數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透
——以“加減消元法解二元一次方程組”課堂教學(xué)為例

陳琬琛

（長樂華僑中學(xué)，福建 福州 350200）

數(shù)學(xué)思想方法是“對數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容（如概念、命題、規(guī)律）和數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出來的基本觀點和根本想法，對數(shù)學(xué)活動具有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想”。［1］

初中數(shù)學(xué)中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法許多，其中最基本的數(shù)學(xué)思想方法是轉(zhuǎn)化（化歸）思想、數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想、函數(shù)和方程思想、整體思想等，抓住這些基本思想方法，就相當(dāng)于抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的精髓。下面筆者以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（人教版）《數(shù)學(xué)》（七年級下）“消元——解二元一次方程組（加減法第一課時）”為例，就如何在課堂教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透談?wù)勛约旱囊恍┙虒W(xué)心得。

一、解析出教材內(nèi)容蘊含的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法具有隱喻性的特點，它隱于數(shù)學(xué)知識內(nèi)部，要經(jīng)過反復(fù)體驗才能領(lǐng)悟和運用。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，首先需要從對教學(xué)內(nèi)容的分析入手，析出其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。

例如：對“消元——解二元一次方程組”的教學(xué)內(nèi)容解析。

首先，明確解二元一次方程組最終是使方程組變形為x=a，y=b的形式，即在保持各方程左右兩邊相等關(guān)系的前提之下，使“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”；之前學(xué)生已學(xué)過“一元一次方程”，現(xiàn)在對“如何解由含有多個未知數(shù)的多個方程組成的方程組”的新問題，自然就聯(lián)想到是否可以轉(zhuǎn)化為“解含一個未知數(shù)的一元一次方程”的舊知識來解決，這就是“把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，把生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，從而把問題由難化易地解決的化歸思想方法”；接下來，要達(dá)到化“二元”為“一元”，就要先消去一個未知數(shù)，即逐步減少未知數(shù)的個數(shù)，使方程組化歸為一元方程，這就是“將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的消元思想”；再接下來就是如何“消元”了，這就產(chǎn)生了“代入法”和“加減法”，它們只是具體消元的過程有所不同；最后，為了達(dá)到“代入”和“加減”，還需要“恒等變換”的方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)“消元——解二元一次方程組（加減法第一課時）”之前已學(xué)過加減消元法解二元一次方程組，對消元思想已有初淺認(rèn)識。

二、精心設(shè)計教學(xué)過程，彰顯內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想方法

（一）在導(dǎo)入環(huán)節(jié)滲透數(shù)學(xué)思想方法

課前導(dǎo)入是一節(jié)完整的課堂教學(xué)不可缺少的環(huán)節(jié)，它猶如電影的“序幕”和樂曲的“引子”，對于接下來的教學(xué)工作起著重要的引導(dǎo)和鋪墊的作用。奧蘇伯爾曾提出：“在呈現(xiàn)具體內(nèi)容之前，先呈現(xiàn)一些密切相關(guān)的、包容范圍廣但又非常容易使人理解和記憶的引導(dǎo)性材料——先行組織者。先行組織者能激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已具備的相關(guān)知識，使學(xué)生認(rèn)識到它們之間的聯(lián)系；先行組織者為將要學(xué)習(xí)的材料提供了一個框架或線索，起到了導(dǎo)游圖的作用，能使學(xué)生對學(xué)習(xí)進(jìn)程心中有數(shù)，幫助學(xué)生建立有意義學(xué)習(xí)的心向，有助于學(xué)生掌握研究問題的方法。”

例如：“消元——解二元一次方程組（加減法第一課時）”課前導(dǎo)入實錄。

師：前兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用代入消元法解二元一次方程組。用代入消元法解二元一次方程組的基本思路是什么？

生：消元，化“二元”為“一元”，從而化“未知”為“已知”。

師：很好。這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中很重要的思想方法——“消元”“化歸”思想。下面請大家做一道題。

教師沒有明確用代入消元法解這個方程組，請學(xué)生自主探究，完成解答過程，然后通過視頻展示學(xué)生的不同解法過程。

解法二：把3y看成是一個整體，由（2）式轉(zhuǎn)化為3y=5x-8的形式，然后直接代入（1）消去3y，用的是整體代入消元法。

師：上述解法過程雖有不同之處。但指導(dǎo)思想都是一樣的——消元，化“二元”為“一元”。比較一下哪一種更簡便?

