運(yùn)用函數(shù)圖像法 巧解導(dǎo)數(shù)壓軸題

鄭政波

（古田縣第一中學(xué)，福建 古田 352200）

導(dǎo)數(shù)綜合題其所含知識(shí)往往涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等眾多高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)，解題方法往往要綜合和靈活運(yùn)用函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、構(gòu)造法、分離參數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法，加上函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的特殊地位，因此這類題成了全國高考數(shù)學(xué)各省市試題的“?？汀?。這類題用常規(guī)思路和方法求解，要么過程繁雜，要么運(yùn)算復(fù)雜。學(xué)生只好望題興嘆。

在多年的高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者在讓學(xué)生熟悉解決這類問題的常規(guī)思路和方法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出了一套應(yīng)對(duì)［1］零點(diǎn)、恒成立求參數(shù)、證明一些不等式問題難通甚至不通時(shí)的求解策略：分類構(gòu)造函數(shù)圖像法。

例 1（2013年新課標(biāo) 2理 21）已知函數(shù) f（x）=ex-ln（x+m）

（1）設(shè) x=0 是函數(shù) f（x）的極值點(diǎn)，求 m，并討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng) m≤2 時(shí)，證明 f（x）＞0。

解析：（1）略；（2）因?yàn)?m≤2，所以 x+m≤x+2，ln（x+m）≤ln（x+2）而函數(shù) y=ln（x+2）的圖像上凸，在點(diǎn)（-1，0）處的切線方程為 y=x+1，所以 ln（x+2）≤x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），又因?yàn)楹瘮?shù)的圖像下凸，在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為 y=x+1，所以 ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)取等號(hào)），所以 ex≥x+1≥ln（x+2），因?yàn)榈忍?hào)不能同時(shí)取到，所以ex＞ln（x+2），于是得 ex＞ln（x+m），所以 f（x）=ex-ln（x+m）不等式得證。［2］

圖1

點(diǎn)評(píng)：本例第（2）問，函數(shù) f（x）由函數(shù) y=ex與 y=ln（x+m）兩部分構(gòu)成，函數(shù)圖像比較熟悉，借助函數(shù)y=ex在（0，1）點(diǎn)切線與函數(shù)y=ln（x+2）在點(diǎn)（-1，0）處的切線方程都是 y=x+1 的特殊性，從而完美地利用數(shù)形結(jié)合解決問題。這種切線法解題高效、簡(jiǎn)潔其本質(zhì)實(shí)際上就是：半分離參數(shù)的函數(shù)圖像法。通過移項(xiàng)、適當(dāng)變形構(gòu)造兩側(cè)較為特殊函數(shù)圖像。請(qǐng)看下例：

例 2 當(dāng) x∈［-1，1］時(shí)，不等式 x3-ax+1≥0 恒成立，則a的取值范圍是______

試題分析：對(duì) x3-ax+1≥0學(xué)生基本上先通過分類討論，再用分離參數(shù)法解決。

解析：當(dāng)x=0時(shí)，不等式化為1≥0，恒成立，所以a∈R。

圖2

點(diǎn)評(píng)：分離參數(shù)法是常用的解題方法，主要是為了避免對(duì)字母的討論。該例還可以通過對(duì)不等式移項(xiàng)得：x3+1≥ax，看到了例 1 的影子。 作出函數(shù) f（x）=x3+1圖像，而函數(shù)是 g（x）=ax過原點(diǎn)的一條直線，當(dāng) g（x）與 f（x）相切于 A 點(diǎn)時(shí) a值最大，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo) A（u，au）（如圖2），利用解得a=隨著 a值的改變，直線 g（x）=ax 繞著原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，又因?yàn)?x∈［-1，1］，數(shù)形結(jié)合可知斜率（詳解過程略）

點(diǎn)評(píng)：不一樣的角度解題，切線法與分離參數(shù)法相比，有它獨(dú)特的幾何美感，這種美的享受自然是建立在對(duì)基本函數(shù)圖像熟悉的基礎(chǔ)上，但有時(shí)方程組的解法會(huì)隨著曲線 f（x）的復(fù)雜（如 f（x）含有ex，lnx等）而變得更加靈活。

例3（2010年全國卷第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng) a≥0 時(shí)f（x）≥0，求 a 的取值范圍.

