解后反思，向解題要效率

翁升枚

摘 要：傳統(tǒng)的教學(xué)模式中老師“教”—學(xué)生“學(xué)習(xí)”，學(xué)生很少主動(dòng)參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中.有的學(xué)生課堂上聽懂了，課后練習(xí)卻不會(huì)順利求解.如何在數(shù)學(xué)解題的過程中讓學(xué)生快速抓住解題要點(diǎn)，找到解題方法，提高數(shù)學(xué)解題的速度和質(zhì)量？結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)勅绾卧诮忸}后反思，提高解題效率.

關(guān)鍵詞：反思意識(shí)；一題多解；變式；錯(cuò)題

為研究高中生解后反思的實(shí)際情況，筆者調(diào)查了本地兩所一級(jí)達(dá)標(biāo)學(xué)校、一所非達(dá)標(biāo)校高中學(xué)生的解后反思習(xí)慣，得到如下數(shù)據(jù)：有12%的學(xué)生會(huì)預(yù)習(xí)新課；28.2%的學(xué)生課后會(huì)主動(dòng)地反思總結(jié)；23.4%的學(xué)生會(huì)對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行反思；29.8%的學(xué)生能主動(dòng)做數(shù)學(xué)糾錯(cuò)本……調(diào)查結(jié)果表明學(xué)生解后反思的比例較低，解題思維大多在低層次上徘徊，學(xué)生較少參與到數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)過程中，沒有機(jī)會(huì)根據(jù)自己的認(rèn)知沖突引發(fā)思考，長此以往很難發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.本文擬從研究所得，結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勅绾卧诮夂蠓此贾刑岣呓忸}效率.

一、思“知識(shí)”

一個(gè)經(jīng)過冥思苦想的問題得到解決后，筆者注意培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生通過反思去體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)概念、定理、公式以及涉及的數(shù)學(xué)思想方法的過程.這看似浪費(fèi)了時(shí)間，但可以有效地幫助學(xué)生理順知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，一方面可以促使學(xué)生建立知識(shí)的縱橫聯(lián)系，使其知識(shí)系統(tǒng)化；另一方面可以培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí)，積累反思經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率.

案例1 （2016年高考課標(biāo)卷Ⅰ·理20）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C、D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M、N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P、Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

反思1：本題涉及哪些知識(shí)點(diǎn)——圓、橢圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、曲線的軌跡方程、弦長問題、取值范圍等；

反思2：本題應(yīng)用了哪些公式、定理——直線與圓錐曲線弦長、韋達(dá)定理等；

反思3：求曲線的軌跡方程常用的方法——直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法；

反思4：與曲線有關(guān)的幾何性質(zhì)——平行、垂直關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)、對(duì)稱性或求對(duì)稱曲線等；

反思5：直線方程的常見形式——設(shè)過點(diǎn)B（1，0）的直線l的方程為y=k（x-1）或x=my+1；

反思6：求直線與圓錐曲線的相交弦的弦長和求直線與圓的相交弦的弦長的方法一樣嗎？

反思7：求參數(shù)的取值范圍問題的常用方法——不等式法、函數(shù)最值法；

反思8：解題中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)形結(jié)合、分類討論.

數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“如果沒有了反思，他們就錯(cuò)過了解題的一個(gè)重要而有效益的方面.”學(xué)生解題完成后，對(duì)整個(gè)解題活動(dòng)進(jìn)行深層次的思考，能清晰、全面、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乩斫飧拍?、公式、定理，進(jìn)而達(dá)到融會(huì)貫通.通過反思，也能促使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生解決問題的愉悅感，增強(qiáng)克服困難的信心和毅力.

二、思“多解”

有些學(xué)生雖然掌握了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，也學(xué)習(xí)了一些范例，但在獨(dú)立解題時(shí)，仍感覺困難重重，筆者從如何抓住解題要點(diǎn)、尋找破題的切入點(diǎn)著手，除了重視對(duì)題目考查的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納、總結(jié)外，還注重以“一題多解”為抓手對(duì)解題技巧等進(jìn)行反思.

筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“向量的數(shù)量積”進(jìn)行歸納反思：解題的切入點(diǎn)是什么？求向量的數(shù)量積常用的方法有哪些？

亦可特殊化（或極端化），即考慮點(diǎn)P位于點(diǎn)C3的特殊情況進(jìn)而求解.

