導(dǎo)問：讓思維成長(zhǎng)
——以一道高三數(shù)學(xué)難題的教學(xué)為例

一、教學(xué)過程

2018年1月蘇州市高三數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)“陽(yáng)光指標(biāo)”調(diào)研試卷上有這樣一道題：

已知函數(shù)

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若方程f（-x）+f（x）=ex-3在區(qū)間（0，+∞）上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若存在實(shí)數(shù) m，n∈［0，2］，且|m-n|≥1，使得f（m）=f（n），求證

本題第（1）小題屬基本題，第（2）小題屬中檔難度題，最后一小題屬難題。筆者曾先后聽過三位老師對(duì)該題的評(píng)講，其中有兩位老師幾乎直接講解命題者提供的參考答案，對(duì)思維過程沒有進(jìn)行必要的分析。另一位老師對(duì)題目作了一定的分析，但分析中明顯透露出這樣的痕跡：其思維過程是在對(duì)命題者提供的參考解答作了比較詳細(xì)的研究后根據(jù)參考答案“反推”出來的。上述是在數(shù)學(xué)解題教學(xué)（特別是一些難題講解）過程中普遍存在的兩種做法，它們對(duì)提高學(xué)生的解題能力并無(wú)益處。因?yàn)槲覀兊慕虒W(xué)并不是教會(huì)學(xué)生如何做題而是教會(huì)學(xué)生如何思考，從應(yīng)試的角度來看，學(xué)生走進(jìn)考場(chǎng)拿到的是一張沒有答案的試卷，需要學(xué)生獨(dú)立思考并解答。

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思考能力、提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。而有效的解題教學(xué)的一個(gè)重要抓手就是實(shí)施“導(dǎo)問式教學(xué)”，通過“導(dǎo)問”讓學(xué)生的思維真正得到發(fā)展。

導(dǎo)問式教學(xué)指的是“以問題為載體、以導(dǎo)問為手段”的教學(xué)方式，其主要特點(diǎn)是教師把與目標(biāo)問題相關(guān)的小問題串成一個(gè)問題鏈，通過引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考探討，在問題鏈的解決過程中進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提問，從而培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

作者曾在學(xué)校高三理科班中利用“導(dǎo)問”的方法對(duì)本題做了講解，下面呈現(xiàn)本題第（3）小題的教學(xué)過程。

1.初審題目，辨析條件。

首先讓學(xué)生靜視默念題目（這一步要給學(xué)生相對(duì)充足的時(shí)間，這一點(diǎn)非常重要）。在學(xué)生靜視默念題目的同時(shí)設(shè)置幾個(gè)提示性問題：

問題（1） 條件“m，n∈［0，2］”暗示著什么信息？

問題（2） 怎樣理解和應(yīng)用條件“|m-n|≥1”？

問題（3）“f（m）=f（n）”怎樣理解？能否等價(jià)地轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的其他條件？

2.問題剖析，引導(dǎo)思考。

條件“m，n∈［0，2］”表示所研究的兩個(gè)量m，n 都在區(qū)間［0，2］內(nèi)，而［0，2］是［0，+∞）的子集。我們從這兩個(gè)條件可知現(xiàn)在我們要研究的僅僅是復(fù)合函數(shù)f（x）的一部分，即當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=ex-ax的情形。

條件|m-n|≥1意指在數(shù)軸上表示m，n實(shí)數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)有什么特性？通過這樣的提問學(xué)生很容易回答出這兩個(gè)點(diǎn)的距離不小于1。在學(xué)生得出這個(gè)結(jié)論后緊接著導(dǎo)問：結(jié)合條件m，n∈［0，2］可以得到什么樣的信息呢？此時(shí)讓學(xué)生展開討論，通過對(duì)“|m-n|≥1”和“m，n∈［0，2］”的不斷重復(fù)默念讓學(xué)生逐步感知到“兩個(gè)實(shí)數(shù)m，n一個(gè)在區(qū)間［0，1］內(nèi)而另一個(gè)在區(qū)間［1，2］內(nèi)。換句話說，它們不可能同時(shí)在區(qū)間的左半部分也不可能同時(shí)在其右半部分”，于是我們不妨設(shè)“0≤m≤1≤n≤2”，這是一個(gè)很重要的突破。但是，為了讓學(xué)生更好地理解這一轉(zhuǎn)化，可進(jìn)一步導(dǎo)問：“|m-n|≥1 且 m，n∈［0，2］”與“0≤m≤1≤n≤2”等價(jià)嗎？學(xué)生通過分析很容易知道“|m-n|≥1 且 m，n∈［0，2］”是“0≤m≤1≤n≤2”的充分不必要條件，通過這一問題的追問讓學(xué)生知曉在數(shù)學(xué)問題的解決過程中有時(shí)是可以用到“不等價(jià)轉(zhuǎn)換”這一方法的。