學(xué)生通過比較達(dá)成共識：解法二整體代入消元法相對更簡便。

師：有沒有更簡捷的解法呢？

評注：以上教學(xué)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固用代入法解二元一次方程組，體會用代入法解二元一次方程組的基本思路——消元（消元思想），化“二元”為“一元”（化歸思想），這里還滲透著整體思想。學(xué)生在體會“代入法”存在不足的同時，產(chǎn)生探究新方法的欲望。

（二）在新知探究活動中經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想方法的形成過程

例如：“消元——解二元一次方程組（加減法第一課時）”導(dǎo)入環(huán)節(jié)中的問題1，教師可通過問題串引導(dǎo)學(xué)生共同分析：

1.觀察上述方程組，y的系數(shù)有什么特點？——互為相反數(shù)。

2.除了代入消元法，你還有沒有別的方法可以消去y呢？

方程的兩邊分別對應(yīng)相加，就可消去y，得到一個一元一次方程組。（教師板書：（1）+（2）得（2x+3y）+（5x-3y）=-1+8，即 7x=7）

3.通過這樣的變形，方程變了，得到的新方程會成立嗎？依據(jù)什么？——成立。依據(jù)等式的性質(zhì)。

評注：通過問題串引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識加減法的步驟及依據(jù)，明確加減法的目的還是“消元”，體會化“二元”為“一元”，從而化“未知”為“已知”的化歸思想。

學(xué)生練習(xí)并點評后，教師將問題1的第2個方程中 3y 項前的“-”改為“+”得到：

隨著新課程改革的到來，國內(nèi)的初中英語教育開始進(jìn)行全面創(chuàng)新和拓展，不僅形成了全新的教學(xué)觀念，而且開始對學(xué)生的主體性有了深層次的重視，但是在實際教學(xué)中，依舊存在相當(dāng)大的問題，有待在新時期采取一些創(chuàng)新有效的措施加以綜合應(yīng)對。本文從實踐教學(xué)中的創(chuàng)新教學(xué)實踐出發(fā)，分析培養(yǎng)初中英語課堂學(xué)生創(chuàng)造性思維的意義，提出培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的對策，最終對創(chuàng)新教學(xué)方式得以改良，使其在初中英語教學(xué)工作中發(fā)揮出最大的功效。

師：你能仿照剛才的解法嘗試解方程組嗎？

有了前面的探究作鋪墊，學(xué)生很容易想到解法。最后教師引導(dǎo)學(xué)生共同總結(jié)出“加減消元法”的概念。

評注：“通過具有適當(dāng)變化性的問題情境，把那些在解題思想上具有相似或相關(guān)的內(nèi)容，用變式的形式串聯(lián)起來，在變化中求不變，在變式中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的真諦——變式策略”［2］

（三）在知識應(yīng)用中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法具有過程性的特點，它不能與知識、技能同步掌握，需要經(jīng)歷一個較長的過程，不能死記硬背，不能機(jī)械模仿，不是兩道例題或幾堂課就能掌握的?！皵?shù)學(xué)思想方法蘊含于知識教學(xué)中，重在悟，悟就需要一個過程，一個循序漸進(jìn)，逐步逼近思想本質(zhì)的過程?！保?］學(xué)生要逐步體會、理解和掌握，需要經(jīng)歷“實踐——認(rèn)識——再實踐——再認(rèn)識”的過程。因此，在二元一次方程組的解法教學(xué)中，設(shè)置體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的例題或練習(xí)是十分必要的。

