“K”—型圖相似三角形在二次函數中的應用

摘要：三角形和二次函數兩塊內容的綜合是初中數學最突出的綜合內容。本文通過確定直角三角形在直角坐標系中的位置、特征，介紹題型，剖析解法，對“K”-型圖相似三角形在二次函數中的應用進行了分析和總結。

關鍵詞：“K”-型圖；相似三角形；二次函數

直角三角形的有關知識是初中平面幾何中的重點內容，而二次函數則是初中代數中的重點，這兩塊內容的綜合是初中數學最突出的綜合內容。近年來，這類綜合問題是中考數學試卷的壓軸題，如何挖掘幾何條件，并將其轉化為代數條件，是解題的難點和關鍵。以下是筆者多年教學過程中對“K”-型圖相似三角形在二次函數中應用的總結，以望有助于中考復習。

一、 “K”-型模型圖

“K”-型圖是具有“K”字形狀的圖像，一條直線的同側的兩條直線互相垂直。如下圖：

在數學問題的解決過程中，有意識提煉一些典型的數學模型可以有效提高解題速度，化繁為簡，提高準確率?！癒”-型圖是平面幾何中比較常見的一種圖形，

Symbol`@@ 最早出現(xiàn)在全等三角形，如果能在初始接觸時就加以有意識訓練強化“等角的余角相等”這一性質，再在后來的相似中熟練運用，并有目的地強調角、邊關系，就能準確寫出比例關系，為最后階段的解決二次函數中的有關問題夯實基礎。

1. 若∠APC=90，求證兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例

證明：如圖（1）方法（一）

∵∠APC=90°

∴∠1+∠2=90°

又∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3（同角的余角相等）

又∠B=∠D

∴△ABP∽△PDC

∴ABBP=PDCD

方法（二）如圖示

∠1+∠2=90°

∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3

在Rt△ABP和Rt△PDC中

tan∠1=tan∠3

即ABBP=PDCD

圖（3）中，同理∠1=∠3

∴tan∠1=tan∠3

即ABBP=PDCD

2. 判定∠APC=90°

（1） 圖（1）中已知∠1=∠3，求證∠APC=90°

證明：∵∠3+∠2=90°

又∠1=∠3

∴∠1+∠2=90°

∴∠APC=90°

（2） 圖（1）中已知ABBP=PDCD，求證∠APC=90°

證明：方法（一）∵ABBP=PDCD

又∠B=∠D=90°

∴△ABP∽△PDC

∴∠1=∠3

又∠3+∠2=90°

∴∠1+∠2=90°

∴∠APC=90°

方法（二）在Rt△ABP和Rt△PDC中

∵ABBP=PDCD

即tan∠1=tan∠3

∴∠1=∠3

又∠3+∠2=90°

∴∠1+∠2=90°

∴∠APC=90°

二、 “K”-型圖在二次函數中的應用

最近幾年，全國各地中考數學試卷的二次函數壓軸題中頻繁出現(xiàn)判斷三角形形狀（直角三角形）和求構成直角三角形動點的坐標。此類問題綜合性強，且?guī)в幸欢ǖ碾y度，通常的方法是利用勾股定理三邊關系求解，而初中階段直角坐標系中，學生還沒有學習兩點間距離，用學生已有知識也可以給出方法，但過程較長。因此更多老師就直接給出高中知識的兩點間距離公式，讓學生死記硬背，算出或表示出三角形三邊的長度，此方法運算量很大，稍有不慎會算出錯誤答案。甚至有更復雜的方法，在這里就不一一贅述。其實在實際解題時，若能把握問題的關鍵，排除圖形干擾，在復雜的圖形中構造出“K”-型圖，就可以化難為易，快速解題。

