一類特定數(shù)字集下自仿測度的非譜性

劉佳惠

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,西安 710119)

1 預備知識

設μM,D是由迭代函數(shù)系{φd(x)=M-1(x+d)}迭代產生的,Hutchinson在文獻[1]中證明該迭代函數(shù)系產生的自仿測度μ:=μM,D滿足下面等式的唯一概率測度：

其中M∈Mn(Ζ)擴張整數(shù)矩陣,D?Ζn是基數(shù)為|D|的有限數(shù)字集,它的支撐是該迭代函數(shù)系的吸引子T:=T(M,D).如果存在一個離散的集合Λ?Rn,使得指數(shù)函數(shù)系E(Λ):={e2πi〈λ,x〉:λ∈Λ}構成Hilbert空間L2(μM,D)的正交基(Fourier基),則稱自仿測度μM,D為譜測度,上述集合Λ是μM,D的一個譜,也稱(μM,D,Λ)為一個譜對(見文獻[2],[3]).近年來,自仿測度的譜與非譜以及μM,D-正交指數(shù)函數(shù)系的有限性與無限性問題已經(jīng)成為人們研究的主要內容,并取得有效的成果(見文獻[9],[12],[13]);而對于非譜問題的研究主要分為兩類(見文獻[5-7])：(i)空間L2(μM,D)中有有限個正交指數(shù)函數(shù)系,(ii)空間L2(μM,D)中有無限個正交指數(shù)函數(shù)系,但不組成正交集.

在平面上，正交指數(shù)函數(shù)系有限與無限問題已取得比較完善的結論(見文獻[9],[12]),在空間上僅對對角矩陣或上(下)三角矩陣進行了研究(見文獻[7],[8],[10]).在文獻[14]研究的基礎上,對于空間上任意三階擴張矩陣M下面的定理給出了存在無限μM,D-正交指數(shù)函數(shù)系的充分條件.

定理1.1[14]設D?Ζ3是有限數(shù)字集,使得

E=E1∪E2∪E3?{x∈[0,1)3:mD(x)=0}

(1.1)

其中E1={ek1/2:k1∈{1,2,3}},E2={(ek1+ek2)/2:k1,k2∈{1,2,3}},k1≠k2},E3={(e1+e2+e3)/2}這里e1=(1,0,0)t,e2=(0,1,0)t,e3=(0,0,1)t表示空間R3中的標準正交基.則|D|是一個大于等于8的偶數(shù),且數(shù)字“8”是最好的.若M∈M3(Z)為擴張矩陣,使得det(M)∈2Z,則空間L2(μM,D)中存在無限正交系E(Λ)且Λ?Z3.

滿足(1.1)式的數(shù)字集是非常多的,(見[14])而且數(shù)字8是最好的下界,并構造出空間R3中一個八元素數(shù)字集D

(1.2)

定理1.1中僅討論了det(M)∈2Z的情況,對于det(M)∈2Z+1的情況,研究其正交指數(shù)系的有限性與無限性還有一定的難度和復雜性,但此處數(shù)字集的基數(shù)|D|是偶數(shù),按照[文獻[5],猜想1]可知,空間L2(μM,D)中應該有有限個指數(shù)正交系,而在有限性遺留的問題仍然是第一類的問題,即估計空間L2(μM,D)中正交指數(shù)函數(shù)系的最佳上界.若上述擴張矩陣M為對角矩陣,數(shù)字集滿足(1.1)式,(i)當p1,p2,p3這三個數(shù)中至少有一個數(shù)是偶數(shù)時,空間L2(μM,D)中存在無限正交系E(Λ)且Λ?Z3;(ii)pj∈2Z{0,±1}(j=1,2,3)時,滿足條件(1.1)式的數(shù)字集D=D1+D2+D3(D1={0,e1},D2={0,e2},D3={0,e3}),則μM,D為譜測度[14].對于定理1.1給出的這類數(shù)字集所對應的μM,D-正交指數(shù)函數(shù)系的有限性問題還未解決.本文主要在上述研究的基礎之上討論det(M)∈2Z+1,研究八元數(shù)字集D的譜性質，推廣了已有的結果.

