觀察代數(shù)結(jié)構(gòu)特征 體會數(shù)學(xué)模型思想
——基于數(shù)學(xué)能力發(fā)展下的數(shù)學(xué)例習(xí)題教學(xué)模式研究

林 美

（福州屏東中學(xué)，福建 福州 350001）

“模型思想是一種重要的數(shù)學(xué)基本思想之一，在初中教學(xué)中融入模型思想，不僅能夠優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，而且能指導(dǎo)學(xué)生探索解題思路，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)從概念出發(fā)，深入探究其內(nèi)涵，挖掘其本質(zhì)，在解題時從概念出發(fā)，思考概念所涉及到的外延，這樣往往會水到渠成?！保?］

一、抓住代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，巧解一類方程題

觀察代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，可以有效突破一類數(shù)學(xué)難題。學(xué)生覺得題目難，關(guān)鍵就是題目的形式不熟悉，題目的參數(shù)多。這個難點的突破口就是把握式子本身的結(jié)構(gòu)特征，用整體的思想去看待某個式子，利用模型思想將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題。在教學(xué)人教版七年級下二元一次方程組的習(xí)題課時，筆者就對一道課例進(jìn)行題組變形，讓學(xué)生體會代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，從而學(xué)會抓住解題的本質(zhì)。

分析：難點突破觀察式子的結(jié)構(gòu)特征就會變繁為易，變難為簡，該道題把（x-2）和（y+3）分別看成兩個整體，可得x-2=，y+3=，則方程組的解是

抓住問題的關(guān)鍵，繼續(xù)進(jìn)一步變式：

窮追不舍，繼續(xù)挖掘式子的結(jié)構(gòu)特征，多參數(shù)的計算，可以讓學(xué)生進(jìn)一步思考問題。

求下列關(guān)于x，y的方程組的解？方程組的變式如下：

課堂上，筆者常通過這一類題目，讓學(xué)生找到共同特點：抓住式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知的模型思想進(jìn)行解答。這樣的題組訓(xùn)練，對于學(xué)生深入挖掘題目內(nèi)涵和外延，對于知識體系的建構(gòu)，思維的拓展都起到很好的效果。

二、抓住代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，挖掘新概念的生成過程

很多情況下，作為一線的教師本身就沒有理解為什么要引入新的知識點，沒有花心思去思考新概念生成的過程，更不會去體會新概念的存在意義和價值。

可以思考這樣一個問題，為什么要學(xué)習(xí)整式，這章在初中學(xué)習(xí)的作用和意義。其本質(zhì)就是從數(shù)到字母的一個生成過程。深刻體會用字母或含有字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系在數(shù)學(xué)上的重要作用，讓學(xué)生學(xué)會觀察代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，在教學(xué)中讓學(xué)生不斷體會概念的生成過程，在生成過程中挖掘其共性，這樣的教學(xué)就會更加有意義。下面以“同類項的定義”這個概念生成過程來體會從數(shù)到字母的轉(zhuǎn)化的必要和聯(lián)系。

例2觀察下面式子：

（1）運用運算律計算：

（2）根據(jù)（1）中的方法完成下面的運算，并說明其中的道理：

60a+130b+40a-30b

式子本身有相同的結(jié)構(gòu)，并且用字母a，b代表一個因（乘）數(shù)。這樣就水到渠成找到了類，進(jìn)而引出同類，發(fā)現(xiàn)同類項的定義。學(xué)生在觀察式子的結(jié)構(gòu)的過程中，牢牢抓住式子的結(jié)構(gòu)特征，不斷體會從數(shù)到字母的轉(zhuǎn)化過程，了解字母式本身的意義從而引出新概念。

教師不斷引導(dǎo)學(xué)生去挖掘概念的生成過程，才能讓學(xué)生體會知識本身存在的意義，也為代數(shù)知識的建構(gòu)，內(nèi)化知識提供有效的方法。一線教師實實在在地去研究課本，從課本的內(nèi)涵出發(fā)，引出新的概念，不斷滲透數(shù)學(xué)的思想和方法，讓學(xué)生在解題中觸類旁通。

三、抓住代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，突破定勢思維

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個不斷探索的過程，而在此過程中怎樣學(xué)習(xí)是重中之重。學(xué)生在遇到題目時總是很難從式子中觀察出其內(nèi)在聯(lián)系，無法把未知的形式轉(zhuǎn)化為已知的形式。抓住代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，在最近學(xué)習(xí)區(qū)域去找已知的知識點，在中考復(fù)習(xí)中就顯得尤為重要。

以一道一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的習(xí)題課，突破中考的難題，中考題源于課本，高于課本。一線教師只有在新課教學(xué)過程中層層滲透數(shù)學(xué)模型思想，學(xué)生才會在面對題目時臨危不懼。在一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系第二課時，以下面題組形式讓學(xué)生思考一類問題：

學(xué)生的常規(guī)做法就是算二次根式得到結(jié)果，不妨引導(dǎo)學(xué)生觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)上面的算式可以分解兩個式子，其形式與一元二次方程的根的結(jié)構(gòu)類似，就是公式法解一元二次方程的根，再進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)就是是一元二次方程2x2+5x+3=0的兩根之和。這道題就迎刃而解。

