由一道高考題談平面向量問題的通性通法

曹東方??

摘要：為探討2017年江蘇高考理科數(shù)學(xué)第12題的多種解法，本文通過分析平面向量的本質(zhì)，闡述了從數(shù)和形的角度來解決本例的幾何法和代數(shù)法，總結(jié)了平面向量問題的通性通法。

關(guān)鍵詞：平面向量；通性通法；幾何法；代數(shù)法

首先看一道高考題：

2017江蘇，理12.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°。若OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m+n=。

下面來看本題給出的標(biāo)準(zhǔn)解答：由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，根據(jù)向量的分解，

易得ncos45°+mcosα=2

nsin45°-msinα=0，即

22n+210m=2

22n-7210m=0，即5n+m=105n-7m=0。即得m=54，n=74，所以m+n=3。

對(duì)本題的再回顧本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的表示。平面向量既有“數(shù)”的特征又有“形”的特征，是“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。因此，能否從“數(shù)”與“形”的角度來思考本題呢？也就是說，解決平面向量問題的通性通法是什么呢？如果理清了這個(gè)問題，那么所有有關(guān)平面向量的一類問題都可以尋找到一個(gè)突破口，進(jìn)而得到解答。下面以這一道高考題為例，筆者談一談這個(gè)通性通法。

在數(shù)學(xué)解題中，經(jīng)常會(huì)遇到一些常規(guī)的解題模式和常用的數(shù)學(xué)方法，我們稱之為通性通法。筆者認(rèn)為包含兩個(gè)方面的含義：第一是從某一個(gè)知識(shí)出發(fā)引出的若干思考；其次是解決一類問題的一般思維出發(fā)點(diǎn)。理解通性通法的本質(zhì)，其實(shí)就是吃透知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)。題目?jī)H僅是知識(shí)點(diǎn)的載體，就像我們說平面向量是數(shù)和形的載體一樣，平面向量的本質(zhì)就是數(shù)和形。從數(shù)的角度看，解決平面向量的方法就是建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)向量，進(jìn)而進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，從而解決問題；從形的角度看，平面向量溝通了平面幾何，可以用解決平面幾何問題的方法解決它。

從形的角度看本題條件，OC=mOA+nOB（m，n∈R），這個(gè)條件可以理解為向量的加法，自然就可以考慮到平行四邊形法則，從而產(chǎn)生了該題的幾何法：

作平行四邊形OMCN，其中OM=mOA，ON=nOB

易得|OM|=|NC|=m，|ON|=n

∵OC=2，則在△OCN中，由正弦定理

2sin∠ONC=nsinα=msin45°

即2sinα+45°=nsinα=msin45°

又tanα=7，∴α為銳角

∴sinα=750，cosα=150

∴sinα+45°=45

可得m=54，n=74，∴m+n=3

從數(shù)的角度看本題條件，OC=mOA+nOB（m，n∈R），這個(gè)條件可以理解為向量的基底表示，而基底又產(chǎn)生了坐標(biāo)，所以可以建立平面直角坐標(biāo)系來表示OA，OB，OC的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)運(yùn)算解決，這就是這道題目的代數(shù)法：以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，易得

A（1，0），B（cos（α+45°），sin（α+45°）），C（2cosα，2sinα）

即B-35，45，C15，75

由OC=mOA+nOB

∴15，75=m1，0+n-35，45

∴m=54

n=74∴m+n=3

另外，考慮到本題條件有向量的模和夾角，所以還可以考慮用向量的數(shù)量積，得到另外的解法：

由OC=mOA+nOB，將該式兩邊同時(shí)乘OA和OB

得

OC·OA=mOA·OA+nOB·OA

OC·OB=mOA·OB+nOB·OB

∴2cosα=m+ncos（α+45°）

2cos45°=mcos（α+45°）+n

∴15=m-35n

1=-35m+n∴m=54

n=74∴m+n=3

由此可見，平面向量作為數(shù)和形的載體，處理這一類問題的通性通法無外乎幾何法（基底表示）和代數(shù)法（坐標(biāo)法）。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃耿躍.向量思想方法及其應(yīng)用研究[D].福建師范大學(xué)，2008.

[2]曹金明.高中數(shù)學(xué)課程中向量教學(xué)研究[D].西北師范大學(xué)，2004.

作者簡(jiǎn)介：

曹東方，福建省泉州市第七中學(xué)。endprint