多品種小批量生產(chǎn)模式下共軛貝葉斯動(dòng)態(tài)質(zhì)量控制方法

李曉波，孫小慧

（新疆大學(xué) 建筑工程學(xué)院，烏魯木齊 830017）

對(duì)于制造業(yè)而言，產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)重要關(guān)注的議題之一，也是影響企業(yè)利潤(rùn)率的重要因素。通過(guò)對(duì)生產(chǎn)各個(gè)階段進(jìn)行過(guò)程控制可以發(fā)現(xiàn)制造過(guò)程中存在的異常情況并進(jìn)行分析，給出相應(yīng)的解決辦法和措施，完成質(zhì)量控制和提升。

隨著全球經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的需要也在不斷地變化，多品種、小批量的生產(chǎn)模式也在逐步演化成現(xiàn)在最主要的生產(chǎn)模式。目前，多品種、小批量生產(chǎn)方式下工序質(zhì)量控制主要有4種方法：精確控制界限法、成組技術(shù)法、統(tǒng)計(jì)變換法和貝葉斯估計(jì)法。

20世紀(jì)50年代King[1]第一次提出精確控制界限法，此法以小樣本數(shù)據(jù)量為基礎(chǔ)設(shè)置精確控制界限，控制限下的每個(gè)質(zhì)量數(shù)組誤報(bào)錯(cuò)誤的概率持續(xù)在較小的值。該方法局限于控制圖中的控制限隨著樣本容量的調(diào)整而變化，對(duì)樣本容量的變化很敏銳，容易忽視漏發(fā)報(bào)警。為了解決精確控制界限法漏發(fā)報(bào)警的缺陷，國(guó)內(nèi)外學(xué)者以成組技術(shù)中的相似性理論為依據(jù)，通過(guò)充實(shí)樣本容量解決過(guò)程質(zhì)量控制中數(shù)據(jù)量較少的問(wèn)題[2]。Desmond[3]針對(duì)多品種、小批量數(shù)據(jù)缺少問(wèn)題，提出工序質(zhì)量控制一個(gè)工序中其他相似零件可以提供質(zhì)量信息的想法從而擴(kuò)充質(zhì)量數(shù)據(jù)庫(kù)，為實(shí)現(xiàn)精確質(zhì)量控制提供關(guān)鍵理論方法。楊旭等[4]對(duì)成組技術(shù)中的相似工序法進(jìn)行研究，認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程中各工序之間是相似的，同時(shí)影響工序質(zhì)量的各因素也是相似的并存在密切相關(guān)性，同時(shí)給出了計(jì)算相似度的方法。

成組技術(shù)雖然解決了質(zhì)量控制中數(shù)據(jù)量較少的問(wèn)題，但不同產(chǎn)品、不同批次的質(zhì)量數(shù)據(jù)相關(guān)性和不是同一分布的問(wèn)題，給數(shù)據(jù)分析工作帶來(lái)阻礙。為了滿足不同產(chǎn)品獨(dú)立同一分布，同時(shí)也為了消除不同生產(chǎn)過(guò)程中不同均值和不同公差帶來(lái)的不利影響，國(guó)外學(xué)者Quesenberry[5]提出通過(guò)統(tǒng)計(jì)變換解決過(guò)程質(zhì)量控制中數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，該方法為了實(shí)現(xiàn)不同母體數(shù)據(jù)采用相同統(tǒng)計(jì)方法處理，引入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)據(jù)變換將數(shù)據(jù)正態(tài)化來(lái)完成。余忠華等[6]將成組技術(shù)中相似元理論與統(tǒng)計(jì)變換過(guò)程控制方法相結(jié)合，提出了通過(guò)相似元分析和統(tǒng)計(jì)變換來(lái)構(gòu)建相似工序，實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)過(guò)程中質(zhì)量的有效控制，該方法局限于需要相關(guān)產(chǎn)品技術(shù)支持，且收集的數(shù)據(jù)一般可能為非正態(tài)分布。

