聚焦數(shù)學(xué)課堂 落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)
——以《函數(shù)的單調(diào)性》的教學(xué)為例

林晴嵐 張 潔 黃 勇 陳柳娟

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建 福州 350025）

一、從教學(xué)整體結(jié)構(gòu)把握課程，落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)全方位多角度的培養(yǎng)工程。數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地。教師應(yīng)從學(xué)科價(jià)值、社會(huì)價(jià)值、育人價(jià)值三方面站在課程的高度理解教材、解讀教材、用好教材。在此基礎(chǔ)上，利用課堂的教與學(xué)促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、合理應(yīng)用有思維體驗(yàn)經(jīng)歷過程積累，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思維經(jīng)驗(yàn)，增加解決數(shù)學(xué)問題的基本能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)培養(yǎng)扎實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、提升數(shù)學(xué)解決基本問題能力，形成數(shù)學(xué)解決問題基本思想、基本方法，促進(jìn)學(xué)生形成以數(shù)學(xué)的眼光看世界，以數(shù)學(xué)的思維思考世界，以數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.教材分析與處理、學(xué)情分析

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的基礎(chǔ)概念之一，函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主體內(nèi)容，幾乎每一章都貫穿著函數(shù)的思想，可以說函數(shù)的思想是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的“綱”，是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)語言。函數(shù)的教學(xué)分為三個(gè)階段：第一階段在九年義務(wù)教育的第三學(xué)段（即初中）數(shù)學(xué)課程中，以學(xué)習(xí)一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)內(nèi)容為主，探討函數(shù)的概念、表示法、圖像畫法為主；第二階段在高中數(shù)學(xué)必修課程中，以學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列為主，從中獲得較系統(tǒng)的函數(shù)知識(shí)，培養(yǎng)函數(shù)應(yīng)用意識(shí)；第三階段在高中數(shù)學(xué)選修課程中，以學(xué)習(xí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為主，培養(yǎng)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決具體問題的能力。

《函數(shù)的單調(diào)性》這節(jié)課是高中數(shù)學(xué)必修1第二章《函數(shù)》第三節(jié)中的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中初步了解函數(shù)的意義，從變化的觀點(diǎn)理解函數(shù)概念、性質(zhì)，形成對簡單的基本初等函數(shù)的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，用對應(yīng)的觀點(diǎn)更深入理解函數(shù)概念，學(xué)習(xí)研究函數(shù)的單調(diào)性。

二、在“教”與“學(xué)”的過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

函數(shù)這章的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生從具體的函數(shù)中觀察、梳理變化的共性特征，從而抽象出一般函數(shù)所具備的性質(zhì)，并能從圖形的直觀形象狀態(tài)，通過合理的變式、引申，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納數(shù)學(xué)方法，能用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理，抽象數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，最終落實(shí)到能用數(shù)學(xué)抽象的符號(hào)語言正確表述變化特征，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的深度發(fā)展，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入課題

問題1：觀察第一組函數(shù)圖像，指出其變化趨勢？

從左至右函數(shù)圖像呈現(xiàn)出 的變化趨勢，教師通過“引”學(xué)生觀察函數(shù)圖像，能用形的直觀語言說出隨著函數(shù)從左至右的變化特征是圖像具有上升變化趨勢。

“導(dǎo)”出用數(shù)學(xué)語言表述函數(shù)單調(diào)遞增的特征:函數(shù)圖像在該區(qū)間內(nèi)逐漸 “上升”，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)為：當(dāng)x的值增大時(shí)，函數(shù)值y也隨著x增大而增大。

【設(shè)計(jì)意圖】通過從具體函數(shù)的圖像觀察，讓學(xué)生形成對函數(shù)的單調(diào)性的圖形特征的感性認(rèn)知到數(shù)學(xué)抽象概念形成體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述單調(diào)遞增函數(shù)的定義形成的抽象概括過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

問題 2：如果存在 x1＜x2＜…＜xn＜…無數(shù)個(gè)取值，均滿足有 f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn）＜…成立，能否判斷函數(shù)在定義域R上是增函數(shù)嗎？

從具體的實(shí)例出發(fā)對問題進(jìn)行分析，進(jìn)而抽象概括出單調(diào)增函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值 x1，x2，當(dāng) x1＜x2時(shí)，都有 f（x1）＜f（x2），那么，就稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是單調(diào)遞增，區(qū)間D也稱函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，分析、比較、歸納、抽象、概括，通過從具體函數(shù)的取有限點(diǎn)到無限點(diǎn)，以及對無限點(diǎn)與任意點(diǎn)的探究，引入一般函數(shù)的單調(diào)性的數(shù)學(xué)符號(hào)語言定義，掌握關(guān)鍵詞：定義域、子區(qū)間、任意、都有、單調(diào)、增區(qū)間。讓學(xué)生感受從具體函數(shù)逐漸過渡到抽象函數(shù)的研究過程。使學(xué)生體會(huì)函數(shù)單調(diào)性用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)謹(jǐn)描述單調(diào)遞增函數(shù)的定義形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

2.類比探究，形成概念

問題3:觀察第二組函數(shù)圖像，指出其變化趨勢？

從左至右函數(shù)圖像呈現(xiàn)出______ 變化趨勢。

在學(xué)生回答上述圖像趨勢后，“引導(dǎo)”學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述函數(shù)單調(diào)遞減的特征:函數(shù)圖像在該區(qū)間內(nèi)逐漸“下降”。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為：當(dāng)x的值增大時(shí),函數(shù)值y也隨著x增大而減少。