2 主要結果及其證明

定理2.1 對于如下形式的三階擴張矩陣和數(shù)字集：

(2.1)

當pj∈2Z+1{0,±1},j=1,2,3,μM,D是非譜測度,且空間L2(μM,D)中正交指數(shù)函數(shù)系至多包含“8”個,且數(shù)字“8”是最好的.

證明對于形如(2.1)式中的M和D,如果λj∈R3(j=1,2,3…,9)是空間L2(μM,D)中存在的九個正交指數(shù)函數(shù)系,設它們?yōu)閑2πi<λ1,x>,e2πi<λ2,x>,e2πi<λ3,x>,…,e2πi<λ9,x>,其中

(2.2)

首先由(2.1)式給出的數(shù)字集D,這里D=D1⊕D2⊕D3(D1={0,e1},D2={0,e2},D3={0,e3})(見文獻[14]),見文獻[10]知：

(2.3)

得：

θ0(x)={ξ∈R3:mD(ξ)=0}=A1∪A2∪A3

(2.4)

解得：

(2.5)

(2.6)

(2.7)

這里A1∪A2∪A3可以分成無不相交的集合

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

通過式子(2.8),(2.9),(2.10)得到：

(2.12)

接下來有Bj(j=1,2,3…,19)定義如下集合：

(2.13)

由(2.4)～(2.13)式知：

(2.14)

(2.15)

引理2.2 (2.16)式中的Zj(j=1,2,…,19)滿足下面的性質：

(1)Z1,Z2,…,Z19互不相交；

(3)Zj±Zj?Z3,Zj=-Zj,(j=1,2,…,7);

(6)Z1±Zk?Zk(k=15,16,17,18,19),

Z2±Zk?Zk(k=10,12,13,14,19),

Z3±Zk?Zk(k=8,9,11,14,17)；

(2.16)

為了證明空間空間L2(μM,D)中正交指數(shù)函數(shù)系至多包含“8”個,且數(shù)字“8”是最好的.接下來分成步驟一,步驟二,步驟三來完成定理的證明.

步驟一證明每個盒子里面至多包含的元素個數(shù).

引理2.3P1至多包含七個元素.λjk-λj∈P1(jk≠j,1≤k≤9,1≤j≤9,jk∈{1,2,…,9})是七個不同的數(shù).

證明首先證明Z1至多包含(2.2)式中的一個元素.設λj1-λj,λj2-λj∈Z1,由引理2.2(3)知

λj1-λj2=(λj1-λj)-(λj2-λj)∈Z1-Z1?Z3

(2.17)

引理2.4P2至多包含六個元素.λjk-λj∈P2(jk≠j,1≤k≤9,1≤j≤9,jk∈{1,2,…,9})是六個不同的數(shù).

證明首先證明Z8至多包含(2.2)式中的兩個元素.設λj1-λj,λj2-λj,λj3-λj∈Z8,由引理2.2(4),(2.2)式知：

λj1-λj2=(λj1-λj)-(λj2-λj)∈Z8-Z8?λj1-λj2∈Z3

(2.18)

λj1-λj3=(λj1-λj)-(λj3-λj)∈Z8-Z8?λj1-λj3∈Z3

(2.19)

由引理2.2(3)知：

λj2-λj3=(λj1-λj3)-(λj1-λj2)∈Z3-Z3?Z3

(2.20)

綜上所述知：六個元素全部包含在Z8∪Z9∪Z11或者Z8∪Z10∪Z11,(2-2-2)分布；五個元素包含在Z8∪Z9∪Z11或Z8∪Z10∪Z11,(2-2-1),(2-1-2),(1-2-2)分布;四個元素包含在Z8∪Z9,Z8∪Z10,Z8∪Z11,Z9∪Z11或Z10∪Z11,(2-2)分布；Z8∪Z9∪Z11或者Z8∪Z10∪Z11,(2-1-1),(1-1-2),(1-2-1)分布；以此類推.