數(shù)學(xué)知識(shí)縱橫交錯(cuò)、有機(jī)聯(lián)系，解題思路靈活多變，解題方法途徑多樣，但條條大路通羅馬.即使一次合理正確的解題，也未必能保證就是這一類題的最佳思路、最簡(jiǎn)捷的方法.在問題的解決過程中，筆者關(guān)注學(xué)生反思意識(shí)的養(yǎng)成，在不斷質(zhì)疑、不斷改進(jìn)、拓展延伸的過程中提升學(xué)生的思辨能力.

三、思“變式”

筆者通過引導(dǎo)學(xué)生反思與問題相關(guān)的知識(shí)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的過程、矛盾產(chǎn)生和解決的過程，以及對(duì)比同類或不同類問題之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)等，體會(huì)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的基本方法與技巧，幫助學(xué)生系統(tǒng)地聯(lián)系、對(duì)比知識(shí)與方法，獲得一定的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，形成一個(gè)促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的良性循環(huán).

案例3 已知函數(shù)f（x）=|x|，若函數(shù)g（x）=f（x）-kx-2k有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

筆者引導(dǎo)學(xué)生嘗試從條件中函數(shù)的類型、問題的呈現(xiàn)形式等出發(fā)，對(duì)題設(shè)條件、結(jié)論、設(shè)問方式等進(jìn)行變式，把一個(gè)具體的看似孤立的問題，從不同的背景、不同的角度向外拓展延伸，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的知識(shí)中去挖掘“不變”的本質(zhì)，在“不變”中探求解題規(guī)律，并形成方法，幫助學(xué)生在問題解決的過程中尋找解決一類問題的思路與方法，達(dá)到舉一反三，通過有意識(shí)地反思，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

變式反思需找準(zhǔn)知識(shí)的生長點(diǎn)，在問題的“橫向”與“縱向”的發(fā)展與聯(lián)系的探究過程中，深層次地認(rèn)識(shí)問題的實(shí)質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，從中體驗(yàn)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能解決問題的樂趣，從而促進(jìn)智力和能力的提高，使高效課堂落在實(shí)處.

四、思“錯(cuò)誤”

學(xué)好數(shù)學(xué)、理解好數(shù)學(xué)就是要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展的過程，這就要求我們能正確地對(duì)待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，在經(jīng)歷對(duì)錯(cuò)誤的反思中，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，進(jìn)而提高認(rèn)識(shí).筆者在教學(xué)過程中，注意合理利用學(xué)生解題過程中的“錯(cuò)誤”資源，展開有效的討論，造成觀念沖突，促進(jìn)學(xué)生反思，批判性地認(rèn)識(shí)自己的思維誤區(qū)，從中吸收正確的思想，擯棄錯(cuò)誤的想法.

案例4 （2017年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查·理6）某食品廠制作了3種與“?！弊钟嘘P(guān)的精美卡片，分別是“富強(qiáng)?！薄昂椭C?！薄坝焉聘！?，每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片，若只有集齊3種卡片才可獲獎(jiǎng)，則購買該食品4袋，獲獎(jiǎng)的概率為（ ）

實(shí)際上，由于每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片，即等可能地放入3種“福”字卡片，所以一共有34種，這是基本事件總數(shù).

實(shí)際上，在事件總數(shù)的計(jì)算中，已經(jīng)考慮了“?！弊挚ㄆ摹靶颉?，因此，從4個(gè)袋子中任取3個(gè)袋子對(duì)應(yīng)放入3種“?！弊挚ㄆ瑧?yīng)有A34種方法.

建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)的知識(shí)不可能單獨(dú)依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以鞏固，必須有一個(gè)自我否定、自我糾錯(cuò)的過程.因此，反思錯(cuò)誤，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，促使學(xué)生對(duì)已完成的思維進(jìn)行精加工并進(jìn)行批判性的深入思考，給學(xué)生提供反思、質(zhì)疑、對(duì)比、再反思的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷再探索、再研究的過程，從而真正把錯(cuò)誤作為課堂的資源，并在這個(gè)過程中發(fā)展學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀.

北京師范大學(xué)曹才翰教授及其學(xué)生章建躍也非常重視并倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程的反思習(xí)慣，他們認(rèn)為“培養(yǎng)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思的習(xí)慣，提高學(xué)生的思維自我評(píng)價(jià)水平，這是提高學(xué)習(xí)效率、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的行之有效的方法.”教師要善于引導(dǎo)學(xué)生在平時(shí)的解題過程中養(yǎng)成解后反思的習(xí)慣，既可促其牢固掌握“雙基”，促進(jìn)知識(shí)的有效遷移、回顧和深化對(duì)問題的理解，又可提高解題效率和正確率，有效促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1999.

[2]高小軍.例題教學(xué)的解后反思[N].延安日?qǐng)?bào)，2011-10-28（11）.

編輯 趙飛飛