圖3

試題分析：（1）略；

（2）觀察到函數(shù) f（x）=ex-1-x-ax2由幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成，因?yàn)?f（x）≥0，適當(dāng)移項(xiàng)把含參數(shù)項(xiàng)歸到一側(cè)，左右兩邊即可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)。移項(xiàng)原則上對(duì)含參數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的函數(shù)易由參數(shù)控制，不會(huì)造成函數(shù)圖像繁雜的討論。

解析:∵x≥0 時(shí) f（x）≥0

∴ex-1-x≥ax2令 h（x）=ex-1-x，g（x）=ax2則 h＇（x）=ex-1，因?yàn)?x≥0，所以 h＇（x）≥0，又因?yàn)?h＇＇（x）=x2＞0，所以函數(shù) 圖像下凸，利用導(dǎo)數(shù)作出函數(shù)h（x）圖像（如圖 3）。

當(dāng) a≤0 時(shí)，g（x）=ax2圖像都在函數(shù) h（x）圖像下方，所以a≤0符合；

當(dāng) a＞0 時(shí)，拋物線 g（x）下凸且 h（0）=g（0）=0，即函數(shù) h（x）與 g（x）圖像是共起點(diǎn)的兩條下凸曲線，所以 h＇（x）≥g＇（x），即當(dāng) a≥0 時(shí) ex-1≥2ax 恒成立，令 φ（x）=ex-1，m（x）=2ax（a＞0，x≥0）作出圖 4，因?yàn)?φ（x）=m（x）=0，所以當(dāng) x≥0 時(shí)，φ＇（x）=m＇（x）恒成立，所以，當(dāng) x≥0 時(shí)，ex≥2a 恒成立，所以 1≥2a，即 a≤綜上a≤.

點(diǎn)評(píng)：本題圖像由同起點(diǎn)兩條下凸曲線構(gòu)成，通過同時(shí)對(duì)兩邊函數(shù)一階導(dǎo)等價(jià)轉(zhuǎn)化解題。由f（x）≥0移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為：ex-1-x≥ax2還是 ex+1≥ax2+x，哪種構(gòu)造更好，需要對(duì)基本函數(shù)圖像有較為深刻的理解，除了幾個(gè)初等函數(shù)外，依筆者經(jīng)驗(yàn)還需要對(duì)xex，xlnx，，等函數(shù)圖像有一定的掌握。如下例：

例4（2017高考全國卷1理21題）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論 f（x）的單調(diào)性；（略）

（2）若 f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

圖4

試題分析：（2）問中f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程 f（x）=0 有兩解，移項(xiàng)得 aex+（a-2）=。得到兩個(gè)較為特殊函數(shù) h（x）=aex+（a-2）與 g（x）=，因?yàn)?g＇（x）=，所以 x＜1 時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，x≥1 時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，又因?yàn)?x→+∞，g（x）→0+，x→-∞，g（x）→-∞，且g（0）=0，g（x）max=g（1）=。 在坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x）圖像，當(dāng) a=0 時(shí)， h（x）=-2 與函數(shù) g（x）圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不符題意。

