雙參數(shù)C半群的指數(shù)公式

趙華新, 趙 拓, 徐 敏

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

Banach空間上的線性算子理論是處理無窮維空間柯西問題的重要工具,它在抽象分析及應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個方面都有著重要的作用.文獻[1]給出了N參數(shù)的定義;文獻[2]給出了雙參數(shù)算子半群的定義;文獻[3]給出了C0半群的兩個指數(shù)公式;文獻[4]證明了對于一致連續(xù)的雙參數(shù)C0半群{T(s,t)}s,t≥0,必定存在有界線性算子A1,A2,使得T(s,t)=esA1etA2;文獻[5]在C0半群指數(shù)公式的基礎(chǔ)上,證明了雙參數(shù)C0半群滿足

文獻[6]給出了廣義C半群的指數(shù)公式及逼近;文獻[7]用逼近的方法得出一定條件下積分C半群與C半群的關(guān)系.本文在此基礎(chǔ)上研究了C半群的指數(shù)公式,并將其推廣到了雙參數(shù)C半群上.

本文中X為Banach空間,所有算子都是線性算子,B(X)表示X上的有界線性算子全體,C∈B(X)為一對一算子.

1 基本概念與引理

定義1[8]設(shè)C為B(X)上的一對一的算子,若雙參數(shù)算子族{T(s,t)}s,t≥0?B(X)滿足:

1)T(0,0)=C;

2)T(s1,t1)T(s2,t2)=CT((s1,t1)+(s2,t2)),s1,t1,s2,t2≥0;

則稱{T(s,t)}s,t≥0為雙參數(shù)強連續(xù)C半群,簡稱雙參數(shù)C半群.

定義2[8]雙參數(shù)C半群{T(s,t)}s,t≥0的無窮小生成元是線性變換φ:R+×R+→L(X),其定義為

其中A1,A2分別是單參數(shù)C半群{T(s,0)}s≥0和{T(0,t)}t≥0的無窮小生成元,即

定義3[9]若算子A為C半群{T(t)}t≥0的無窮小生成元,且{T(t)}t≥0∈G(M,ω),則定義A在λ處的C預(yù)解式可表示為

引理1設(shè)A是C半群T(t)的無窮小生成元,且滿足

令RC(λ,A)=(λ-A)-1C,則

證設(shè)?x∈D(A),則

2 主要結(jié)論

定理1設(shè){T(t)}t≥0是X上的C半群,A是T(t)的無窮小生成元,則

?x∈X,

且極限關(guān)于t在任何有界區(qū)間上是一致的.

證設(shè)‖T(t)‖≤Meωt,對于任意Reλ>ω,R(λ,A)關(guān)于λ是解析的,且

對λ微分n次得

但RC(λ,A)(n)=(-1)nn!RC(λ,A)n+1,因此

給定ε>0,選取0

=I1+I2+I3,

其中

這里利用了ve-v≥0在0≤v≤1上單調(diào)非減和在v≥1上非增的事實.因為當(dāng)v≠1時,ve-vωt,可以得到I3中估計積分收斂,且當(dāng)n→∞時,‖I3‖→0關(guān)于t∈[0,t0]是一致的.因此

因ε>0是任意的,所以

定理2設(shè){T(s,t)}s,t≥0?B(X)是雙參數(shù)C半群,且C2=C,則

證由定義1和定義2得CT(s,t)=T(s,0)T(0,t),其中T(s,0),T(0,t)均為單參數(shù)C半群,A1,A2分別為其無窮小生成元,則由引理1得

于是

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