引理2.5P3至多包含四個元素.λjk-λj∈P3(jk≠j,1≤k≤9,1≤j≤9,jk∈{1,2,…,9})是四個不同的數(shù).

證明由引理2.2(4)知：Z10與Z12,Z13有相同的性質,由引理2.4知：Z12,Z13至多包含(2.2)式中的兩個元素.其次證明Z14至多包含(2.2)式中的四個元素.設λj1-λj,λj2-λj,λj3-λj,λj4-λj,λj5-λj∈Z14,則λj1-λj2，λj1-λj3，λj1-λj4，λj1-λj5∈Z14-Z14，由引理2.2(4)知可分成如下三種情形

情形1 由引理2.3，(2.2)式知，不妨設λj1-λj2∈Z2,λj1-λj3∈Z3,λj1-λj4∈Z5,則λj1-λj5不屬于Z2,Z3,Z5,Z9,Z10.

(i)λj1-λj5∈Z2,由引理2.2(3)知:λj2-λj5=(λj1-λj5)-(λj1-λj2)∈Z2-Z2?Z3,

(ii)λj1-λj5∈Z3,由引理2.2(3)知:λj3-λj5=(λj1-λj5)-(λj1-λj3)∈Z3-Z3?Z3,

(iii)λj1-λj5∈Z5,由引理2.2(3)知:λj4-λj5=(λj1-λj5)-(λj1-λj4)∈Z5-Z5?Z3,

(iv)λj1-λj5∈Z9,由引理2.2(7)知:

(v)λj1-λj5∈Z10,由引理2.2(7)知:

情形2 由引理2.4知Z9,Z10不能同時包含(2.2)式中的元素,由引理2.2(7)知Z9與Z2,Z5也不能同時包含(1.2)式中的元素,即:λj1-λj2∈Z3,λj1-λj3,λj1-λj4∈Z9,則λj1-λj5不屬于Z2,Z3,Z5,Z9,Z10.

(ii)λj1-λj5∈Z3,由引理2.2(3)知:λj2-λj5∈Z3-Z3?Z3,

(iv)λj1-λj5∈Z9,由引理2.4知:Z9至多包含(2.2)式中的兩個元素.

(v)λj1-λj5∈Z10,由引理2.4知:Z9和Z10不同時包含(2.2)式中兩個元素.

情形3 由引理2.4知Z9,Z10不能同時包含(2.2)式中的元素,由引理2.2(7)知Z10與Z3,Z5也不能同時包含(2.2)式中的元素,即:λj1-λj2∈Z2,λj1-λj3,λj1-λj4∈Z10,則λj1-λj5不屬于Z2,Z3,Z5,Z9,Z10,類似情形1,情形2的證明過程可推出矛盾.

綜上所述知Z14至多包含(2.2)式中的四個元素.

最后證明P3至多包含四個元素.設λj1-λj,λj2-λj,λj3-λj,λj4-λj,λj5-λj∈P4,有兩種情況：

情形4 1-1-3設λj1-λj∈Z12,λj2-λj∈Z13,λj3-λj,λj4-λj,λj5-λj∈Z14,

情形5 1-2-2(2-1-2或2-2-1)設λj1-λj∈Z12,λj2-λj,λj3-λj∈Z13,λj4-λj,λj5-λj∈Z14,

情形4由引理2.2(5)，(2.2)式知:λj1-λj3,λj1-λj4,λj1-λj5∈Z9,由引理2.2(4)，(2.2)式知:λj3-λj4,λj3-λj5,λj4-λj5∈Z3,由引理2.2(3)知:λj4-λj5=(λj3-λj5)-(λj3-λj4)∈Z3-Z3?Z3與引理2.2(2)矛盾.因此由上述分析可知：P3至多包含四個元素.當Z12或Z13包含(2.2)式中的一個元素,Z14至多包含(2.2)式中的兩個元素.

