應(yīng)用于方管的超聲波流量計(jì)數(shù)值積分方法分析

張彥楠，楊 彬

超聲波流量計(jì)作為新興流量計(jì)，具有精度高、非接觸式測(cè)量和無(wú)流動(dòng)阻撓等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)生產(chǎn)、能源計(jì)量、科學(xué)研究等領(lǐng)域越來(lái)越受重視[1].多聲道超聲波流量計(jì)測(cè)量流體流量時(shí)，通過(guò)在待測(cè)截面兩側(cè)布置多個(gè)換能器，精確地測(cè)量各聲道上超聲波沿水流順向及逆向傳播的時(shí)間差，最后用加權(quán)積分的方法計(jì)算出流體流量.

多聲道超聲波流量計(jì)在測(cè)量圓形管道流體流量時(shí)的數(shù)值積分方法已被廣泛研究，如高斯—雅克比積分方法、OWICS（圓管最優(yōu)權(quán)重積分），應(yīng)用這兩種積分方法，可以計(jì)算出多聲道超聲波流量計(jì)在圓形管道中測(cè)量流體流量時(shí)各聲道的聲道高度和權(quán)重系數(shù).但是對(duì)于非圓管的數(shù)值積分方法卻很少報(bào)道，而采用方形管道的超聲波流量計(jì)已見(jiàn)報(bào)道[2]，所以研究多聲道超聲波流量計(jì)在方形管道上的數(shù)值積分方法十分必要.

1 管道內(nèi)流量積分原理

時(shí)差法超聲波流量計(jì)測(cè)量流體流量時(shí)，利用超聲波在流體中傳播時(shí)因順?biāo)骱湍嫠鞣较虿煌鴤鞑ニ俣炔煌奶攸c(diǎn)，測(cè)量它的順流傳播時(shí)間t1和逆流傳播時(shí)間t2的差值，從而計(jì)算流體流動(dòng)的速度和流量[3].其測(cè)量原理如圖1所示.

各聲道測(cè)量得出的流體流速表達(dá)式可表示為

其中：v0，i表示第i條聲路測(cè)得的流體軸向平均速度；Li表示第i條聲道長(zhǎng)度；α表示聲道角；t2，i和t1，i分別表示第i條聲道的逆流傳播時(shí)間和順流傳播時(shí)間[4]；i表示聲道數(shù).

多聲道超聲波流量計(jì)在方形管道上的安裝方式如圖2所示，多對(duì)超聲波換能器被平行的安裝在待測(cè)管道兩側(cè).

圖1 超聲波流量計(jì)流速測(cè)量原理Fig.1 The measuring principle of ultrasonic flowmeter

圖3 方形管道內(nèi)流量積分原理Fig.3 Integral principle of flow in square pipe

多聲道超聲波流量計(jì)在待測(cè)截面上平行的布置多條聲路，獲得的聲路速度代表待測(cè)截面上相應(yīng)平行條帶內(nèi)的平均速度[5].然后通過(guò)各聲路得到的聲路速度計(jì)算l（z）·v（z）的值，來(lái)逼近[-L/2，L/2]上的定積分，方形管道內(nèi)的流量積分示意圖如圖3所示.

如圖3所示，多聲道超聲波流量計(jì)在方形管道上了流量積分可以表達(dá)為

式中：l（z）為聲路寬度，在方形管道中聲路寬度為L(zhǎng)，即管道橫截面邊長(zhǎng).令聲道高度z=t·L/2，可以令式（2）所示的數(shù)值積分變換到 [-1，1]區(qū)間上，則流量計(jì)算公式可以變?yōu)?/p>

相對(duì)于圓形管道內(nèi)流量積分計(jì)算公式，方形管道內(nèi)的流量積分公式可以看作權(quán)函數(shù)ρ（t）=1的積分公式進(jìn)行計(jì)算，可以利用牛頓—柯特斯公式、復(fù)合梯形公式與高斯—勒讓德公式三種數(shù)值積分方法對(duì)各聲道的聲路高度與各聲路的權(quán)重系數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

2 方形管道聲路高度與權(quán)重系數(shù)推算

2.1 牛頓—柯特斯方法

根據(jù)牛頓—柯特斯積分方法，將區(qū)間 [-1，1]劃分為m等份，步長(zhǎng)為h=2/m，根據(jù)步長(zhǎng)h選取等距離節(jié)點(diǎn)，即聲路高度Zi，表示為

用等距離聲道高度Zi構(gòu)造的插值型求積公式可以將公式（3）表示為

2.2 復(fù)合梯形公式

復(fù)合梯形公式同樣是將區(qū)間 [-1，1]劃分為m等份，步長(zhǎng)為h=2/m，根據(jù)步長(zhǎng)h選取等距離節(jié)點(diǎn)，即聲路高度Zi，如公式（4）所示，復(fù)合梯形公式是在每個(gè)子區(qū)間 [Zi，Zi+1]上采用梯形公式，則流量計(jì)算公式可以表達(dá)為

與牛頓—柯特斯積分方法相同，公式（7） 中的m與聲路數(shù)N的值并不相等，實(shí)際上N=m-1.由于管道內(nèi)管壁處流速為零，所以公式（7）應(yīng)該表示為

應(yīng)用復(fù)合梯形公式計(jì)算的四聲道超聲波流量計(jì)的相對(duì)聲路高度和權(quán)重系數(shù)如表2所示.

