高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析極值問題中的應(yīng)用

劉蕓??

摘要：本文以高等代數(shù)中的二次型與特征值來分析和解決多元函數(shù)的極值問題，揭示高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析這兩門基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系，來為問題的解決提供一定的參考和借鑒。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；數(shù)學(xué)分析；極值問題

一、 引言

線性代數(shù)中的行列式和矩陣：行列式代表一個(gè)數(shù)，而矩陣僅是一些數(shù)的有順序的擺法。利用矩陣能夠把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量，這樣能夠徹底解決一個(gè)多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關(guān)系等理論問題。下文就多元函數(shù)的極值問題展開討論，分析高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析極值問題的應(yīng)用。

二、 相關(guān)定理

1. 實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A的順序主子式全大于零。

2. 實(shí)對(duì)稱矩陣A是負(fù)定，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A的順序主子式負(fù)正相間，即

（-1）ia11a12…a1i

a21a22…a2i

…………

ai1ai2…aii>0，i=1，2，…，n。

（一） 利用二次型求多元函數(shù)的極值

對(duì)于一個(gè)實(shí)值多元函數(shù)f（x1，x2，…，xn），如果函數(shù)f的二階偏導(dǎo)數(shù)存在，那么矩陣

2fx212fx1x2…2fx1xn

2fx2x12fx22…2fx2xn

…………

2fxnx12fxnx2…2fx2n

稱為黑塞矩陣，記作H（f）。

定理：設(shè)y=f（x1，x2，…，xn）是在P0=（x01，x02，…，x0n）點(diǎn)處有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并且gradf（p0），記f在點(diǎn)P0處的黑塞矩陣為Hf（p0）。

（1）當(dāng)矩陣H f（p0）是正（負(fù)）定矩陣，y=f（x1，x2，…，xn） 在P0處取得極小（大）值；

（2）當(dāng)矩陣H f（p0）是不定矩陣，y=f（x1，x2，…，xn） 在P0處沒有極值。

證明：由f（x1，x2，…，xn）處在P0處的泰勒公式有：

f（x1，x2，…，xn）=f（p0）+gradf（p0）ΔxT·Hf（p0）·Δx+o（（|Δx|）2）。

其中Δx=x1-x01………xn—x0n，因?yàn)間radf（p0）=0，所以f（x1，x2，…，xn）-f（p0）=121ΔxT·Hf（p0）·Δx+o（|Δx|2）。

所以，如果矩陣Hf（p0）是負(fù)定矩陣，二次型ΔxT·Hf（p0）Δx是負(fù)定二次型，于是在|Δx|很小時(shí)，y=f（x1，x2，…，xn）在點(diǎn)p0處取極大值。

而如果Hf（p0）是不定矩陣時(shí)，y=f（x1，x2，…，xn）在點(diǎn)p0處沒有極值。

（二） 利用特征值求多元函數(shù)的極值

定理：設(shè)A=（aij）為n階實(shí)對(duì)稱方陣，證明多元函數(shù)f（x）=∑ni=1∑nj=iaijxixj在單位球面∑ni=1a2i上的最大、小值分別是矩陣A的最大、小特征值。其中aij=aij∈R（i，j=1，2，…，n）。

分析：本命題可轉(zhuǎn)化為高等代數(shù)中的二次型f（x1，x2，…，xn）=X′AX在X′X=1條件下的最大（?。┲祮栴}，然后利用特征值理論來解決。

解：令X=x1x2…x3，A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann，因?yàn)閍ij=aij∈R，所以A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則f（x1，x2，…，xn）=X′AX是一實(shí)二次型。

設(shè)λ1，λ2，…，λn是A的特征根，且λ1≤λ2≤…≤λn，由于矩陣A實(shí)對(duì)稱，則存在正交陣T使T′AT=10…0

02…0

…………

00…n，作正交變換X=TY，可有

f（x）=λ1y21+…+λ1y2n，那么對(duì)于x∈R均有λ1X′X≤X′AX≤λnX′X，特別地當(dāng)X′X=1時(shí)，有λ1≤X′AX≤λn，所以f（x）在∑ni=1x2i=1上的最大值小于或等于λn，最小值大于或等于λ1.

設(shè)ɑ1，ɑ2分別是屬于λ1，λn的特征向量，則Aɑ1=λ1ɑ1，Aɑn=λ1ɑn，ɑ1≠0，ɑn≠0，那么有ɑ1Aɑ1=ɑ1（λ1ɑ1）=λ1 ɑ′1ɑ1，則λ1=a′1Aɑ1α′1a1，同理可得λn=a′1Aɑnα′1an，所以：f（x）在單位球面上的最大、小值分別是矩陣A的最大、小特征值。

三、 結(jié)束語

希望通過不斷地探究數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)這兩門課程之間的聯(lián)系，促進(jìn)相互之間解題方法的融會(huì)貫通，為高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)者和研究者提供更可靠的參考。

參考文獻(xiàn)：

[1] 曠雨陽.高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析極值問題中的應(yīng)用[J].安順學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，（06）：113-114+133.

作者簡介：劉蕓，貴州省貴陽市，貴陽學(xué)院。endprint