情形5由引理2.2(5)，(2.2)式知:λj2-λj4,λj3-λj4∈Z9,由引理2.2(4)，(2.2)式知:λj2-λj3∈Z9-Z9?λj2-λj3∈Z3,λj2-λj3∈Z13-Z13?λj2-λj3∈Z2,與引理2.2(1)矛盾.由上述分析可知：P3至多包含四個元素.當Z13(Z12)與Z14包含(2.2)式中的元素,Z13(Z12)至多包含(2.2)式中的一個元素.

綜上所述知：P3至多包含四個元素.(1-1-2),(0-0-4),(2-2-0)分布；P3包含三個元素.(1-1-1),(1-2-0),(2-1-0),(1-0-2),(0-1-2),(0-0-3)分布;以此類推.

引理2.6P4至多包含四個元素.λjk-λj∈P3(jk≠j,1≤k≤9,1≤j≤9,jk∈{1,2,…,9})是四個不同的數(shù).由于P3與P4有相同的性質,因此可證得Z15,Z16至多包含(2.2)式中的兩個元素.Z17至多包含(2.2)式中的四個元素.P4至多包含四個元素.

引理2.7P5至多包含四個元素.λjk-λj∈P3(jk≠j,1≤k≤9,1≤j≤9,jk∈{1,2,…,9})是四個不同的數(shù).由引理2.2(4)知Z15,Z16與Z18有相同的性質,可證Z18至多包含(2.2)式中的兩個元素.Z17與Z19有類似的性質,可證Z19至多包含(2.2)式中的四個元素.P5至多包含四個元素.

步驟二三十六個元素放入五個盒子里面進行分類，分成四類.

步驟三證明空間L2(μM,D)中正交指數(shù)函數(shù)系至多包含“8”個,且數(shù)字“8”是最好的.

情形1(7-1)分布：設λj-λ1∈P1,(2≤j≤8),由引理2.2(7)知：λ9-λ1不屬于P2,P3,P4,P5,設λ9-λ1∈Z8,λ9-λ2∈Z1-Z8?Z3,與引理2.2(2)矛盾.其他情況可類似證明.

情形2(6-2)分布：由引理2.3,2.4可分成如下兩種情況：

情形2.1 設λj-λ1∈P1,(2≤j≤7).

情形2.2 設λj-λ1∈P2,(2≤j≤7).

情形2.2設λj-λ1∈P2,(2≤j≤7),由引理2.4可分成如下兩種情況：

情形2.2.1 設λ2-λ1,λ3-λ1∈Z8,λ4-λ1,λ5-λ1∈Z9,λ6-λ1,λ7-λ1∈Z11,

情形2.2.2 設λ2-λ1,λ3-λ1∈Z8,λ4-λ1,λ5-λ1∈Z10,λ6-λ1,λ7-λ1∈Z11,

以上兩種情況類似，因此下面討論情形2.2.1的情況即可.由引理2.2(7)知：Z8∪Z9∪Z11與Zj(j=1,2,4,5,6,7,10,12,13,16,18,19)可推出矛盾.則λ8-λ1,λ9-λ1不屬于P1,P5,設λ8-λ1,λ9-λ1∈Z14或Z17可分成如下兩種情形：

情形2.2.1.1 設λ8-λ1,λ9-λ1∈Z14,

情形2.2.1.2 設λ8-λ1,λ9-λ1∈Z17,

情形2.2.1.1設λ8-λ1,λ9-λ1∈Z14,由引理2.2(5)，(2.2)式知：

λ2-λ8=(λ2-λ1)-(λ8-λ1)∈Z8-Z14?λ2-λ8∈Z10

(2.21)

λ3-λ8=(λ2-λ1)-(λ8-λ1)∈Z8-Z14?λ3-λ8∈Z10

(2.22)

由引理2.2(4)，(2.2)式知：

λ2-λ3=(λ2-λ8)-(λ3-λ8)∈Z10-Z10?λ2-λ3∈Z2

(2.23)

λ2-λ3=(λ2-λ1)-(λ3-λ1)∈Z8-Z8?λ2-λ3∈Z3

(2.24)

與引理2.2(1)矛盾.