復(fù)合梯形公式表示圖3中每一平行條所占比重相同，可以理解為面積平均方法，即聲路條帶的相對(duì)面積可以作為截面平均速度計(jì)算時(shí)的權(quán)重系數(shù).

表1 牛頓—柯特斯積分法聲道高度和權(quán)重系數(shù)Tab.1 Channel height and weight coefficient based on Newton Cotes integration method

2.3 高斯—勒讓德積分法

公式（3） 可以看作是權(quán)函數(shù)為ρ（t）=1，積分區(qū)間為 [-1，1]的高斯積分公式，勒讓德公式是區(qū)間[-1，1]上關(guān)于權(quán)函數(shù)ρ（t）=1的正交多項(xiàng)式，可以表達(dá)為

表2 復(fù)合梯形公式計(jì)算的聲道高度和權(quán)重系數(shù)Tab.2 Channel height and weight coefficient based on Compound trapezoid formula

其中：P0（t）=1，多項(xiàng)式Pn+1（t）的零點(diǎn)即為公式（3）的高斯點(diǎn)，即相對(duì)聲路高度ti的值.

根據(jù)高斯積分原理，高斯—勒讓德積分法的積分權(quán)重系數(shù)可用勒讓德多項(xiàng)式表示為[7]

式中：ti為勒讓德多項(xiàng)式Pn+1（t）的零點(diǎn).應(yīng)用高斯—勒讓德積分方法計(jì)算得到的四聲道超聲波流量計(jì)的相對(duì)聲路高度和權(quán)重系數(shù)如表3所示.

3 方形管道中積分方法的驗(yàn)證

近年來(lái)，建立在經(jīng)典流體力學(xué)和數(shù)值計(jì)算方法基礎(chǔ)上的計(jì)算流體力學(xué)（Computational Fluid Dynamics，CFD）在解決各種復(fù)雜流動(dòng)和熱傳問(wèn)題上有著十分巨大的優(yōu)勢(shì)，F(xiàn)LUENT是目前國(guó)際上比較流行的用來(lái)解決流體、熱傳遞和化學(xué)反應(yīng)等工程問(wèn)題的商用CFD軟件[8].應(yīng)用CFD仿真軟件FLUENT對(duì)上述3種應(yīng)用在方形管道中的積分方法進(jìn)行模擬仿真，分別對(duì)3種積分方法的流速測(cè)量的準(zhǔn)確度進(jìn)行分析.

表3 高斯—勒讓德積分法聲道高度和權(quán)重系數(shù)Tab.3 Channel height and weight coefficient based on Gauss Legendre integral method

3.1 方形管道幾何模型的建立

FLUENT仿真實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用的方形管道的幾何模型如圖4所示，管道的橫截面為正方形，管道橫截面邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，管道長(zhǎng)度為20 L，其中L=100 mm.

3.2 管道網(wǎng)格劃分與FLUENT參數(shù)設(shè)置

應(yīng)用GAMBIT軟件建立方形管道的幾何模型，并對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分.由于流體流動(dòng)在近壁的邊界附近的變化比其他位置劇烈，需要適當(dāng)?shù)募用苓吔缇W(wǎng)格，所以需要為管道劃分邊界層，用來(lái)提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性[9].方形管道的橫截面和體網(wǎng)格的劃分結(jié)果如圖5所示.

圖4 方形管道幾何模型Fig.4 Geometric model of square pipe

圖5 方形管道的網(wǎng)格劃分Fig.5 Grid partition of square pipe

FLUENT求解器首先讀入GAMBIT前處理軟件生成的網(wǎng)格文件，然后檢查GAMBIT生成網(wǎng)格的質(zhì)量，要求所有的體網(wǎng)格均大于0，當(dāng)網(wǎng)格質(zhì)量不符合要求時(shí)，需要調(diào)整網(wǎng)格甚至重新劃分網(wǎng)格[10].FLUENT中選擇RNG K-ε湍流模型.使用SIMPLE算法進(jìn)行求解.為了使計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確，設(shè)置收斂殘差為1×10-6.