圖5

圖6

點(diǎn)評(píng)：移項(xiàng)變形后出現(xiàn)了 h（x）=aex+（a-2），g（x）=較為特殊的函數(shù)，從而能順暢地利用兩個(gè)函數(shù)圖像直觀解題，借助圖形輕松抓住a=1后，利用兩函數(shù)圖像的公切線為y=x這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，從而達(dá)到解決問題目的。這是需要平時(shí)對(duì)特殊函數(shù)圖像深入了解的積累，也要求一線教師重視對(duì)初等函數(shù)的教學(xué)，尤其高考?jí)狠S題常常涉及ex，lnx與一次函數(shù)的乘除組合函數(shù)，它們的圖像利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易畫出。當(dāng)然分離兩函數(shù)方法優(yōu)劣，決定著解題的成敗。下面筆者給出分離構(gòu)造成兩個(gè)函數(shù)的三個(gè)原則：參數(shù)同側(cè)原則；分離出的兩函數(shù)圖像能借助導(dǎo)數(shù)容易作出原則；含有ex，lnx項(xiàng)最多與一次函數(shù)積或商的結(jié)構(gòu)原則。其中原則一是基礎(chǔ)，原則二是關(guān)鍵，原則三是難點(diǎn)。

下面再以幾例高考題說明這個(gè)問題。

例 5 （2016 全國卷 1）（21）已知函數(shù) f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn)。

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè) x1，x2是 f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2（略）

（1）試題分析：函數(shù) f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn)。所以方程 f（x）=0 有兩解。移項(xiàng)得 a（x-1）2=（x-2）ex，左右兩邊就是兩個(gè)函數(shù)的較好模型，不需再考慮兩邊是否同除以2-x進(jìn)一步分離出ex。利用導(dǎo)數(shù)作出函數(shù) y=（2-x）ex圖像。易知 x=1 是函數(shù) y=（2-x）ex極大值點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸是直線x=1（如圖7）。通過討論a＜0，a=0，a＞0，觀察圖像極易得到本題答案 a＞0。

圖7

圖8

例 6 （2014 全國卷 1）（21）設(shè)函數(shù) f（x）=aexlnx，曲線 y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為 y=e（x-1）+2。

（Ⅰ）求 a，b；（Ⅱ）證明：f（x）＞0。

試題分析：（Ⅰ）略

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，b=2，證明 f（x）＞1，aexlnx+

點(diǎn)評(píng)：本例對(duì)函數(shù)模型exlnx分離，深度考查考生的函數(shù)圖像知識(shí)，完成難度大，因?yàn)椴唤柚鷰缀萎嫲宀灰鬃鞒龊瘮?shù)y=exlnx的圖像，所以必須分離。這就要求教師平日教學(xué)應(yīng)注重滲透：幾何直觀理念，重視函數(shù)教學(xué)，充分挖掘簡(jiǎn)單組合函數(shù)圖像，以形助數(shù)。該題導(dǎo)數(shù)壓軸題考生得分率極低，因此適當(dāng)?shù)哪Ｐ徒虒W(xué)有助于克服考生對(duì)導(dǎo)數(shù)壓軸題的恐懼心理。

綜上可以看出，導(dǎo)數(shù)壓軸題的命題注重以函數(shù)圖像為載體，導(dǎo)數(shù)為工具來考查的方式。通過這些導(dǎo)數(shù)壓軸題，反過來指導(dǎo)教師的導(dǎo)數(shù)教學(xué)。數(shù)學(xué)教育大家羅增儒先生說過“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的 地方都無一例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng)”，在這個(gè)解題思維的邏輯推理活動(dòng)過程中，需要善于代數(shù)變形，諸如：移項(xiàng)、分解因式、配方、構(gòu)造函數(shù)；需要幾何直觀，不妨畫畫函數(shù)的草圖，或方程對(duì)應(yīng)的曲線，通過可視化思維，實(shí)現(xiàn)有序的、合乎情理的、簡(jiǎn)潔數(shù)學(xué)邏輯推理。［3］

［1］黃學(xué)波.解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題時(shí)通法難通怎么辦［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2015（6）.

［2］張顯文.例談切線法解導(dǎo)數(shù)壓軸題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（2）.

［3］安振平,袁義東．高考函數(shù)壓卷題的解題與命題剖析［J］．中學(xué)生理科應(yīng)試，2016（11）.