問題4：請用類比單調(diào)增函數(shù)的數(shù)學(xué)符號(hào)語言定義給單調(diào)減函數(shù)下一個(gè)定義？

【設(shè)計(jì)意圖】通過對比函數(shù)單調(diào)遞增、遞減的圖像，讓學(xué)生形成對函數(shù)的單調(diào)性的幾何直觀圖形特征認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生類比得到單調(diào)減函數(shù)的定義，感受函數(shù)遞增、遞減兩者在定義上的不同關(guān)鍵點(diǎn)。使學(xué)生從對初中特殊函數(shù)直觀圖形的研究逐漸過渡到對一般函數(shù)單調(diào)性的抽象定義研究中，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

整合單調(diào)遞增、單調(diào)減概念，函數(shù)單調(diào)性統(tǒng)一表達(dá)為：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有 f（x1）＜f（x2）或 f（x1）＞f（x2），那么，就稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是單調(diào)增或減函數(shù)，區(qū)間D也稱函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間。

【設(shè)計(jì)意圖】通過對具體函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語言的研究，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)的單調(diào)性從用“圖形語言”“文字語言”過渡到用“符號(hào)語言”描述的過程，實(shí)現(xiàn)對函數(shù)單調(diào)性的三種數(shù)學(xué)語言的表達(dá)形式的認(rèn)知，從而提升學(xué)生的抽象與概括能力。培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

3.通過典型例練，促進(jìn)理解單調(diào)性概念

例 1 如圖是定義在［－5，5］上的函數(shù) y=f（x）的圖像，根據(jù)圖像說出y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間是？

學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤為：y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間是［－5，-2］∪［1，3］。

教師對錯(cuò)誤答案進(jìn)行分析后，進(jìn)一步提問：能不能說函數(shù) f（x）=在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生利用具體的函數(shù)圖像，學(xué)習(xí)用正確數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)單調(diào)區(qū)間，加深對函數(shù)單調(diào)性理解。培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)。例 2 證明：函數(shù) f（x）=x-在（0，+∞）上是增函數(shù)。

證明：設(shè) x1，x2是區(qū)間（0，+∞）上的兩個(gè)任意的實(shí)數(shù)，且 x1＜x2……設(shè)值。

【設(shè)計(jì)意圖】規(guī)范訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)語言證明函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的單調(diào)性的抽象概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖像之間聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

【鞏固練習(xí)】練習(xí) 1：設(shè)函數(shù) y=f（x）的定義域?yàn)?I，如果對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值 x1，x2，當(dāng) x1＜x2時(shí)，都有 f（x1）＜ f（x2），那么,就稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上圖像是否一定是上升的？如果是，請給說明；不是，請舉出反例。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生從另一個(gè)角度理解函數(shù)的單調(diào)性，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)關(guān)鍵詞“任意”“都有”“增函數(shù)”“減函數(shù)”在數(shù)學(xué)符號(hào)與概念中的重要作用，揭示函數(shù)單調(diào)性定義既是判定又是性質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生掌握運(yùn)用定義法規(guī)范證明函數(shù)單調(diào)性的表達(dá)方式，提升學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)交流能力。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)。在教學(xué)過程中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念從具體到抽象、從特殊到一般，從有限到無限的符號(hào)化過程，讓學(xué)生在解決問題的過程中實(shí)踐體會(huì)的基礎(chǔ)上，從不同角度觀察同一事物共同屬性，以抽象為基礎(chǔ)、通過實(shí)踐嘗試、循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由感性認(rèn)識(shí)到抽象概括出數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)概念形成重要過程，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、在評(píng)價(jià)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的獨(dú)特育人功能主要體現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生的思維特別是邏輯思維上。其主要目的是使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)有邏輯地思考、創(chuàng)造性思考。函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)能以學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，重視讓學(xué)生通過對已有知識(shí)的再認(rèn)識(shí)研究發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，從圖形的觀察得出直觀自然語言表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，逐步引導(dǎo)過渡到會(huì)用數(shù)學(xué)的抽象符號(hào)語言表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；掌握用類比的方式學(xué)習(xí)新知、認(rèn)識(shí)新知、理解新知、應(yīng)用新知，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。

在整個(gè)課堂教學(xué)的過程中，教師給學(xué)生較充分的思考時(shí)間，從傳授轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷對問題的思考、變通、遷移過程，積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。整個(gè)課堂落實(shí)函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)的知識(shí)量、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)量、問題的思維量，學(xué)習(xí)形式也從單一轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘣?，從中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力、知識(shí)應(yīng)用能力、提問能力、交流與合作能力、反思能力，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)化神奇為平常，化復(fù)雜為簡單的目標(biāo)。

［1］林晴嵐，陳柳娟，張潔.探尋高考數(shù)學(xué)試題之源，找準(zhǔn)復(fù)習(xí)目標(biāo)回歸教材——以函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用專題為例［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2017（5）.

［2］葉亞美.感受·體驗(yàn)·感悟［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊：中教版，2006（2）.

［3］陸斌.是教教材還是用教材教——從一節(jié)函數(shù)單調(diào)性的說課談起［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（4）.