如何理解條件“f（m）=f（n）”？不同的學(xué)生會(huì)對(duì)此有不同的理解，教師主要引導(dǎo)學(xué)生用直觀的語(yǔ)言翻譯這一條件，很多學(xué)生這樣回答：在區(qū)間［0，2］內(nèi)存在兩個(gè)不同的自變量 m，n，它們對(duì)應(yīng)著同一個(gè)函數(shù)值。

教師進(jìn)一步設(shè)計(jì)問題：“存在兩個(gè)不同的自變量m，n，它們對(duì)應(yīng)著同一個(gè)函數(shù)值”這句話說明了函數(shù)f（x）具備或不具備什么樣的性質(zhì)？通過不斷重復(fù)“存在兩個(gè)”這四個(gè)字引導(dǎo)學(xué)生得出函數(shù)“f（x）在區(qū)間［0，2］不是單調(diào)的”這一重要結(jié)論，從而使問題得以簡(jiǎn)化。

3.問題再探，步步緊逼。

此時(shí)，讓學(xué)生充分醞釀，在思考的基礎(chǔ)上明確研究函數(shù)f（x）單調(diào)性的必要性，于是進(jìn)一步設(shè)計(jì)如下問題：

問題（4）當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，f（x）的表達(dá)式是什么樣的？研究其單調(diào)性需要求什么？

問題（5）得出f′（x）=ex-a后，思考“f（x）在區(qū)間［0，2］不單調(diào)”隱含著什么結(jié)論？

此時(shí)，對(duì)這兩個(gè)小問題進(jìn)行研究得出：a≤2 時(shí)函數(shù) f（x）在［0，＋∞）單調(diào)遞增，從而在［0，2］也單調(diào)遞增，于是不存在滿足條件的m，n，因此a＞0。此時(shí)可判斷出函數(shù)f（x）在［0，lna）上單調(diào)遞減而在［lna，+∞］上單調(diào)遞增，此時(shí)再次追問：

問題（6） 我們已經(jīng)知道“f（x）在區(qū)間［0，2］不單調(diào)”，由此可得出什么樣的結(jié)論？

通過師生探討引導(dǎo)學(xué)生得出：0＜lna＜2，即f（x）在［0，lna）單調(diào)遞減而在［lna，2］單調(diào)遞增。進(jìn)一步設(shè)計(jì)如下問題：

問題（7）我們可由條件“f（m）=f（n）”得到什么結(jié)論？由此可得到什么？

設(shè)計(jì)這一問題的目的是讓學(xué)生理解m，n不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，于是得到0≤m＜lna＜n≤2，結(jié)合單調(diào)性可知：對(duì)任意 x∈［m，n］都有f（x）≤f（m）=f（n）。但有一點(diǎn)值得關(guān)注：如果學(xué)生直接利用這一不等關(guān)系，將得到一個(gè)與m，n有關(guān)的不等式，這顯然與我們最終想要的結(jié)論有一定距離。此時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生追問如下問題：

問題（8） 要證的結(jié)論是你認(rèn)為一般可能會(huì)涉及什么知識(shí)？注意結(jié)論的形式是一個(gè)“不等關(guān)系”，與我們已經(jīng)研究的結(jié)論有什么關(guān)聯(lián)之處？

當(dāng)學(xué)生聯(lián)想到可能與函數(shù)單調(diào)性有聯(lián)系后進(jìn)一步追問：所要證的結(jié)論中不含字母m與n，這意味著什么？

教師要重復(fù)地追問這一個(gè)問題，讓學(xué)生在不斷的刺激下聯(lián)想到這可能與某些特殊自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有關(guān)系，究竟是哪些“特殊自變量”？讓學(xué)生回顧條件發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要數(shù)據(jù)：f（0）與f（2）。

此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生試求如下兩個(gè)值：f（0）＝1，f（2）＝e2-2a，這與目標(biāo)式似乎有點(diǎn)接近了。但是目標(biāo)式中涉及“左、中、右”三個(gè)式子，現(xiàn)在只有兩個(gè)，應(yīng)該再找一個(gè)，找誰(shuí)呢？

這時(shí)，提示學(xué)生在分析條件“|m-n|≥1”時(shí)曾得到“0≤m≤1≤n≤2”這一重要結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到：f（1）＝e－a。

4.目標(biāo)追尋，形成聯(lián)結(jié)。

下一步可以提示學(xué)生運(yùn)用分析法尋找條件式與目標(biāo)式的關(guān)系：由知e-1≤a，于是1≥e-a，即f（0）≥f（1）；而由知a≤e2-e，于是e2-2a≥e-a，即f（2）≥f（1），這是我們最終要證明的結(jié)論。