1. 二次函數圖像中判定直角三角形

（1） 已知：直線AB與二次函數y=14x2的圖形交于A（-2，1），B（8，16）兩點。求證：△AOB為直角三角形。

【分析】：分別向x軸引垂線構造“K”-型圖，有目的的計算一對角的正切值。

證明：分別過點A、B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C、D。

在Rt△AOC和Rt△OBD中

AC=1，OC=2，OD=8，BD=16

∴ACOC=ODBD=12

即tan∠AOC=tan∠OBD

∴∠AOC=∠OBD

又∠OBD+∠BOD=90°

∴∠AOC+∠BOD=90°

∴∠AOB=90°

即△AOB為直角三角形

（2） 如圖示，已知二次函數經過點B（3，0）C（0，3）D（1，4），連接DC，BC，DB，求證：△BCD是直角三角形。

【分析】：向y軸引垂線構造“K”-型圖。

證明：過點D作DE⊥y軸，垂足為E在Rt△DEC和Rt△COB中

DE=1CE=1OC=3OB=3

∴∠DCE=∠BCO=45°

∴∠DCE+∠BCO=90°

∴∠DCB=90°

∴△BCD是直角三角形

2. 求構成直角三角形動點的坐標

（1） 已知如圖是拋物線y=-12x2圖像，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，過B作BF⊥x軸于點F，測得OF=1，寫出此時點B和A的坐標。

【分析】向x軸引垂線構造“K”-型圖。endprint

解：過A點做AE⊥x軸，垂足為E

∵B點橫坐標是1

∴B（1，-12）

設A（x，-12x2）

則OF=1，F(xiàn)B=12，OE=-x，AE=12x2

∵∠AOB=90°

∴∠FOB=∠EAO

∴tan∠FOB=tan∠EAO

∴BFOF=OEAE

即12=-x12x214x2+x=0x1=0（舍去）x2=-4

∴A（-4，-8）

（2） 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線y=kx+n（k≠0）經過B，C兩點，已知A（1，0）C（0，3），且BC=5。

①求拋物線解析式；

②在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由。

【分析】直角頂點在坐標軸上的向坐標軸引垂線，構造“K”-型圖，直角頂點不在坐標軸上，過直角頂點做坐標軸平行線，再向平行線引垂線構造“K”-型圖。

解：①∵BC=5OC=3

∴OB=4

∴B（4，0）

y=a（x-1）（x-4）經過C（0，3）

4a=3

a=34

∴拋物線解析式為y=34（x-1）（x-4）=34x2-154x+3

對稱軸x=52

②設P（52，y）

1）以C為直角頂點，過點C作CP⊥CB交對稱軸于P1，即當∠P1CB=90°時，過點P1作P1D⊥y軸，垂足為D。如圖示：

在Rt△P1DC和Rt△COB中

∠DCP1=∠CBO

∴tan∠DCP1=tan∠CBO

即52y-3=34

y=193

∴P152，193

2） 以B為直角頂點，過點B作BP⊥CB交對稱軸于P2，即當∠P2BC=90°時，過點B作MN∥y軸，分別過P2、C向MN引垂線，如圖示：

同理∠1=∠2

tan∠1=tan∠2

即34=32-y

y=-2∴P252，-2

3） 當P為直角頂點，即∠CP3B=90°時，過P3作P3E∥x軸，交y軸于E、交MN于Q。如圖示：

∠3=∠4

∴tan∠3=tan∠4

即y-352=32y

4y2-12y-15=0

y1=3+262

y2=3-262

∴P352，3+262P452，3-262

∴P152，193，

P252，-2，

P352，3+262，

P452，3-262

通過以上例題分析，遇到此類問題，我們只需寫出或表示出“K”-型圖里與坐標軸平行兩個直角三角形直角邊的長度（注意不需要斜邊），有目的算出一對對應銳角的正切值，從而判斷角的關系及三角形的形狀；或者利用等角的正切值相等列出比例關系，算出動點坐標。此方法步驟簡單，學生容易掌握，更重要的是可以增加學生學習二次函數自信心。

需要強調的是，此方法中一直沿用對應角的正切值，而非相似三角形對應邊成比例，是因為：

（1） 正切值固定于三角形兩條直角邊，直角邊都平行于坐標軸，計算和表示都非常簡單，可以一眼看出結果或表達式。

（2） 等角的正切固定于兩個直角三角形中對應角的對邊鄰邊，以免學生常常把對應邊混淆出錯。

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作者簡介：

閆嵐子，中學高級教師，西藏拉薩市江蘇中學。endprint