例如：“消元——解二元一次方程組（加減法第一課時）”知識應(yīng)用環(huán)節(jié)

教師將問題2的第2個方程中3y項的系數(shù)“3”改為“6”得到：

問題3：加減法解二元一次方程組

師：這時還能用加減法消去一個未知數(shù)，轉(zhuǎn)化成一元一次方程來解嗎？（教師繼續(xù)滲透消元思想、化歸思想）

有了前面的探究作準(zhǔn)備，學(xué)生能想到將此問題轉(zhuǎn)化成上一問題形式去解決，學(xué)生很快想到解法：y的系數(shù)成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系，（1）×2-（2）或（2）-（1）×2 可消去y。

師：本題若想用加減法消去x，方程又該如何變形呢？

有了前一種情況的鋪墊，有的同學(xué)馬上想到：解法一：（2）×0.4-（1）可消去 x；

教師進(jìn)一步追問：能不能不出現(xiàn)小數(shù)或分?jǐn)?shù)又能使X的系數(shù)絕對值相等呢？學(xué)生很快又提出：解法三：（1）×5-（2）×2 也可消去 x。

學(xué)生解題后教師引導(dǎo)學(xué)生解后反思：用加減法解同一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值不相等的二元一次方程組時，把一個（或兩個）方程的兩邊乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，通過“消元”后“轉(zhuǎn)化”為問題1或2類型的方程組求解（教師繼續(xù)用“變式策略”滲透“轉(zhuǎn)化”與“化歸”的思想方法）。

（四）及時總結(jié)反思使數(shù)學(xué)思想方法納入認(rèn)知系統(tǒng)

數(shù)學(xué)思想方法的滲透少不了總結(jié)反思這一環(huán)節(jié)，經(jīng)過一系列觀察、分析、比較、判斷、修正等思維活動后提煉出來的數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生來說才是易于體會、易于接受的。在教學(xué)過程中需要結(jié)合具體知識內(nèi)容，在總結(jié)反思時也同樣需要結(jié)合具體知識內(nèi)容。例如，“消元——解二元一次方程組（加減法第一課時）該節(jié)課筆者在總結(jié)時準(zhǔn)備了下面的框圖。

這一框圖展示了加減消元法解二元一次方程組的具體步驟，可以結(jié)合框圖回顧解二元一次方程組的過程，滲透算法中程序化的思想，也可以結(jié)合框圖總結(jié)消元思想、化歸思想。利用框圖總結(jié)反思，學(xué)生能把知識、技能、思想方法融為一體，使得思想方法有了載體，知識技能有了靈魂。

在“消元——解二元一次方程組（加減法第一課時）”的課堂教學(xué)中，筆者從“課前導(dǎo)入”中的代入法解方程組到“探索新知”中的加減法解方程組，再到最后的“總結(jié)反思”，由始至終滲透著“消元”“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，它們在解方程中具有指導(dǎo)作用，學(xué)生領(lǐng)會了它們，就能從整體上認(rèn)識問題的本質(zhì)，對于代入法、加減法等具體步驟就不會僅是死記硬背，而能夠順勢自然地理解，并能夠靈活地運用，進(jìn)而最大程度地培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性，提高思維的深刻性。

“數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要組成成分之一，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，在促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展中具有決定性作用?！保?］“授人以魚，不如授之以漁”。教育工作者要本著以人為本，以學(xué)生的全面發(fā)展為目標(biāo)，努力鉆研教材，不斷加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透，以有助于加深學(xué)生的理解和感受，使數(shù)學(xué)思想方法帶給學(xué)生更深遠(yuǎn)的影響，并從中獲益終身。

［1］理海東.重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)——“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計的理論與實踐”初中第六次課題會議成果綜述［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2011（1/2）.

［2］章建躍，朱文芳.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)［M］.北京：北京教育出版社，2001.