三力交匯原理的應(yīng)用

李坤

如果物體受到三個(gè)不平行的力的作用而平衡，則這三力必在同一平面內(nèi)，且三力必共點(diǎn). 這就是三力交匯原理.

“杠桿類”平衡問(wèn)題

例1 用力[F]將水平地面上的一塊均勻木板一端抬起如圖1所示，保持靜止. 分析地面對(duì)木板有無(wú)摩擦力作用？

解析 木板除受重力，還受力[F]，如果把地面對(duì)木板下端的作用等效為一個(gè)力， 就是受三個(gè)不平行力而平衡，遵循三力匯交原理，可知三力的共點(diǎn)位置，如圖2所示. 由于彈力垂直地面向上，故可知靜摩擦力水平向右.

點(diǎn)撥 本題可以看出三力交匯原理對(duì)“杠桿類”平衡問(wèn)題有很強(qiáng)的甄別作用. [ 圖3]

例2 [A、B、C]三物體分別拴在三段足夠長(zhǎng)的輕繩上，跨過(guò)天花板上兩輕小定滑輪懸掛如圖3所示. 已知[mA]=4kg，[mB]=2kg，為使系統(tǒng)平衡時(shí)，中間物體[C]能在兩輪之間，則物體[C]的質(zhì)量可?。?）

A. [mC]=3kg B. [mC]=4kg

C. [mC]=5kg D. [mC]=6kg

解析 系統(tǒng)平衡時(shí)，結(jié)點(diǎn)[O]處所受合外力為零，三力矢量構(gòu)成封閉的矢量三角形，如圖4甲所示.

甲 乙 丙

再采用極端思考法：當(dāng)[mC]取某極大值時(shí)，因繩足夠長(zhǎng)，則結(jié)點(diǎn)[O]趨近右輪正下方，[O]上頭兩段趨于豎直，如圖4乙所示，則[mC]=6kg

當(dāng)[mC]取某極小值時(shí)，結(jié)點(diǎn)[O]趨近左輪，[O]上邊右側(cè)繩趨于水平，如圖4丙所示，則[mC]=[42-22=23]kg

綜上得[23kg

點(diǎn)撥 在較為復(fù)雜的單調(diào)變化問(wèn)題中，常常采用極端思考的思維方法，可將問(wèn)題特征很快凸顯出來(lái). 物理選擇題一些常用的思考方法，有如比較淘汰法、矢量圖解法、圖象法、假設(shè)法、等效轉(zhuǎn)換法、模型類比法、極端思考法、極限分析法、特值代入法、單位檢驗(yàn)法等.

剛體的平衡問(wèn)題

例3 如圖5所示，一個(gè)光滑的半球形碗內(nèi)，一根輕桿兩端固定有兩小球A、B. 當(dāng)它們靜止時(shí)，A、B與球心O的連線與水平分別成60°和30°. 求A、B兩球的質(zhì)量之比和碗對(duì)它們的彈力大小之比. [ 圖5]

解析 方法一：先分析兩球受力，如圖6所示，平衡時(shí)，根據(jù)力矢量三角形與幾何三角形相似，對(duì)小球[A]，有[mAgOC=FAC=NAR]

對(duì)小球[B]，有[mBgOC=FBC=NBR]

由于[F=F]，故[mAmB=BCAC=NANB]

又[ACBC=x1x2=Rcos600Rcos300=13]

聯(lián)立解得[mAmB=NANB=31]

本題可等效為兩個(gè)“拉 [ 圖6]力”[NA]、[NB]將剛體“吊”在“懸點(diǎn)”[O]處平衡，故整體的質(zhì)心在[O]得正下方[C]，整體的合外力為零，構(gòu)成封閉的力矢量三角形. 由于[NA⊥NB]，整體的重力[（mA+mB）g]豎直向下，故由矢量圖6，得[NANB=31]

方法二：桿連接[A、B]兩球可以看作整體，但不是質(zhì)點(diǎn)，是剛體. 靜平衡的剛體同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）所受外力的矢量和為零，含軸處受力；（2）對(duì)任意轉(zhuǎn)軸，所受外力的力矩代數(shù)和為零，即

[∑F=0∑M=0]

根據(jù)剛體的平衡條件[∑M=0]，對(duì)整體，不計(jì)內(nèi)力[F]和[F]，以圓心[O]為軸，[mA]和[mB]的力臂都為零，力矩為零；有[mAg?Rcos60°=mBg?Rcos30°]，得[mAmB=31]

點(diǎn)撥 比較上述解法，顯然從力矩的角度思考更簡(jiǎn)明輕松. 要求同學(xué)們掌握力矩的概念，會(huì)找各力的力臂——轉(zhuǎn)軸到力的作用線的距離.

例4 長(zhǎng)[L]、質(zhì)量 [ 圖7]為[m]的均勻直桿[AB]放置在光滑的半徑為[R]的半球形碗內(nèi)，如圖7所示，平衡時(shí)，求碗口處對(duì)桿的支持力大小[NB].

解析 本題直桿受三個(gè)不平行的力而靜止，三力矢量和為零，三力必共點(diǎn)（三力匯交定理），三力構(gòu)成封閉的“力矢量三角形”，如圖8所示.

根據(jù)圖中幾何三角形與力矢量三角形相似，有

方法一：[mg2R=NBL2]，得[NB=L4Rmg]

方法二：[BC=2Rcos2θ=L2cosθ]，得[cos2θcosθ=L4R]

在力矢量三角形中，由正弦定理，有

[NBsin（900-2θ）=mgsin（900+θ）]，即[NBmg=cos2θcosθ]

聯(lián)立解得[NB=L4Rmg]

方法三：均勻直桿[AB]大小不能忽略，不是質(zhì)點(diǎn)，是剛體. 對(duì)任意轉(zhuǎn)軸，桿所受外力的力矩代數(shù)和為零. 以[A]為轉(zhuǎn)軸，力[F]的力臂為零，力矩為零，有

[NB?2Rcosθ=mg?L2cosθ]，得[NB=L4Rmg]

點(diǎn)撥 有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體平衡問(wèn)題解題步驟：1.明確研究對(duì)象，即明確繞固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的是哪一個(gè)物體.2.分析研究對(duì)象所受力的大小和方向，并畫出力的示意圖.3.依題意選取轉(zhuǎn)動(dòng)軸，并找出各個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力臂，力矩的大小和方向. 特別是找力臂很關(guān)鍵. 4.列出兩個(gè)平衡方程求解.