巧用偏導數(shù)求解不定方程

顧玲鳳??

摘要：從古時候開始，在數(shù)論中，不定方程就是一個古老而普及的分支。早在3世紀，丟番圖就開始研究不定方程，后來人們?yōu)榱思o念丟番圖，常常將不定方程稱之為丟番圖方程。不定方程是數(shù)論中相當重要的組成部分，定義為方程中的未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)。針對不定方程的特點，本文指出兩種求解不定方程的方法，通過分別比較和驗證，得出使用偏導數(shù)求解的方法更優(yōu)于使用根判別式求解不定方程，更加準確可靠。

關(guān)鍵詞：不定方程；根判別式；偏導數(shù)

一、 不定方程

不定方程，指的是方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)，并且未知數(shù)受到某些限制（如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等）的方程或方程組。不定方程是指解的范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)的方程或方程組，其未知數(shù)的個數(shù)通常多于方程的個數(shù)。

1969年，L. J. Mordel的專著《丟番圖方程》，對前人有關(guān)不定方程的研究進行了較為全面的回顧，并且更加系統(tǒng)化地總結(jié)了這方面的研究成果。由于該領(lǐng)域涉及到各行各業(yè)的發(fā)展，因此近十多年來，這方面的研究受到眾多數(shù)學愛好者與專家學者的高度關(guān)注，使得該領(lǐng)域獲得了飛速的發(fā)展。雖然如此，但是從整體來考慮還是存在部分需要加強的地方，比如說對于高于二次的多元不定方程（組），人們其實知道得不多。另一方面，不定方程與數(shù)學很多領(lǐng)域都有緊密的聯(lián)系，例如組合數(shù)學、微分幾何等，在有限群論和最優(yōu)設(shè)計中也常常提出不定方程的問題，這就使得不定方程這一古老的分支仍然并將繼續(xù)吸引著許多數(shù)學家的注意，成為數(shù)論中重要的研究課題之一。常見的不定方程分為線性不定方程（組）和高次不定方程（組）。其中，最普及的為二元一次不定方程。在此以二元一次不定方程為例來舉例講述這個方面。

ax+by=c（1）

式（1）中a，b，c是給定的整數(shù)，且ab≠0。（1）有整數(shù)解的充要條件是a、b的最大公約數(shù)能夠整除n。因此假設(shè)x1、y1為該方程的一組整數(shù)解，那么該方程的所有整數(shù)解可以表示為x=x1+a（a，b）*t，y=y1-a（a，b）*t。其中t為任意整數(shù)。

二、 偏導數(shù)

一個n元函數(shù)z=f（x1，x2，…，xn）對它的某個變元xk作為唯一自變量（固定其余變元）而言的變化率（導數(shù)），稱為該函數(shù)關(guān)于變元xk的偏導數(shù)。給定一個二元函數(shù)z=f（x，y）。若函數(shù)z=f（x，y）在（x0，y0）的兩個偏導數(shù)fx（x0，y0）與fy（x0，y0）都存在時，稱f（x，y）在（x0，y0）處可導。如果函數(shù)f（x，y））在函數(shù)域D的每一點均可導，那么稱函數(shù)f（x，y）在域D可導。

偏導數(shù)的記號有很多種，如：f′x，fx，fx，dfdx等。例如二元函數(shù)

z=f（x，y）=x2+y2+xy（2）

那么有：

zx=2x+y，zy=2y+x，zx（1，1）=3，zy（1，1）=3。函數(shù)z=f（x，y）的圖像如下：

一般的，一個多元函數(shù)的所有一階偏導數(shù)構(gòu)成的向量稱為函數(shù)的梯度，即

SymbolQC@ f（a1，a2，…，an）=（f1（a），f2（a），…，fn（a））T，其中fi（a）=fxi（a1，a2，…，an）對所有i=1，2，…，n。

