必要性探路 充分性搭橋*

湖南省長沙市明德中學

《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》明確了當代中學生學習數(shù)學應具備的必備品格和關(guān)鍵能力,并提煉為六大數(shù)學學科核心素養(yǎng):數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.

作為最具學科特色的邏輯推理,幾乎在數(shù)學學習和探索中無處不在,處處彰顯著化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,而轉(zhuǎn)化又通常要求等價轉(zhuǎn)化,即充分性與必要性的兼?zhèn)?但在很多情況下,我們在探求一個參數(shù)的取值范圍時,若沒有較好的切入點,如同在茫茫大海撈針一般.

事實上,題目總會有一個顯性或隱性的條件可以作為解題的突破口,這時我們可以順著這條線索,找出使問題成立的必要條件,由于必要條件得到的取值范圍是必須滿足的取值范圍,所以我們接下來對充分性的驗證只需限定在這個范圍進行,這就是“必要性探路”,常見于含參數(shù)的不等式恒成立問題,這也是高考試題命制者十分青睞的題型.

探索范圍大大縮小,探索有了明確的方向,而要完整地解決問題,就需“充分性搭橋”,這座橋怎樣搭?可以概括為兩個方法,其一是直接證明由必要性得出的取值區(qū)間(或其子區(qū)間) 恰能使問題恒成立,其二是反證,即證明不在這個區(qū)間時,都可以找到反例.

1.活躍在高考試題中的“必要性探路,充分性搭橋”的思維

1.1 顯性的探路條件,直接觀察代值顯性的探路條件可從題目所給自變量的取值范圍直接觀察出來,一般是區(qū)間的端點值.

例1(2019年高考全國Ⅰ卷文科第20題) 已知函數(shù)f(x) =2 sinx-xcosx-x,f′(x) 為f(x)的導數(shù).

(1) 證明:f′(x) 在區(qū)間(0,π) 內(nèi)存在唯一零點;

(2) 若x ∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解(1) 略.(2) 由條件得f(π)≥aπ,而f(π) =0,故得a ≤0.下證當a ≤0時,對于x ∈[0,π],不等式f(x)≥ax恒成立.

事實上,由(1) 知f′(x) 在區(qū)間(0,π) 內(nèi)存在唯一零點,不妨設為x0.一方面,當x ∈(0,x0) 時,f′(x)＞0; 當x ∈(x0,π) 時,f′(x)＜0.所以f(x) 在區(qū)間(0,x0) 遞增,在區(qū)間(x0,π) 遞減,注意到f(0) =f(π) =0,所以當x ∈[0,π]時,恒有f(x)≥0; 另一方面,當a ≤0,x ∈[0,π]時,恒有ax ≤0,從而f(x)≥ax恒成立.

綜上所述,a的取值范圍是(-∞,0].

評析條件給出的區(qū)間端點往往是我們探路的切入點,這里若代左端點0,則不等式變?yōu)楹愕仁?對問題的解決沒有幫助,探路失??！但若代入右端點π則可立即得到使不等式成立的必要條件a ≤0,這里的切入點是顯性的,觀察即得,不必贅述.接下來的搭橋是利用第(1) 問的結(jié)論通過函數(shù)的單調(diào)性得到f(x)≥0和ax ≤0 都恒成立,從而在兩者之間順利搭橋,此種方式屬于前面概括的第一種搭橋法.

另外,以三角函數(shù)為載體的函數(shù)導數(shù)大題,在近幾年全國高考卷中鮮有出現(xiàn),而大多是以xn,ex(或ax),lnx(或loga x) 這種“冪”、“指”、“對”的形式為載體.筆者觀察發(fā)現(xiàn),高考命題有一定風格,即螺旋式上升,今年的高考試題有可能在早些年的高考試題中找到影子,例如下面這個例子.

例2(2008年高考全國Ⅱ卷理科第22題) 設函數(shù)

(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2) 如果對任何x ≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范圍.

思路探求1(分離參數(shù)法) 第(2) 問若分離參數(shù)變?yōu)榧磳λ衳 ＞0 恒成立,看似簡單,只需求出的最大值,但實際上想通過對φ(x) 求導得出其單調(diào)性是十分繁雜的！

思路探求2(直接作差構(gòu)造函數(shù)) 令g(x) =ax-f(x),將問題轉(zhuǎn)化為對任何x ≥0,都有g(shù)(x)≥0,注意到g(0) =0,所以必存在x0＞0,使得x ∈(0,x0) 時,g′(x)≥0.否則,即若對任意x0＞0,x ∈[0,x0]時,都有g(shù)′(x)＜0,則x ∈(0,x0) 時,g(x) 在區(qū)間(0,x0) 遞減,于是g(x)＜g(0)=0,與題設矛盾！現(xiàn)在已將問題轉(zhuǎn)化為即對任意x ≥0 都恒成立,接下來如何求右邊的最大值呢?如果求導顯然很麻煩,文獻[1]采用了變形再構(gòu)造的方法.事實上,

