《直線的傾斜角與斜率》教學(xué)設(shè)計中的問題及解決方法

孟瑩??

摘要：筆者所談的這節(jié)課選自普通高中人教A版數(shù)學(xué)必修2。這本書里所寫內(nèi)容全是幾何學(xué)，但又有所不同。第一部分是立體幾何，仍使用公理化的方法研究幾何學(xué)，是初中平面幾何學(xué)習(xí)的延續(xù)與提高，凡是用公理化的方法研究幾何學(xué)都屬于“歐式幾何”，為古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得所創(chuàng)立。第二部分是解析幾何，使用坐標(biāo)化的方法研究幾何學(xué)，為法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬同時創(chuàng)立，本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的開端，學(xué)生將首次體驗借助數(shù)來研究幾何學(xué)的方法，教學(xué)設(shè)計時勢必須考慮到這一因素，可是，完成本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計并非易事，幾個棘手的問題有待解決，下面就遇到的問題談?wù)勎覀€人的解決方法。

關(guān)鍵詞：教學(xué)；問題；方法

問題一：“傾斜角”的定義

教材在給出傾斜角的定義時輕描淡寫，以“容易看出，顯然”這樣的字樣巧妙地將一些并不容易、顯然的問題留給了讀者。課本寫著兩點確定一條直線，過一點有無數(shù)條直線，問道：這些直線有什么不同？緊接著寫，顯然，它們的傾斜程度不同。我們曾多次依照教材上這樣去設(shè)計提問，結(jié)果學(xué)生啞口無言，個別同學(xué)預(yù)習(xí)了便會說出課本上的答案，其他同學(xué)聽到這個答案也并沒有表現(xiàn)出恍然大悟。這讓我們意識到這不是個顯然的問題，強(qiáng)行告訴學(xué)生答案違背學(xué)習(xí)的規(guī)律，效果是可想而知的。然后教材又寫：我們用什么量描述傾斜程度呢？傾斜角，之后給出傾斜角的定義：若直線與x軸相交，把直線向上方向與x軸正半軸所成的角叫傾斜角；若直線與x軸平行或重合，規(guī)定傾斜角為0度。好多賽課，課題是這節(jié)課的，敗筆都出現(xiàn)在傾斜角概念的給出上，其實老師講的都心虛，明知有好多問題，稍加強(qiáng)調(diào)，擅長推理的同學(xué)便會提出問題，不信服充斥著課堂，教學(xué)效果受到很大影響。傾斜角是用來描述直線傾斜程度的幾何元素，相信好多教師都有過這樣的疑問，為什么不選擇直線向上方向與x軸負(fù)半軸所成的角，甚至這條直線和y軸的正負(fù)半軸還會形成角，實質(zhì)是這條直線和坐標(biāo)軸會形成八個角，兩兩互為對頂角，有區(qū)別意義的是四個角，而這四個角中的任何一個都可以描述直線的傾斜程度?？傊?，直線的不同，傾斜程度，傾斜角的銜接生搬硬套，是教學(xué)設(shè)計的一大問題。

其實回避是最大的問題，不如拿出來研究一番，兩點確定一條直線，過一點可以畫出好多條直線，然后提出問題：這些直線有什么不同？這是一個開放性的問題，只要是不同都是正確答案，諸多答案中有一種是方向不同，我們可以看做是過一點向不同的方向畫了直線。那我們經(jīng)常用什么量來描述方向呢？這個問題對學(xué)生是有難度的，但是稍加啟發(fā)，也容易得到想要的答案。地理課中常說的東南方向，指的是東偏南45度，所以我們可以用角來描述方向。接下來將直線放入坐標(biāo)系，這是解析幾何最偉大的發(fā)明，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)一條直線和坐標(biāo)系會形成八個角，且兩兩互為對頂角，所以實質(zhì)有區(qū)別意義的是四個角，接下來，猜一猜：數(shù)學(xué)家會選擇哪個角呢？自然選擇看起來最形象、最舒服的那個角，即課本中的定義順理成章。

問題二：“斜率”的定義

斜率是傾斜角的正切值。課本上提到了坡比，用類比的思路給出了斜率的定義，可是經(jīng)過教學(xué)實踐我們發(fā)現(xiàn)如果開門見山只說坡比，類比的意味還是要欠缺一些。課本上沒有提及坡度，希望我們也不要忘記了。調(diào)整之后，我設(shè)計了這樣的類比過程，課件上呈現(xiàn)兩道平緩程度差不多的坡，問同學(xué)們哪道坡汽車更容易上去，以此引出坡度，坡度可以用來描述坡的陡峭程度，與傾斜角意義相同。然后再引出學(xué)生熟知的坡比定義，即坡角的正切值，發(fā)現(xiàn)坡比同樣可以描述坡的陡峭程度。因此受啟發(fā)，定義傾斜角的正切值，它仍然可以描述直線的傾斜程度，只是起名直線的斜率。這樣方可輕松給出斜率的定義，學(xué)生接受新事物是有心理依托的，是順其自然的。

問題三：斜率公式的推導(dǎo)

兩點可以確定一條直線，自然確定了直線的一切量，包括傾斜角和斜率，那么如何由直線上兩點的坐標(biāo)來計算直線的斜率呢？這一過程是自然的，可是斜率公式受傾斜角和直線上兩點位置的影響，推導(dǎo)時不得不分類討論，若以傾斜角和直線上兩點位置可以將直線分為八類，分別為傾斜角為0度、銳角、90度、鈍角，再做兩點的順序考慮共八種，這么多種情況，課堂上一一解決顯然時間來不及，如若是以片蓋全，又沒法向數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)交代，如何處理二者的矛盾呢？我們還是應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生分析出上述八種情況，其中傾斜角為0度和90度屬于特殊情況，斜率的情況很好解決，這樣就只剩下四種，然后從這四種中選擇代表進(jìn)行研究，首先傾斜角為鈍角和銳角各選一種情況，再刻意選擇兩點順序不同的，其實要是能完成這兩種情況的推導(dǎo)，那么剩下的兩種情況如出一轍。接下來由學(xué)生探究完成所選兩種情況下斜率公式的推導(dǎo)，盡管探究的過程是比較困難的，我們也要鼓勵學(xué)生積極完成，教師除了事先鋪墊好，還要及時的給以啟發(fā)，糾正和指導(dǎo)，學(xué)生畢竟是初學(xué)者，推理論證的能力參差不齊，我們不要有過分苛刻的要求，方能真正體現(xiàn)教師的主導(dǎo)，學(xué)生的主體地位。

以上三個問題是我和我的同事們在教學(xué)的過程中遇到的非常棘手的問題，得益于一次比賽，反復(fù)思考推敲，形成了一個較為完美的教學(xué)設(shè)計，經(jīng)過實踐是比較成功的，這樣的設(shè)計一定還不是最完美的，但是我在本次教學(xué)設(shè)計中把傾斜角和斜率概念的得出作為重點，注重學(xué)生在得到概念這一過程中的積極參與、主動探究，通過設(shè)計一些具有思考價值的問題，引導(dǎo)學(xué)生的思考步步深入，最后概念在頭腦中呼之欲出，從而讓學(xué)生感受到得出概念這一過程是自然的、是清楚的、是水到渠成的。靈活的化解了斜率公式推導(dǎo)過程中嚴(yán)謹(jǐn)與教學(xué)時間不夠的矛盾，經(jīng)過層層分析引領(lǐng)學(xué)生實現(xiàn)了一次完整的思維過程。

作者簡介：孟瑩，寧夏六盤山高級中學(xué)。endprint