情形2.2.1.2設λ8-λ1,λ9-λ1∈Z17,由引理2.2(5)，(2.2)式知：

λ4-λ8=(λ4-λ1)-(λ8-λ1)∈Z9-Z17?λ4-λ8∈Z18

(2.25)

λ5-λ8=(λ5-λ1)-(λ8-λ1)∈Z9-Z17?λ5-λ8∈Z18

(2.26)

由引理2.2(4)知：

λ4-λ5=(λ4-λ8)-(λ5-λ8)∈Z18-Z18?λ4-λ5∈Z1

(2.27)

λ4-λ5=(λ4-λ1)-(λ5-λ1)∈Z9-Z9?λ4-λ5∈Z3

(2.28)

與引理2.2(1)矛盾.

情形3 (5-3)分布：由引理2.3-2.7可分成如下兩種情況：

情形3.1 設λj-λ1∈P1,(2≤j≤6),類似情形2.1，此處不再證明；

情形3.2 設λj-λ1∈P2,(2≤j≤6),由引理2.4可分成如下兩種情況：

情形3.2.1λj-λ1∈Z8∪Z9∪Z11,(2≤j≤6),

情形3.2.2λj-λ1∈Z8∪Z10∪Z11,(2≤j≤6),

以上兩種情況類似，因此下面討論情形3.2.1的情況即可.

情形3.2.1.1 設λ2-λ1∈Z8,λ3-λ1,λ4-λ1∈Z9,λ5-λ1,λ6-λ1∈Z11,

情形3.2.1.2 設λ2-λ1,λ3-λ1∈Z8,λ4-λ1∈Z9,λ5-λ1,λ6-λ1∈Z11,

情形3.2.1.3 設λ2-λ1,λ3-λ1∈Z8,λ4-λ1,λ5-λ1∈Z9,λ6-λ1∈Z11,

這三種情況記為(1-2-0-2),(2-1-0-2),(2-2-0-1)分布,后兩種分布類似第一種分布，下面考慮情形3.2.1.1.由情形2.2.1分析知：λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z14或Z17可分成如下兩種情形：

情形3.2.1.1.1 設λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z14

情形3.2.1.1.2 設λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z17,同情形2.2.1.2類似,由(2.25)-(2.28)式可推出矛盾.

情形3.2.1.1.1λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z14,則λ5-λ7,λ6-λ7∈Z11-Z14，由引理2.2(5)，(2.2)式知：λ5-λ7,λ6-λ7∈Z10,由引理2.2(4)，(2.2)式知：λ5-λ6∈Z10-Z10?λ5-λ6∈Z2,λ5-λ6∈Z11-Z11?λ5-λ6∈Z3,與引理2.2(1)矛盾.

情形4 (4-4)分布：由引理2.3-2.7可分成如下五種情況：

情形4.1 設λj-λ1∈P1,(2≤j≤5),類似情形2.1，此處不再證明,

情形4.2 設λj-λ1∈P2=Z8∪Z9∪Z10∪Z11,(2≤j≤5),

情形4.3 設λj-λ1∈P3=Z12∪Z13∪Z14,(2≤j≤5),

情形4.4 設λj-λ1∈P4=Z15∪Z16∪Z17,(2≤j≤5),

情形4.5 設λj-λ1∈P2=Z18∪Z19,(2≤j≤5),

情形4.2設λj-λ1∈P2=Z8∪Z9∪Z10∪Z11,(2≤j≤5),由引理2.4知:這種情況有如下11種分布：(1-2-0-1),(2-1-0-1),(1-1-0-2),(1-0-1-2),(1-0-2-1),(2-0-1-1),(2-2-0-0),(2-0-2-0),(2-0-0-2),(0-2-0-2),(0-0-2-2);后面九種類似于情形2.2，情形3.2的證明過程，前面兩種分布類似，即討論(1-2-0-1)，其他情況可類似證明.