梯度函數(shù)反映了多元函數(shù)函數(shù)值隨著自變量變化的快慢。例如，利用梯度函數(shù)為零的條件，我們可以求出二元函數(shù)值下降最快的方向，稱為最速下降速度。在這里我們只學習函數(shù)f（x，y）沿著平行于x軸和平行于y軸兩個特殊方位變動時，f（x，y）的變化率。

一個n元函數(shù)在各個偏導數(shù)存在的情況下，可以通過以下形式來表示：

fxk（a1，…，ak-1，ak，ak+1，…，an）=limh->0f（a1，…，ak+h…，an）-f（a1，…，ak…，an）h

它可以表述為函數(shù)值關(guān)于第k個變量的單位變化率。如果此極限存在，則稱此極限為該函數(shù)函數(shù)在點（x0，y0）處對x的偏導數(shù)。

三、 不定方程樣例求解思路分析比較

在同一個樣例的基礎(chǔ)上，通過采用兩種方法進行比較驗證，從而更加有針對性。

1. 不定方程樣例

樣例：若實數(shù)y，x滿足y=4y-x+2x，則y的最大值是多少。

2. 使用根判別式求解

不定方程最常用的方法就是根判別式方法求解，通過兩邊平方進行函數(shù)的化簡，從而簡化成類似于二元一次方程的類型，再通過根判別式的公式求解函數(shù)的根，接著通過x，y的限制條件，從而得到最終想要的y的極值。這種方法是最常用且普遍的慣性思維，接下來我們就以給出的樣例進行分析、推導。

（1） 樣例分析

由于函數(shù)隱含的兩個條件分別為y？=14x且x？=0；而為了求得y的最大值，這兩個條件是遠遠不夠的，頂多給出的條件只能嘗試著求y的最小值，而跟最大值是沒有任何關(guān)系的。繼續(xù)分析函數(shù)本身，通過嘗試著進行兩邊同時開方進行函數(shù)化簡，再用根判別式進行求導歸納。具體解題過程見下一步。

（2） 解題過程

解：經(jīng)過上述分析，由原式得到：y-2x=4y-x

兩邊同時平方可以得到：y2-4x+1*y+5x=0

將x看成是常數(shù)，這樣的方程就可以看成是一元二次函數(shù)，這樣可以通過求根公式得到不同情況下的x值的大小。

當？=0時，x=36±165，此事求出的y值是兩個固定的值

當？>0時，由于x>0，所以x范圍為0

當？<0時，方程沒有實數(shù)根

通過以上驗證，只能求出x在不同情況下的取值范圍，然而卻不能算出y的最大值。因此得出根判別式求解方式在此不定方程中是不適用的、不具有普遍性。

3. 使用偏導數(shù)求解

考慮到通過根判別式方法求解不定方程的局限性，本文采用了一種比較新穎的偏導數(shù)求解算法來解決不規(guī)則曲面函數(shù)不定方程的問題。

（1） 樣例分析

以二元函數(shù)z=f（x，y）為例，如果只有自變量x變化，而自變量y看成是常量，則為x的一元函數(shù)，這樣的函數(shù)稱為偏導數(shù)，從而簡化問題的復(fù)雜度，更適合這種不規(guī)則的不定方程求解。

（2） 解題過程

解：令Fy，x=y-4y-x-2x=0，這里假定y是x的函數(shù)

求偏導分別得出：Fx=--124y-x-1x

Fy=1-424y-x

通過使用隱函數(shù)存在定理2，可將公式化簡為：

y′=-FxFy=x-24y-x24y-x-4*x

令y′=0可以得到x=24y-x公式化簡得到y(tǒng)=516*x，并將該公式定義為公式（1）

即當y=516*x時取最大值，將公式（1）帶入原方程可得：

516*x=4*516*x-x+2x

算出x=64，將x值帶入公式（1）得出

y=20

四、 總結(jié)歸納

根判別式求解不定方程會隨著不定方程的復(fù)雜程度而出現(xiàn)結(jié)果上的偏差，相對于根判別式，使用偏導數(shù)求解不定方程則效果顯著，更具有普遍性和通用性。

作者簡介：

顧玲鳳，江蘇省蘇州市吳中區(qū)城西中學。