當(dāng)統(tǒng)計(jì)的生產(chǎn)過(guò)程質(zhì)量數(shù)據(jù)服從非正態(tài)分布時(shí)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了以貝葉斯估計(jì)為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)控制方法，該方法將生產(chǎn)過(guò)程中的歷史數(shù)據(jù)與人們的主觀評(píng)價(jià)、預(yù)測(cè)和判斷相結(jié)合，通過(guò)控制圖和過(guò)程能力分析建立實(shí)時(shí)跟蹤與預(yù)警的生產(chǎn)質(zhì)量控制模型，從而在低樣本容量下實(shí)現(xiàn)高精度預(yù)測(cè)。卡祥民等[7]以貝葉斯分析為理論基礎(chǔ)，將先驗(yàn)和樣本信息相結(jié)合用貝葉斯理論估計(jì)當(dāng)前產(chǎn)品質(zhì)量數(shù)據(jù)的分布參數(shù)及回歸系數(shù)，并根據(jù)所得參數(shù)繪制相關(guān)控制圖，實(shí)現(xiàn)對(duì)小批量生產(chǎn)的質(zhì)量管理。該方法在生產(chǎn)過(guò)程變動(dòng)不大的產(chǎn)品過(guò)程質(zhì)量控制中得以應(yīng)用，當(dāng)此方法遇到生產(chǎn)過(guò)程變化大時(shí)，如生產(chǎn)品種較多，批量小，加工工序復(fù)雜，會(huì)因無(wú)法獲得足夠多歷史樣本數(shù)據(jù)而無(wú)法使用。趙飛濤[8]對(duì)多品種、小批量生產(chǎn)模式進(jìn)行研究，提出通過(guò)共軛貝葉斯估計(jì)完成統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制模型的建模，在當(dāng)前少量容量下有效地估計(jì)2個(gè)或2個(gè)以上未知參數(shù)，有效規(guī)避以往貝葉斯估計(jì)在估計(jì)2個(gè)或2個(gè)以上未知參數(shù)的局限性。但該方法未考慮先驗(yàn)信息中歷史批次質(zhì)量數(shù)據(jù)的加工時(shí)間與當(dāng)前批次的加工時(shí)間的相關(guān)關(guān)系，即先驗(yàn)信息中歷史批次質(zhì)量數(shù)據(jù)的加工時(shí)間與當(dāng)前批次質(zhì)量數(shù)據(jù)的加工時(shí)間越靠近越能反映當(dāng)前的生產(chǎn)狀況，如不考慮此種情況會(huì)引起統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制活動(dòng)的無(wú)效或引起嚴(yán)重的質(zhì)量問(wèn)題，所以在研究中各先驗(yàn)信息權(quán)重占比需考慮進(jìn)去。

針對(duì)多品種、小批次生產(chǎn)模式國(guó)內(nèi)外研究的局限性，本文引入共軛貝葉斯理論，實(shí)現(xiàn)及時(shí)追蹤和反饋的工序質(zhì)量控制目的。首先根據(jù)成組技術(shù)中的相似理論選擇備選先驗(yàn)信息，通過(guò)統(tǒng)計(jì)變換方法將歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行變換處理，經(jīng)過(guò)里爾福斯（Lilliefors）檢驗(yàn)、聯(lián)合假設(shè)檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）確定為先驗(yàn)信息；然后以時(shí)間序列指數(shù)加權(quán)理論對(duì)歷史數(shù)據(jù)各批次賦予權(quán)重；其次通過(guò)共軛貝葉斯方法完成工序質(zhì)量控制模型的建立，在產(chǎn)品質(zhì)量數(shù)據(jù)累計(jì)過(guò)程中計(jì)算控制限，實(shí)現(xiàn)工序質(zhì)量控制的及時(shí)追蹤與預(yù)警；最后通過(guò)實(shí)際案例利用MATLAB工具比較此種方法與常規(guī)方法的優(yōu)缺點(diǎn)。上文提出的共軛貝葉斯統(tǒng)計(jì)控制方法流程如圖1所示。

圖1 共軛貝葉斯工序質(zhì)量控制方法流程圖

1 先驗(yàn)信息的確定

產(chǎn)品工序質(zhì)量控制的第一步就是收集一段時(shí)間段內(nèi)與相似理論相符的歷史質(zhì)量特征數(shù)據(jù)，然后以數(shù)據(jù)變換的方式將各批次相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為具有同分布的情況，其次對(duì)變換后的歷史質(zhì)量數(shù)據(jù)做方差和均值的齊性檢驗(yàn)，最后將檢驗(yàn)合格的歷史質(zhì)量數(shù)據(jù)作為共軛貝葉斯建模的先驗(yàn)信息。

1.1 成組技術(shù)

運(yùn)用成組技術(shù)，首先就是要利用工序相似性分類方法對(duì)工序相似性研判。企業(yè)根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況選取相應(yīng)方法，如目測(cè)分類法等，將生產(chǎn)中的影響工序質(zhì)量的5M1E，即人、機(jī)器、材料、方法、環(huán)境和測(cè)量5個(gè)因素，通過(guò)篩選、分類匯總，構(gòu)建工序相似性評(píng)定模型，通過(guò)以上模型收集相關(guān)重要工序同組內(nèi)的歷史批次質(zhì)量數(shù)據(jù)，將其作為備選先驗(yàn)信息。