情形4.2.1λ2-λ1∈Z8,λ3-λ1,λ4-λ1∈Z9,λ5-λ1∈Z11,由情形2.2.1分析知：λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z14或Z17可分成如下兩種情形：

情形4.2.1.1 設λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z14

情形4.2.1.2 設λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z17,同情形2.2.1.2類似,由(2.25)～(2.28)式可推出矛盾.此處不再證明.

情形4.2.1.1設λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z14由引理2.2(5),(2.2)式知λ2-λ7,λ2-λ8,λ2-λ9∈Z8-Z14?λ2-λ7,λ2-λ8,λ2-λ9∈Z10,λ7-λ8,λ7-λ9,λ9-λ8∈Z10-Z10，由引理2.2(4),(2.2)式知λ7-λ8,λ7-λ9,λ9-λ8∈Z2，由引理2.2(3)知λ9-λ8∈Z2-Z2?Z3,與引理2.2(2)矛盾.

情形4.3 設λj-λ1∈P3=Z12∪Z13∪Z14,(2≤j≤5),由引理2.5知:這種情況有如下3種分布：(1-1-2),(2-2-0),(0-0-4);前兩種情況類似,討論(1-1-2),(0-0-4)即可，其他情況可類似證明.

情形4.3.1 設λ2-λ1∈Z12,λ3-λ1∈Z13,λ4-λ1,λ5-λ1∈Z14,

情形4.3.2 設λ2-λ1,λ3-λ1,λ4-λ1,λ5-λ1∈Z14,

情形4.3.1由引理2.2(7)知：Z12∪Z13∪Z14與Zj(j=1,4,6,7,8,11,15,16,17,18)可推出矛盾，則λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1不屬于P1,P2,P4.設λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z19,則λ3-λ7,λ3-λ8,λ3-λ9∈Z13-Z19,由引理2.2(5),(2.2)式知λ3-λ7,λ3-λ8,λ3-λ9∈Z15,由引理2.2(4),(2.2)式知λ7-λ8,λ7-λ9∈Z15-Z15?λ7-λ8,λ7-λ9∈Z1,由引理2.2(3)知λ9-λ8=(λ7-λ8)-(λ7-λ9)∈Z1-Z1?Z3,與引理2.2(2)矛盾.

情形4.3.2由引理2.2(7)知:Z14與Zj(j=1,4,6,7,15,16,18)可推出矛盾，則λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1不屬于P1.設λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈P2,同情形4.2的11種分布，均可推出矛盾.則λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈P4或P5,可分成兩種情況：

情形4.3.2.1 設λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z17,

情形4.3.2.1 設λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z19,

以上兩種情況類似，因此下面討論情形4.3.2.1的情況即可.

λ2-λ3=(λ2-λ1)-(λ3-λ1)=(λ2-λ6)-(λ3-λ6)∈Z2,

(2.29)

λ2-λ4=(λ2-λ1)-(λ4-λ1)=(λ2-λ6)-(λ4-λ6)∈Z2,

(2.30)

由引理2.2(3)知：

λ3-λ4=(λ2-λ4)-(λ2-λ3)∈Z2-Z2?Z3,

(2.31)

與引理2.2(2)矛盾.