5.容納新解，活躍思維。

正在筆者以為講解結(jié)束時(shí)，一名學(xué)生提出了新的想法：“我對(duì)條件‘存在實(shí)數(shù)m，n∈［0，2］，且|m-n|≥1，使得f（m）＝f（n）’是這樣理解的，我認(rèn)為這一條件的含義是‘存在一個(gè)常數(shù)t，使得方程f（x）＝t在區(qū)間［0，2］有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解’，這樣一來，我把問題轉(zhuǎn)化為比較熟悉的‘零點(diǎn)問題’，于是進(jìn)一步把問題轉(zhuǎn)化為‘函數(shù)g（x）=f（x）-t在區(qū)間［0，2］內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)’”。

筆者不知道這種想法是否可行，但還是非?？隙ㄟ@位學(xué)生的想法，于是在自己沒有任何預(yù)先準(zhǔn)備的情況下與學(xué)生一起進(jìn)行討論，沒想到效果卻是出奇地好。教學(xué)實(shí)錄如下——

師：當(dāng)我們?cè)O(shè)g（x）=f（x）-t后，題中條件表示著 g（x）在區(qū)間［0，2］上有兩個(gè)零點(diǎn)，下一步你是怎樣想的？

生：我是按照求零點(diǎn)的方法做的，首先對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，剛才您也說到當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，f（x）=ex-ax，所以當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，g（x）=ex-ax-t因此g′（x）=ex-a，很容易知道當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）=ex-ax-t是單調(diào)遞增的，這時(shí)它不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)舍去，因此a＞0，接下來一步與你講得差不多，也就是當(dāng) a＞0 時(shí) g（x）在［0，lna）單調(diào)遞減而在［lna，2］單調(diào)遞增。

師：很好，接下來怎么辦？

生：由于 g（x）要在 x∈［0，2］上有兩個(gè)零點(diǎn)，又考慮到它的單調(diào)性，這使我想到了開口向上的拋物線的基本性質(zhì)，要使它在x∈［0，2］上有兩個(gè)零點(diǎn)，就必須使并且它在［0，2］的最小值小于零。

師：不錯(cuò)，但它的最小值是 g（lna），又怎么處理？

生：我是這樣想的，如果能再?gòu)?g（lna）＜0得到所要的結(jié)論的話，條件中的|m-n|≥1是多余的，這好像不大可能。當(dāng)我產(chǎn)生了這樣的質(zhì)疑后對(duì)這一條件再次進(jìn)行了分析，得出了與您一樣的結(jié)論：這兩個(gè)零點(diǎn)應(yīng)該分別位于區(qū)間［0，1），（1，2］內(nèi)，于是又得到了 g（1）≤0。我就從這三個(gè)條件將所要的結(jié)論證明出來了。

師：為什么不是“小于零”而是“不大于零”？同樣，對(duì) g（0）和 g（2）而言，為什么它是大于等于零，而不是“大于零”？

生：我是考慮到特殊情況，也就是“兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)正好是零，還有一個(gè)在（1，2］內(nèi)”或者“一個(gè)正好是 2，而另一個(gè)在區(qū)間［0，1）內(nèi)”，這兩種情況都是可能的，換句話說 g（0）和 g（2）都有可能為零。

師：那么，g（1）呢？為什么是“g（1）≤0”而不是“g（1）＜0”呢？你剛才不是說“g（x）在［0，2］的最小值小于零”嗎？

生：g（x）在［0，2］的最小值是小于零，但g（1）不是 g（x）的最小值，它是可能為零的。

師：考慮得非常周到。

6.完善解法、規(guī)范呈現(xiàn)。

下面根據(jù)這位學(xué)生想法解題如下：

當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，設(shè)g（x）＝f（x）－t=ex-ax-t，則 g（x）在區(qū)間［0，2］有兩個(gè)零點(diǎn)。

由 g′（x）＝ex-a，易知當(dāng) a≤0 時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在區(qū)間［0，2］單調(diào)遞增，它在區(qū)間［0，2］不可能有兩個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）＞0知x∈（lna，+∞），由g′（x）＜0知x∈［0，lna）。因此，g（x）在［0，lna）單調(diào)遞減，而在［lna，2］單調(diào)遞增。又 m，n∈［0，2］，且|m-n|≥1，因此 m，n 不可能同時(shí)在區(qū)間［0，1］或區(qū)間［1，2］內(nèi)。因此要使 g（x）在區(qū)間［0，2］有兩個(gè)零點(diǎn)，這兩個(gè)零點(diǎn)一定分別在［0，1］和［1，2］。

