形里，恰好能找到1、2、3、4、5、4、3、2、1？你看到了嗎？看到了的話，和你的同桌互相說說，看是不是英雄所見略同。

生：斜著看。（師演示，最終形成如圖11所示的圖形）

師：漂亮嗎？（生：漂亮）是的，說它漂亮，還有一個理由，和前面一樣，大幕是可以拉開的。（出示圖12）這個圖形在說什么話呢？

生：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6。

師：是的，大屏幕可以拉開，當然就可以關起。（出示圖13）我想大家一定能聽懂它說的話。如果愿意的話，我們可以這樣。（出示圖14）它在說什么話？能聽懂嗎？

生：1+2+…+10+9+…+2+1=10×10。

師：那相加呢？在分數(shù)中，是相加，那在圖形中，又如何表示呢？

生：將圖形拼起來。

師：好！是不是只有正方形可以表示1呢？

生：還可以是長方形、圓形。

師：好，這些都是考慮面積，是不是只能考慮面積？

生15：還可以用線段的長度表示！

生19：更加容易理解，更直觀。

師：是的。因此，華羅庚先生說“數(shù)缺形時少直覺”。還記得課前說過，我們這節(jié)課還有一個重要的任務嗎？（生：破解劉謙的魔術）是的，現(xiàn)在是時候了。不過，劉謙先生是職業(yè)魔術表演藝術家，破解他的魔術，有點不厚道。這樣吧，我們來破解一個與他的魔術類似的魔術。（動畫演示，一個三角形被分成 4塊，不同的拼法，結果不同，如圖16所示）

師：想了解這是為什么嗎？那你得再打起精神，聽我講3分鐘你以前從沒聽說過的數(shù)學。（借助圖17，介紹角的大小可以由一個分數(shù)表示）

師：我們可以看出，這兩個角的大小并不相等，我們的拼法是有問題的，只是因為區(qū)別很微小，光看圖形，我們是看不出來的。真要知道這里的細微區(qū)別，必須靠什么呢？

生：必須靠計算。

師：是的，要靠數(shù)，靠數(shù)的運算。所以，華羅庚先生才說“形少數(shù)時難入微”。以后，我們看到劉謙的魔術，一方面是欣賞，另一方面也要做到心中有數(shù)。如何？對數(shù)與形之間的關系，以及華羅庚先生對這種關系的精辟描述，有沒有一點欣賞？現(xiàn)在，請大家把華羅庚先生的這句話齊讀一遍。老師希望大家在讀第一句時，注意到黑板上的兩個圖形，在讀第二句時，注意到那個魔術。（生齊讀）好，今天的課就上到這里，下課。

（作者單位：長沙市教育科學研究院）

點評

“數(shù)與形”一課，張老師曾經(jīng)上過，本刊在2016年第2期刊登了。去年11月，張老師在湘鄉(xiāng)市又展示了本課的改進版，筆者在現(xiàn)場聽完后感慨：常教常新，堪稱經(jīng)典。思考月余，再向張老師約稿重發(fā)，并將自己的思考寫出來，以饗讀者。

數(shù)學史上，數(shù)與形要結合，可謂篳路藍縷。真正結合起來是笛卡爾坐標系的建立，距今也只有400余年歷史，足見結合不是那么容易的。

那么，今天要教學生數(shù)形結合，老師要懷有敬畏歷史之心，研究學生學習之情，思考教給學生之法，在“結”字上下巧功夫，才能上出贏得學生掌聲的課。

張老師精讀數(shù)學史，熟諳學生學習數(shù)學的心理，長于娓娓道來、寓神奇于平凡之中的談話教學之法，將數(shù)與形這么高深的一課上成了經(jīng)典。筆者循著張老師上課的軌跡，帶領大家一路欣賞。endprint

你看課始，張老師問學生：知道數(shù)、形嗎？學生都能舉例對答?？梢?，學生對數(shù)、形已經(jīng)熟練，無須多言。那么，數(shù)與形要結合，如何“結”？老師要做的事情就是架好“結”這個橋，才能使天各一方的數(shù)、形連在一起。

往下看，張老師架橋啦。先從單個數(shù)用形表示開始，這不難。話鋒一轉，算式1+3+5如何用圖形表示呢？這是本課的難點所在！學生說出結果是9，張老師用風趣的語言評價：“這是一年級水平?！痹捄茌p松，卻很能引發(fā)學生的思考：怎么表示就能提高水平呀？3×3！“這馬上就提高到三年級水平了，我們三年級知道了正方形的面積是邊長×邊長”。這樣就將1+3+5與正方形聯(lián)系起來了，也就有了橋的雛形，接下來要做的是裝飾橋，使橋漂亮、美觀。

學生將散落的9個正方形擺到3×3的正方形中，前面的兩種擺法（如圖1所示）張老師都不那么滿意，“有稍稍的遺憾”。當稍微調整一下變?yōu)榈谌齻€圖（如圖2）時，課堂立即響起了掌聲。

老師們，這掌聲是學生真正發(fā)自內心的贊嘆，也是學生對1+3+5用第三個圖形表示得如此完美的心領神會的表白。我們在平時聽課的過程中也發(fā)現(xiàn)有學生鼓掌，但那是學生被動鼓掌，因為都是執(zhí)教老師（包括很多所謂的名師）要求的。

至此，老師們請閉目微思，數(shù)與形的神韻是不是在“結”？

好的開頭是成功的一半，后一半同樣是好戲連臺。申老師繼續(xù)領著大家領略后一半的精彩。

一座橋架好了，就要發(fā)揮橋的作用了。

1+3+5+7，1+3+5+7+9，……用圖形來表示，學生就不需要另起爐灶了。張老師憑借嫻熟的計算機技術，設計了非常精巧的課件。只要將上面第三個圖形拉開，就能得到所想要的圖形，真是“一圖在手，數(shù)形畢露”。

“形缺數(shù)時難入微”。這樣的例子在小學范圍內是很難找的。張老師用數(shù)學的眼光觀察劉謙魔術并將這一素材很好地運用在教學中。對這個魔術要解釋清楚，必須用到初中的三角函數(shù)知識。張老師講三角函數(shù)定義時靈活處理，說成直角三角形中兩條線段的比，比較接近學生的認知水平了。小學生能有個模糊的認識就可以了。

申老師領著大家欣賞了張老師的課，說了這么多了，不知說清楚沒有。老師們如果還有不明白的地方，請多讀一遍課堂實錄，對照自己的教學過程進行思考，應該會明白張老師課的神韻。謝謝大家的閱讀。endprint