1.2 數(shù)據(jù)變換

由于各部件的基本尺寸和公差值的差異，導(dǎo)致了其歷史批次質(zhì)量數(shù)據(jù)平均值μ和方差δ的差異，因此，必須對(duì)不同零件的歷史批次質(zhì)量數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化，實(shí)現(xiàn)相似工序質(zhì)量特征數(shù)據(jù)的同一分布。數(shù)據(jù)處理流程如下

式中：yij為標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)；xij為j批樣本中的第i個(gè)樣本實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)；Mj為第j批樣本的公差中心；Tj為第j批樣本的公差，Tj=TUj-TL。

式中：TUj為第j批數(shù)據(jù)的上偏差；TLj為第j批數(shù)據(jù)的下偏差。

1.3 先驗(yàn)信息篩選

用Lilliefors檢驗(yàn)對(duì)待選的m批先驗(yàn)樣本信息進(jìn)行篩選[9]，方法如下。從m批樣本中隨機(jī)抽取第j批樣本xj進(jìn)行檢驗(yàn)，原假設(shè)為xj服從正態(tài)分布，Lilliefors檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

式中：sup為集合中的最大值；G（yj）為第j批樣本累計(jì)分布函數(shù)；F（yj）為以第j批樣本均值和方差為總體均值和方差的累計(jì)分布函數(shù)。樣本均值和方差依據(jù)式（4）執(zhí)行。

當(dāng)D檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于等于標(biāo)準(zhǔn)值時(shí)，原假設(shè)成立，即該樣本特征服從正態(tài)分布。

為了保證備選數(shù)據(jù)與當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)方差的一致性，需先利用Bartlett's球狀檢驗(yàn)[10]進(jìn)行判別，Bartlett's球狀檢驗(yàn)的原假設(shè)H0為所有的樣本總體即m+1批數(shù)據(jù)的方差σj2是否相等。樣本容量為nj的（m+1）批樣本中，用第m+1批樣本方差Sj2代替第j批樣本的總體方差σj2估計(jì)值，Bartlett's球狀檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

為了保證備選數(shù)據(jù)與當(dāng)前樣本數(shù)據(jù)均值的一致性，確保共軛貝葉斯估計(jì)中先驗(yàn)和后驗(yàn)分布總體均值一致。需采用單因素方差分析確定備選數(shù)據(jù)與當(dāng)前樣本均值是否相同。即采用F檢驗(yàn)

當(dāng)F＞Fa（r，N-r-1）時(shí)，備選信息中各批次樣本組的總體均值不同，且Fa（r，N-r-1）為F的臨界值不能作為先驗(yàn)信息，還需對(duì)剩余備選信息中的樣本組重新進(jìn)行F檢驗(yàn)，直至出現(xiàn)F＜Fa（r，N-r-1），最終得到m批的歷史數(shù)據(jù)，將其做為可選的先驗(yàn)數(shù)據(jù)。

2 共軛貝葉斯質(zhì)量控制模型建立

2.1 控制圖的建立

產(chǎn)品的好壞有一定的隨機(jī)性，產(chǎn)品質(zhì)量特征值可以反映質(zhì)量的好壞程度，把這種隨機(jī)性分布通過(guò)建立產(chǎn)品質(zhì)量控制模型進(jìn)行監(jiān)控，一般認(rèn)為質(zhì)量控制模型建立在正態(tài)分布連續(xù)隨機(jī)變量的基礎(chǔ)上，而產(chǎn)品的質(zhì)量特征值落入（μ-3σ，μ+3σ）的概率為99.7%。由此確定產(chǎn)品特征值的控制圖：CL為中限，UCL為上控制限，LCL為下控制限。

由公式（7）可知，質(zhì)量控制的效果主要取決于對(duì)質(zhì)量數(shù)據(jù)均值μ和方差σ的準(zhǔn)確估計(jì)，利用共軛貝葉斯控制模型可以充分利用先驗(yàn)信息提高參數(shù)μ、σ估計(jì)準(zhǔn)確率，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)質(zhì)量的有效控制。

2.2 共軛貝葉斯參數(shù)的估計(jì)