于是

由①②知 e-a≤t≤1，于是 e-1≤a。

由②③知 e-a≤t≤e2-2a，于是 a≤e2-e≤e（e-1）。

即 e-1≤a≤e2-e=e（e-1），得

二、教學(xué)啟示

通過本節(jié)導(dǎo)問式課堂教學(xué)的實(shí)踐，我們可以得到如下啟示：

1.課堂教學(xué)要尊重學(xué)生的需要。

馬斯洛需要層次理論告訴我們：個(gè)體成長(zhǎng)發(fā)展的內(nèi)在力量是動(dòng)機(jī)。對(duì)于高中學(xué)生來說他們有一種強(qiáng)烈的表現(xiàn)需求，他們渴望通過表現(xiàn)得到同伴和老師的肯定。課堂教學(xué)中教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的這種需要，給學(xué)生相對(duì)充足的展示和發(fā)言機(jī)會(huì)。

2.課堂教學(xué)時(shí)間要大方“下放”。

正因?yàn)椤皩?dǎo)問式教學(xué)”是一種以問題鏈形式出現(xiàn)的教學(xué)方式，它更需要教師給學(xué)生充足的思考和實(shí)踐時(shí)間，讓學(xué)生在自主探究、主動(dòng)設(shè)問、實(shí)驗(yàn)嘗試中獲得知識(shí)的理解，提升自己的能力。如果沒有一定的時(shí)間供給作保障，學(xué)生的思考只能是淺層次，其學(xué)習(xí)方式往往也只能停留在聽講這一低級(jí)學(xué)習(xí)活動(dòng)之中，學(xué)習(xí)效率也是低下的。

3.課堂教學(xué)要給學(xué)生以充分的信任。

導(dǎo)問式課堂教學(xué)需要給學(xué)生一定的自主學(xué)習(xí)和思考的時(shí)間，但是不少教師卻往往無(wú)法做到這一點(diǎn)。究其原因除了上述提到的趕進(jìn)度、片面追求課堂容量以外，很多教師認(rèn)為知識(shí)是靠傳授的，學(xué)生受年齡、知識(shí)面以及自主學(xué)習(xí)能力的限制，許多知識(shí)是理解不了的。于是他們講課時(shí)總是滔滔不絕，正是這種事無(wú)巨細(xì)的講解磨滅了學(xué)生的探究精神和問題意識(shí)。其實(shí)，學(xué)生的能力往往不是我們所想象的那么有限，如果給他們充分的信任，讓他們自主探究、自主學(xué)習(xí)，他們往往會(huì)給我們意外的驚喜。

4.導(dǎo)問問題的設(shè)計(jì)要精致適切。

從問題解決的角度來看，任何一個(gè)問題都是由若干個(gè)小問題綜合而成的，問題解決的過程就是將一個(gè)綜合的問題分解成若干個(gè)小問題，而“導(dǎo)問式教學(xué)”的主要目的就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)在面對(duì)一個(gè)全新的綜合問題時(shí)如何通過對(duì)條件和結(jié)論的剖析自主設(shè)置一系列小問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，提升問題解決的能力。導(dǎo)問問題的設(shè)計(jì)務(wù)必精致適切，要在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)問題，跳躍性太大會(huì)造成解決問題的難度，使學(xué)生望而生畏；相反，設(shè)計(jì)臺(tái)階太小，會(huì)降低學(xué)生思維難度，也不利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升。因此，在實(shí)施“導(dǎo)問式教學(xué)”過程中教師要把自己當(dāng)作一個(gè)教練，而不是一個(gè)運(yùn)動(dòng)員，精心設(shè)計(jì)有一定梯度的問題系列，使學(xué)生在長(zhǎng)期的熏陶和耳濡目染下自覺地形成問題設(shè)計(jì)的能力，從而最終提升解決問題的能力。

5.“導(dǎo)問式教學(xué)”需不斷激勵(lì)學(xué)生。

由于“導(dǎo)問式教學(xué)”是以問題解決的方式進(jìn)行的，而學(xué)生的接受能力和知識(shí)基礎(chǔ)不盡相同，因此在問題解決的過程中學(xué)生表現(xiàn)出來的水平也是各不相同的。但無(wú)論學(xué)生表現(xiàn)得怎樣，要想使課堂教學(xué)有效，都需要教師發(fā)自內(nèi)心的鼓勵(lì)，導(dǎo)問式課堂教學(xué)更是如此，因?yàn)閷?dǎo)問式課堂教學(xué)本身就是以問題為載體的，而在問題解決過程中由于思考角度的不同和知識(shí)基礎(chǔ)的差異而出現(xiàn)不同的結(jié)果甚至有些結(jié)果是意料之外的，所以教師都要以積極的姿態(tài)給學(xué)生激勵(lì)。如果學(xué)生在出現(xiàn)“錯(cuò)誤”或者超乎教師預(yù)設(shè)的“想法”時(shí)他所面對(duì)的是“冷漠”甚至諷刺批評(píng)，那么他的問題意識(shí)會(huì)大受挫折，問題解決能力的提高也無(wú)從談起。