管道內(nèi)的流體為液態(tài)水，管道的入口流速選取1～25 m/s的25個(gè)整數(shù)流速值進(jìn)行仿真計(jì)算.在管道15L處按照表1～表3中計(jì)算出來(lái)的相對(duì)聲路高度選取四條聲路線(xiàn)來(lái)模擬超聲波流量計(jì)的測(cè)量.聲路線(xiàn)與管道夾角為45°.當(dāng)入口速度選定后進(jìn)行仿真計(jì)算，提取四條聲路線(xiàn)上的速度，作為超聲波流量計(jì)各聲路的實(shí)際速度，然后根據(jù)不同積分方法計(jì)算得到的權(quán)重系數(shù)計(jì)算管道內(nèi)流體的速度.然后改變?nèi)肟谒俣?，分別對(duì)25個(gè)流速值進(jìn)行仿真計(jì)算.最后，對(duì)3種積分方法計(jì)算流體流速的準(zhǔn)確性進(jìn)行分析.

3.3FLUENT仿真結(jié)果分析

當(dāng)入口速度為5 m/s時(shí)，方形管道橫截面的速度分布云圖如圖6所示.

當(dāng)入口流速?gòu)?～25 m/s變化時(shí)，根據(jù)3種積分方法原理，分別提取不同入口流速值時(shí)對(duì)應(yīng)的4條聲路線(xiàn)上的速度，然后根據(jù)3種積分方法計(jì)算得到的權(quán)重系數(shù)對(duì)提取的聲路線(xiàn)上的速度進(jìn)行加權(quán)計(jì)算.用表示實(shí)際測(cè)量中多聲道超聲波流量計(jì)通過(guò)在各個(gè)聲道計(jì)算得到的流速基礎(chǔ)上加權(quán)求和得到的管道截面流速，可以表示為

應(yīng)用3種積分方法計(jì)算得到的管道流速如圖7所示.

圖7中，實(shí)際流速應(yīng)為y=x直線(xiàn)上的點(diǎn)，式中y為計(jì)算得到的流速值，x為流速測(cè)量點(diǎn)的流速值.可以看出高斯—勒讓德積分法計(jì)算得到的流速與真實(shí)流速比較接近，而復(fù)合梯形公式和牛頓—柯特斯方法計(jì)算得到的流速對(duì)于實(shí)際流速偏離較大，計(jì)算結(jié)果并不準(zhǔn)確.

圖6 5 m/s時(shí)管道橫截面的速度分布云圖Fig.6 Velocity profile of cross section of pipeline in 5 m/s

流速計(jì)算過(guò)程中的相對(duì)誤差可以表示為

圖7 不同積分方法計(jì)算得到的流速對(duì)比Fig.7 Comparison of flow velocities calculated by different integration methods

圖8 不同積分方法計(jì)算的流速的相對(duì)誤差Fig.8 The relative error of velocity calculated by different integration methods

如圖8所示，3種積分方法中，復(fù)合梯形公式的積分誤差最大，為-15%左右，牛頓—柯特斯方法也有著-8%的積分誤差.就積分方法本身而言，由于復(fù)合梯形公式和牛頓—柯特斯方法在積分計(jì)算的過(guò)程中，積分節(jié)點(diǎn)包括積分區(qū)間的2個(gè)端點(diǎn)，對(duì)于積分端點(diǎn)的值有一定的依賴(lài)性，強(qiáng)調(diào)管壁處的流速對(duì)平均流速有一定的貢獻(xiàn)，但是管道中流體流動(dòng)的規(guī)律是管道近壁處流體流速為零，所以應(yīng)用這2種方法計(jì)算流體流速時(shí)，會(huì)舍掉積分端點(diǎn)的積分值，從而形成比較大的誤差.由于復(fù)合梯形公式和牛頓—柯特斯方法計(jì)算得到的流速的相對(duì)誤差太大，所以這2種方法在多聲道超聲波流量計(jì)測(cè)量方形管道流速中并不適用.

相對(duì)于其他2種方法，高斯—勒讓德積分法計(jì)算得到的流速的相對(duì)誤差最大為0.62%，積分過(guò)程中積分節(jié)點(diǎn)并不包括積分區(qū)間的端點(diǎn)；積分計(jì)算過(guò)程中，中間聲路的權(quán)重大于邊緣聲路的計(jì)分權(quán)重，在流速計(jì)算時(shí)強(qiáng)調(diào)中間聲路流速對(duì)于平均流速的貢獻(xiàn)大于邊緣聲路流速.所以其積分計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)際流速值，積分準(zhǔn)確度高.在一般情況下，高斯方法可以達(dá)到更高的精度，而在超聲波流量計(jì)的測(cè)量問(wèn)題中，高斯方法的精度要大大高于牛頓-科特斯方法.多聲道超聲波流量計(jì)測(cè)量方形管道流速時(shí)應(yīng)選用高斯—勒讓德積分法對(duì)流速進(jìn)行計(jì)算.