情形4.4λj-λ1∈P4=Z15∪Z16∪Z17,(2≤j≤5),由引理2.6知:這種情況有如下3種分布：(1-1-2),(2-2-0),(0-0-4);前兩種情況類似,第三種情形同情形4.2,情形4.3中的情況類似，可推出矛盾,討論(1-1-2)分布即可,設λ2-λ1∈Z15,λ3-λ1∈Z16,λ4-λ1,λ5-λ1∈Z17,由引理2.2(7)知：Z15∪Z16∪Z17與Zj(j=2,5,6,7,9,10,11,12,13,14)可推出矛盾,則λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1不屬于P1,P2,P4.由引理2.7知：設λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈Z19,由引理2.2(5),(2.2)式知：λ3-λ6,λ3-λ7,λ3-λ8∈Z16-Z19?λ3-λ6,λ3-λ7,λ3-λ8∈Z12,由引理2.2(4),(2.2)式知：λ6-λ7,λ6-λ8∈Z12-Z12?λ6-λ7,λ6-λ8∈Z2,由引理2.2(3)知：λ7-λ8=(λ6-λ8)-(λ6-λ7)∈Z2-Z2?Z3,與引理2.2(2)矛盾.

情形4.5λj-λ1∈P4=Z18∪Z19,(2≤j≤5),由引理2.7知:λ2-λ1,λ3-λ1,λ4-λ1,λ5-λ1∈Z19,由引理2.2(7)知:Z19與Zj(j=3,4,5,7,8,9,11)可推出矛盾，則λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1不屬于P1,P2.即λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈P3=Z12∪Z13∪Z14,類似情形4.3的情形可推出矛盾；λ6-λ1,λ7-λ1,λ8-λ1,λ9-λ1∈P4=Z15∪Z16∪Z17,類似情形4.3的情形可推出矛盾.

綜上證明可知：當pj∈2Z+1{0,±1},j=1,2,3,μM,D是非譜測度,且空間L2(μM,D)中至多有8個正交指數(shù)函數(shù)系,進一步地，可以得到很多包含8個正交指數(shù)函數(shù)的集合.例如指數(shù)函數(shù)系E(S)就是空間L2(μM,D)中含有8個相互正交的指數(shù)函數(shù)系，其中

從而可知數(shù)字“8”是最好的,證畢.

2 結語

[1] HUTCHINSON J E.Fractals and self-similarity[J].Indiana Univ.Math.J.1981,30:713-747.

[2] JORGENSEN P E T,PEDERSEN S.Dense analytic subspaces in fractalL2-spaces[J].J.Anal.Math,1998,75:185-228.

[3] JORGENSEN P E T,PEDERSEN S.Spectral pairs in Cartesian coordinates[J].J.Fourier.Anal.Appl,1999,5:285-302.

[4] DUTKAY D E,JORGENSEN P E T.Analysis of orthogonality and of orbits in affine iterated function systems[J].Math.Z,2007,256:801-823.

[5] LI J L.Non-spectral problem for a class of planar self-affine measures[J].J.Funct.Anal,2008,255:3125-3148.

[6] LI J L.Non-spectral of planar self-affine with three-element digit set[J].J.Funct.Anal,2009,257:537-552.

[7] LI J L.The cardinality of certainμM,D﹣orthogonal exponentials[J].J.Math.Anal.Appl,2010,362:514-522.

[8] LI J L.Non-spectral of self-affine measures on the spatial Aoerpinski[J].J.Math.Anal.Appl,2015,432:1005-1017.

[9] LI J L.On theμM,D- orthogonal exponentials[J].Nonlinear. Analysis,2010,73:940-951.

[10] LI J L.Spectrality of self-affine measures on the three-dimensional Sierpinski gasket[J].Proc.Edinburgh.Math,2012,55:477-496.

[11] LI J L.Spectrality of class of self-affine measures with decomposable digit sets[J].Sci.China.Math,2012,55(12):1229-1242.

[12] LI J L.Analysis ofμM,D-orthogonal exponentials for the planar four-element digit sets[J].Math.Nachr,2014,287:297-312.

[13] LI J L.A necessary and sufficient condition for the finiteμM,D-orthogonality[J].Sci.Math,2015,58(12):2541-2548.

[14] 李敏.空間自仿測度下無限正交指數(shù)系存在的條件[J].數(shù)學進展，2016,45(3):332-342.