進(jìn)一步思考這類問題，進(jìn)一步變式求值：

題組呈現(xiàn)，讓學(xué)生學(xué)會觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，可以找到式子背后最本質(zhì)的含義。初中代數(shù)的學(xué)習(xí)就是充分理解知識本身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，再去看一類中考題，發(fā)現(xiàn)它難在考察了代數(shù)本身的結(jié)構(gòu)特征，代數(shù)的轉(zhuǎn)化思想和模型思想，為解決多參數(shù)的題目提供了幫助。

例 4（2014年福建廈門）設(shè) a=192×918，b=8882-302，c=10532-7472，則數(shù) a，b，c 按從小到大的順序排列，結(jié)果是

解：從式子的結(jié)構(gòu)特征去估算a，b，c的值，a=192×918=361×918，b=8882-302=（888-30）（888+30）=858 ×918，c=10532-7472=（1053+747） （1053-747） =1800×306=600×918．

例5（2017年福建）若直線y=kx+k+1經(jīng)過點（m，n+3）和（m+1，2n-1），且 0

這些題目都是抓住代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，去認(rèn)識它就是因式分解和不等式的綜合題。

四、抓住代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，建立數(shù)學(xué)模型

教師在代數(shù)的教學(xué)中，不僅讓學(xué)生學(xué)會觀察代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，訓(xùn)練學(xué)生抽象概念的能力，而且培養(yǎng)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想，使實際問題數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)問題實際化，用數(shù)學(xué)的眼光去看世界，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)世界，為適應(yīng)社會打下堅實基礎(chǔ)。

“著名的數(shù)學(xué)家戈爾丁認(rèn)為，為了了解周圍世界，人們把自己的觀點以及思想組織成概念的體系，這種概念體系就是模型?！保?］而用數(shù)學(xué)的語言、方法對各種對象著眼于模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力等方面來探討初中方程教學(xué)，深入發(fā)展代數(shù)結(jié)構(gòu)特征的研究，建立模型的過程就成為數(shù)學(xué)建模。我國的《九章算術(shù)》中有很多數(shù)學(xué)模型（如：方田、方程、衰分、勾股等），它的理論版塊有：“題”“答”“術(shù)”，其中“術(shù)”是解決問題的方法，即數(shù)學(xué)建模。由此得知，數(shù)學(xué)模型起源于生活經(jīng)驗，起源于社會實踐活動。［1］方程的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建?；顒雍湍Ｐ退枷?，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力與應(yīng)用意識。學(xué)生在學(xué)習(xí)中就會調(diào)動學(xué)習(xí)的的積極性和主動性，不斷激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

例6：（2017年福建）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”其大意是：“有若干只雞和兔關(guān)在同一籠子里，它們一共有35個頭，94條腿，問籠中的雞和兔各有多少只？”

建模循環(huán)強調(diào)了建模過程作為循環(huán)重復(fù)的形式出現(xiàn),布魯姆（Blum）和凱瑟梅斯默（Kaiser-Messmer）提出的循環(huán)過程是許多相似觀點的典型，［3］如下圖：

布魯姆和凱瑟梅斯默的建模循環(huán)

嘗試著在現(xiàn)實情境中尋找數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的思維思考情境，把生活語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題：

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強調(diào)如何調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，如何讓學(xué)生學(xué)會深層次的思考，如何鼓勵學(xué)生的思維創(chuàng)造性？這就是需要教師在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中不斷去滲透。用方程解決實際問題是重要教學(xué)內(nèi)容之一。實際問題的教學(xué)就是數(shù)學(xué)建?；顒拥乃夭?，讓學(xué)生把生活問題用數(shù)學(xué)的眼光去看，用數(shù)學(xué)的思維去解決，滲透著典型的模型思想。面對多元的世界，一線教師更要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的真正價值，能用數(shù)學(xué)的知識體系去看世界，用數(shù)學(xué)的思想方法去判斷世界，能解決生活中的實際問題.

數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中貫穿著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法。特別強調(diào)數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓和數(shù)學(xué)的靈魂。它往往被忽視，沒有發(fā)揮應(yīng)有的價值。對于學(xué)生，要學(xué)會數(shù)學(xué)所蘊含的思想方法，形式數(shù)學(xué)素養(yǎng)，體會數(shù)學(xué)對于人類文明發(fā)展的貢獻(xiàn)，形成正確的世界觀、人生觀和價值觀，彰顯數(shù)學(xué)育人的價值。一線教師就是在不斷挖掘課本內(nèi)涵，不斷突破自己教學(xué)的困惑。教師就要做到不斷學(xué)習(xí)發(fā)展，不要停留在知識的層面，在教學(xué)中要有足夠的視野，才能在教學(xué)中深入淺出，有的放矢。在教學(xué)中不斷給學(xué)生恰當(dāng)?shù)膯栴}，恰當(dāng)?shù)那榫?，恰?dāng)?shù)臋C會，給學(xué)生足夠的空間，在某個困惑中不斷思考、嘗試、探索、挖掘，把這個困惑變成知識技能，形成自己的能力，發(fā)展自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［1］于莉.基于模型思想的初中方程教學(xué)設(shè)計研究［D］.重慶：重慶師范大學(xué)，2013．

［2］張茹靜.數(shù)學(xué)模型思想與中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)之研究［D］.西安：陜西師范大學(xué)，2002．

［3］童永健.高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的分析及再設(shè)計［D］.上海：華東師范大學(xué)，2016.