2.2.1 先驗(yàn)信息均值、方差計(jì)算及權(quán)重分配

通過(guò)數(shù)據(jù)變換、篩選后歷史數(shù)據(jù)得到（y1，y2，y3，y4，…，ym）=Y組先驗(yàn)數(shù)據(jù)，且服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則各歷史數(shù)據(jù)為yij=N（μj，σj2）。

式中：nj為第j批歷史數(shù)據(jù)樣本容量n。

企業(yè)在生產(chǎn)過(guò)程中，加工時(shí)間與當(dāng)前生產(chǎn)批次靠近的歷史數(shù)據(jù)，應(yīng)該與當(dāng)前生產(chǎn)情況有更緊密的聯(lián)系。由此可以根據(jù)時(shí)間序列中的指數(shù)加權(quán)思想為各批次歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行賦權(quán)值。

根據(jù)多品種、小批量生產(chǎn)模式自身特點(diǎn)，因企業(yè)檢驗(yàn)方式的不同，可能造成各批次所選取的歷史數(shù)據(jù)的數(shù)量也有可能不同，為此可通過(guò)變樣本容量計(jì)算公式獲得各歷史數(shù)據(jù)間的均值和方差。

將指數(shù)加權(quán)思想和多品種、小批量生產(chǎn)模式下變樣本容量計(jì)算公式相結(jié)合，可得歷史的質(zhì)量數(shù)據(jù)的組間均值和方差為

2.2.2 μ，σ2參數(shù)估計(jì)

根據(jù)貝葉斯理論中多參數(shù)模型，若先驗(yàn)信息已知，總體方差σ2未知，總體方差服從逆伽馬分布（IGa），即σ2的先驗(yàn)分布為逆伽馬分布，記為IGa（α，β），μ的先驗(yàn)分布為正態(tài)分布，考慮到μ和σ2間有相互影響，故其共軛先驗(yàn)分布有乘積形式π（μ|σ2）π（σ2），可以表示為μ|σ2~N（a，b2）；σ2~IGa（α，β）。μ，σ2分布參數(shù)依據(jù)先驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算可得，計(jì)算方法如下。

（1）σ2的估計(jì)，因σ2~IGa（α，β），根據(jù)逆伽馬分布的性質(zhì)，可得

聯(lián)合（10）和（11）可得

在獲得當(dāng)前數(shù)據(jù)Y后，當(dāng)目前樣本σ2服從逆伽馬分布，由共軛貝葉斯理論可知，其后驗(yàn)與先驗(yàn)分布形式相同，可記作

由此可得σ2的貝葉斯估計(jì)

（2）μ的估計(jì)，因μ|σ2~N（a，b2），根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可得μ期望值

在獲得當(dāng)前批次樣本數(shù)據(jù)Y后，由共軛分布性質(zhì)可得

因聯(lián)合先驗(yàn)分布為π（μ，σ2）=π（μ|σ2）π（σ2），由此可得，聯(lián)合后驗(yàn)分布π（μ，σ2|Y）可得條件后驗(yàn)密度π（μ|σ2，Y）和邊緣后驗(yàn)密度π（μ|Y）的乘積，將聯(lián)合后 驗(yàn)密度σ2積分，可得μ的邊緣后驗(yàn)密度

利用逆伽馬分布密度函數(shù)的正則性性質(zhì)，得出

這是個(gè)自由度為（2α+n）的t分布，其中

由此可得μ的貝葉斯估計(jì)為

（3）計(jì)算控制限。依據(jù)多品種、小批量生產(chǎn)模式下質(zhì)量數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，選用單值-移動(dòng)極差控制圖，同時(shí)結(jié)合生產(chǎn)過(guò)程中實(shí)際數(shù)據(jù)，根據(jù)式（13）、式（14）計(jì)算α，β貝葉斯估計(jì)值，求控制圖控制限

移動(dòng)極差控制限為

依據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，得移動(dòng)極差控制限計(jì)算公式可以轉(zhuǎn)化為

2.2.3 工序過(guò)程能力

在生產(chǎn)中，工序能力是否滿足要求計(jì)算公式如下

式中：CP為工序能力指數(shù)表示過(guò)程均值與公差中心值重合時(shí)的狀態(tài)；CPK為工序能力指數(shù)過(guò)程均值與公差中心值有偏移的狀態(tài)；μl，σl分別為未變換前的原始數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

3 實(shí)例驗(yàn)證

以某電機(jī)制造廠家總裝車間中的轉(zhuǎn)子導(dǎo)條漲緊工序?yàn)槔?，利用MATLAB仿真比較本文方法與現(xiàn)有常用最大似然估計(jì)方法的優(yōu)劣。