4 高斯—勒讓德積分法應(yīng)用中聲道數(shù)與誤差分析

多聲道超聲波流量計(jì)在測(cè)量計(jì)算方形管道流速時(shí)，增加聲道數(shù)量可以擴(kuò)大超聲波聲道對(duì)流場(chǎng)的覆蓋范圍，增強(qiáng)聲道對(duì)流場(chǎng)的適應(yīng)能力，減小測(cè)量誤差.但是增加聲道數(shù)會(huì)增加預(yù)算，并且聲道數(shù)量太多對(duì)于小管徑管道的測(cè)量并不適用.所以聲道數(shù)量并不是越多越好，實(shí)際應(yīng)用中需要考慮聲道數(shù)量和測(cè)量準(zhǔn)確度兩個(gè)方面，選擇出最優(yōu)的應(yīng)用方案.

當(dāng)多聲道超聲波流量計(jì)應(yīng)用高斯—勒讓德積分法計(jì)算方形管道的流速時(shí)，積分方法計(jì)算得到的流速的相對(duì)誤差會(huì)隨著流體流速的增加而減小，所以需要在固定的流速下去改變聲道的數(shù)量，從而得到聲道數(shù)量與相對(duì)誤差之間的關(guān)系.

在FLUENT仿真軟件中，設(shè)置入口速度為5 m/s，并按照高斯—勒讓德積分法計(jì)算得到的聲路高度選取n（n=1，2，…）條聲路線(xiàn)來(lái)模擬n聲道超聲波流量計(jì)的流速測(cè)量，管道幾何模型和FLUENT參數(shù)設(shè)置均與第3節(jié)中相同.仿真得到入口速度為5 m/s時(shí)，聲道數(shù)量與高斯—勒讓德積分法計(jì)算得到的流速的相對(duì)誤差的關(guān)系如圖9所示.

由圖9可以看出，聲道數(shù)量為1～4聲道時(shí)，測(cè)量誤差減小比較迅速，四聲道測(cè)量時(shí)測(cè)量誤差大約為0.2%.聲道數(shù)量為4～8時(shí)，誤差仍呈減小趨勢(shì)，但是減小趨勢(shì)變緩慢，八聲道測(cè)量時(shí)的測(cè)量誤差約為0.08%.隨著聲道數(shù)量的繼續(xù)增加，測(cè)量誤差的減小趨勢(shì)逐漸趨于平緩，測(cè)量誤差變化已經(jīng)不再明顯，所以多聲道超聲波流量計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中，如果安裝環(huán)境允許可以選擇4～8聲道超聲波流量來(lái)提高流量計(jì)的測(cè)量準(zhǔn)確性.

圖9 聲道數(shù)量與測(cè)量誤差關(guān)系曲線(xiàn)Fig.9 The relationship between the number of channels and the measurement error

5 結(jié)論

1）提出3種適用于多聲道超聲波流量計(jì)在方形管道上進(jìn)行測(cè)量時(shí)的數(shù)值積分方法：牛頓—柯特斯方法，復(fù)合梯形公式法和高斯—勒讓德積分法.分別計(jì)算出3種方法應(yīng)用于四聲道超聲波流量計(jì)時(shí)的聲道高度和相對(duì)權(quán)重系數(shù)，并通過(guò)FLUENT仿真軟件對(duì)上述3種積分方法的準(zhǔn)確度進(jìn)行仿真驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用牛頓—柯特斯方法和復(fù)合梯形公式法進(jìn)行流速計(jì)算時(shí)，測(cè)量誤差太大，不適用于流速積分計(jì)算.而高斯—勒讓德積分法的測(cè)量誤差最大僅為0.62%，積分準(zhǔn)確度高，所以測(cè)量方形管道流速時(shí)應(yīng)選用高斯—勒讓德積分法對(duì)流速進(jìn)行計(jì)算.

2）當(dāng)多聲道超聲波流量計(jì)應(yīng)用高斯—勒讓德積分法進(jìn)行流速計(jì)算時(shí)，應(yīng)用FLUENT仿真模擬并繪制入口速度為5 m/s時(shí)的聲道數(shù)量與測(cè)量誤差的關(guān)系曲線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)聲道數(shù)量越多積分準(zhǔn)確度越高，但是聲道數(shù)量大于8時(shí)，測(cè)量誤差減小趨勢(shì)已不再明顯，繼續(xù)增加聲道數(shù)量對(duì)提高流量計(jì)的測(cè)量準(zhǔn)確度意義不大.實(shí)際應(yīng)用中可以選擇4～8個(gè)聲道數(shù)量對(duì)流體的流速進(jìn)行測(cè)量.

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