思路探求3如果采用“必要性探路”的思維,則可大大簡化計算量！在將問題轉(zhuǎn)化為a對任意x ≥0都恒成立后,將端點值0 代入右邊,直接可得

我們只需驗證對于都可以找到反例即可！

顯然,當a ≤0時,取則從而f(x)＞ax,與題設矛盾！而當時,令h(x)=sinx -3ax,因為h′(x)=cosx -3a,又h′(0)=1-3a ＞0,=-3a ＜0,h′(x)是區(qū)間上的減函數(shù),由零點存在定理可知必存在唯一零點x0∈使h′(x0)=0,且當x ∈(0,x0) 時h′(x)＞0,故h(x) 在區(qū)間(0,x0) 遞增,所以當x ∈(0,x0) 時,h(x)＞h(0)=0,所以sinx ＞3ax,從而當x ∈(0,x0) 時,即f(x)＞ax,與題設矛盾！綜上所述,a的取值范圍是

評析同樣是先求必要條件,但思路3的探路方式明顯棋高一著,具有四兩撥千斤的作用;而在論證充分性時,這里采取了第二種“搭橋”法,即反證法.兩種“搭橋”方法的選擇要根據(jù)題目條件與結(jié)論綜合分析,靈活運用.

運用這種先必要后充分的方法還可以輕松化解2017年的一道高考數(shù)學壓軸題(見例3),有興趣的讀者不妨一試.

例3(2017年高考全國Ⅱ卷文科第21題) 設函數(shù)

(1) 討論f(x)的單調(diào)性;

(2) 當x ≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

1.2 隱性的探路條件,挖掘背后資源

隱形的探路條件是隱藏在題目背后的,當我們用顯性的區(qū)間端點值探路失敗時,三個問題立刻擺在我們面前,即應取什么樣的值?為什么要取這個值?怎樣用這個值探路?這就需要我們?nèi)プ屑毞治鰲l件,深入挖掘題目背后的豐富資源[2].

例4已知函數(shù)f(x) =axex-(a+1)(2x-1).

(1) 若a=1,求函數(shù)f(x)的圖像在點(0,f(0)) 處的切線方程;

(2) 當x ＞0時,函數(shù)f(x)≥0 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

思路探究第(1) 問雖然簡單,但卻為第(2) 問挖掘題目背后的豐富資源提供了啟示,很多復雜問題都可以借助關(guān)鍵的切線來化解.首先f(x) =axex -(a+1)(2x -1)≥0 在(0,+∞) 上恒成立可轉(zhuǎn)化為axex ≥2(a+1)x-(a+1) 在(0,+∞) 上恒成立,記g(x) =axex,h(x)=2(a+1)x-(a+1),則問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的大小關(guān)系:當x ＞0時,g(x)≥h(x) 恒成立.易知a ＞0(否則若a ≤0,則當x ＞0時,f(x)≥0 顯然不恒成立),由g(x)的單調(diào)性及圖像不難猜想,若g(x) 以h(x) 為切線,則必然滿足g(x)≥h(x),因此可試將切點的x值作為探路的突破口.事實上,設切點為(x0,y0),因為g′(x) =a(x+1)ex,h′(x)=2(a+1),由即則 可 解 得

解(1) 略;(2) 由題設取x=1 有f(1)≥0,立得又因為f′(x) =a(x+1) ex -2(a+1),所以當x ＞0時,f′′(x) =a(x+2) ex ＞0,所以f′(x) 在區(qū)間(0,+∞) 上遞增,注意到f′(0) =-2- a ＜0,f′(1) =2ea-2a-2=2[a(e-1)-1]≥0,由零點存在定理知必存在唯一的x0∈(0,1]使f′(x0)=0,且當x ∈(0,x0) 時f′(x)＜0,當x ∈(x0,+∞) 時f′(x)＞0,所以f(x) 在區(qū)間(0,x0) 遞減,在區(qū)間(x0,+∞) 遞增,所以f(x)的最小值為f(x0),由f′(x0) =a(x0+1) ex0-2(a+1)=0可得從而f(x0) =ax0ex0-(a+因為x0∈(0,1],所以有恒成立,從而f(x0)≥0 恒成立,進而f(x)≥0 恒成立.

綜上所述,a的取值范圍是之外的范圍內(nèi)的任意實數(shù)a,

評析

如果不作前面的思路探究深入挖掘背后資源,則難以取到特殊值1,就算是碰巧取到了,也無法解釋為什么要取這個值?比如取特殊值2 行不行呢?這時會得到這將為后續(xù)論證充分性時的賦值取點帶來不必要的麻煩,而且事實上這個范圍是一個必要不充分條件,范圍中還有多余的部分,又應如何取舍?況且我們也不可能把每一個特殊值都來試一遍,那樣無異于大海撈針！

2.結(jié)語

由此可見,一個好的切入點可以為解題帶來極大的幫助,大幅縮小解決問題的范圍,避免不必要的層層討論,減少繁瑣的運算,而“必要性探路”應怎樣探到這個切入點,為什么選擇這個切入點,參考答案從來都只是完美地呈現(xiàn)最后的成品,讓人嘆為觀止,卻又心有不甘,作為教師必須幫助學生講好背后的精彩故事,理清問題的來龍去脈,只有這樣才能讓邏輯推理的核心素養(yǎng)實實在在地在學生心中生根發(fā)芽;而在充分性論證上,則是“搭橋有法,搭無定法”,根據(jù)條件審時度勢選擇最佳方法才是王道.