表1 歷史質(zhì)量特征數(shù)據(jù)

假設(shè)工序過(guò)程能力指數(shù)為1.67并進(jìn)行仿真，由此可得，每批數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差σij=Tj/6，均值為Mj。根據(jù)式（16）可得，總體分布的均值μ=0，標(biāo)準(zhǔn)差σ=σij，Tj=1/10，由此可根據(jù)正態(tài)分布（0，0.01）生成仿真數(shù)據(jù)。

本文采用的單值-移動(dòng)極差控制圖的效果主要取決于對(duì)分布參數(shù)總體均值μ和總體方差σ的準(zhǔn)確估計(jì)，故本文通過(guò)MATLAB生成數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)相結(jié)合，比較本文方法與最大似然估計(jì)在總體均值μ和總體方差σ的估計(jì)情況，已確認(rèn)本文方法的有效性。

具體仿真過(guò)程如下。

（1）根據(jù)正態(tài)分布（0，1/10）生成數(shù)據(jù)，然后從中取n個(gè)數(shù)據(jù)作為當(dāng)前批次，n的初始值為1，計(jì)算當(dāng)前樣本的均值μ和方差σ2。

（2）根據(jù)表1，從其中抽取10批數(shù)據(jù)，每批歷史數(shù)據(jù)確定為30個(gè)樣本。抽取的樣本數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)式（1）變換后，先后進(jìn)行Lilliefors、Bartlett's球狀、方差分析（ANOVA）檢驗(yàn)確定選定的歷史數(shù)據(jù)與當(dāng)前的數(shù)據(jù)是否來(lái)自同一分布，如是留存，不是棄之，直至生成樣本容量為30的10組歷史數(shù)據(jù)。

（3）將指數(shù)加權(quán)思想與各批次歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)加權(quán)結(jié)合，可得歷史數(shù)據(jù)的組間均值和方差。

（4）利用先驗(yàn)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算超參數(shù)μˉ，σˉ，α，β。

（5）利用當(dāng)前數(shù)據(jù)信息結(jié)合超級(jí)參數(shù)通過(guò)貝葉斯模型得到貝葉斯參數(shù)估計(jì)的值。

（6）以傳統(tǒng)的方法最大似然估計(jì)得出當(dāng)前樣本的參數(shù)值。

（7）計(jì)算樣本容量m下的平均絕對(duì)誤差

式中：xmn為仿真估計(jì)值；Ln為樣本容量n下真實(shí)值。

由圖1、圖2可知，當(dāng)目前樣本量持續(xù)增大時(shí)，最大似然和共軛貝葉斯計(jì)算所得的分布參數(shù)估計(jì)的平均絕對(duì)誤差逐漸降低，但是當(dāng)選擇樣本數(shù)量時(shí)以共軛貝葉斯估計(jì)為基礎(chǔ)的平均絕對(duì)誤差比最大似然估計(jì)要小得多。絕對(duì)誤差能夠反映估算值的準(zhǔn)確度，而隨著誤差的持續(xù)變化，估算值的持續(xù)縮小和真實(shí)狀況也隨之接近。由此得出2個(gè)結(jié)果：一是在小樣本生產(chǎn)條件下，共軛貝葉斯估計(jì)更能反映實(shí)際情況；二是隨著樣本的增加，估算值的接近程度也隨之提高。

圖1 總體均值下2種估計(jì)方法的平均絕對(duì)誤差比較

圖2 總體方差下2種估計(jì)方法的方差絕對(duì)誤差比較

本文結(jié)合成組技術(shù)中相似理論同時(shí)利用數(shù)據(jù)變換方法，通過(guò)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，將各批次歷史質(zhì)量數(shù)據(jù)作為當(dāng)前數(shù)據(jù)的有效補(bǔ)充，同時(shí)通過(guò)指數(shù)加權(quán)將各批次數(shù)賦予權(quán)重。利用共軛貝葉斯理論的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量的及時(shí)追蹤和反饋。為了驗(yàn)證本方法的有效性，本文通過(guò)仿真與現(xiàn)有傳統(tǒng)方法比較，本方法在適用范圍、控制效果等方面均有顯著效果，在多品種、小批量工序質(zhì)量控制中能有效解決質(zhì)量控制問(wèn)題。因在生產(chǎn)過(guò)程中的觀測(cè)值呈現(xiàn)出自相關(guān)性，為此在后期工作中，需進(jìn)一步對(duì)研究觀測(cè)數(shù)據(jù)相關(guān)性進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)此模型下多品種、小批量工序質(zhì)量控制的有效性。