含參不等式恒成立問(wèn)題的 求解

王丹++謝偉

含參不等式恒成立問(wèn)題在高考試題中如同一顆璀璨的明珠奪人眼球，與函數(shù)、方程、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合，演奏出了一曲曲優(yōu)美的樂(lè)章. 解決這類(lèi)問(wèn)題需要運(yùn)用換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，下面舉例介紹這類(lèi)問(wèn)題的求解策略.

數(shù)形結(jié)合法

有些含參不等式恒成立問(wèn)題，從數(shù)的角度很難切入；但從形的角度入手，可以利用恒成立條件的幾何意義直觀求解.

例1 若對(duì)任意R，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

解析 如圖，其幾何意義是的圖象不低于的圖象. 因此，.

答案 B

例2 若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.

解析 由題意知，不等式在上恒成立.

如圖，其幾何意義是在區(qū)間上函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的上方.

若，則函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，不合題意.

若，由圖可知，函數(shù)的圖象必須經(jīng)過(guò)點(diǎn)，或在點(diǎn)的上方.

則，解得，.

所以，.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于具有明顯幾何意義的含參不等式恒成立問(wèn)題，可以利用其幾何意義建立關(guān)于參數(shù)的不等式，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.

不等式解集法

若不等式的解集是集合，則不等式在集合中恒成立等價(jià)于集合是集合的子集. 利用建立關(guān)于參數(shù)的不等式，即可求出參數(shù)的取值范圍.

例3 已知，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

解析 由題意知，在上恒成立，也就是，即在上恒成立.

因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?/p>

所以.

從而解得，.

答案 [-3，0]

例4 設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，. 若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.

解析 由題意知，.

則，即.

亦即對(duì)任意的恒成立.

也就是對(duì)任意的恒成立.

（1）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.

則.

從而解得，.

（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.

則，這是不可能的，所以.

（3）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.

則，這是不可能的，所以.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

答案

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于容易求出不等式的解集的含參不等式恒成立問(wèn)題，可以根據(jù)給定恒成立區(qū)間是不等式解集的子集列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組），從而求得參數(shù)的取值范圍.

函數(shù)最值法

含參不等式恒成立問(wèn)題中至少含有兩個(gè)變量，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，并用求函數(shù)最值的方式解題. 一般有兩種解題策略.

（1）分離參數(shù)法. 先分離參數(shù)得，，或，再構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，并求出的最值，最后依據(jù)下述結(jié)論求參數(shù)的范圍：①恒成立；②恒成立.

（2）不分離參數(shù)法. 不分離參數(shù)，直接構(gòu)造含參數(shù)的函數(shù)，通過(guò)求含參數(shù)的函數(shù)的最值，建立關(guān)于的不等式，再求參數(shù)的取值范圍.

例5 若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是（ ）

A. 0 B. -2

C. -2.5 D. -3

解析 兩種轉(zhuǎn)化策略：（1）分離參數(shù)法，將不等式轉(zhuǎn)化為. 由題意知，它對(duì)恒成立，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，并求出最值，只需. （2）不分離參數(shù)法，直接構(gòu)造含參數(shù)的函數(shù)，，并用參數(shù)表示出最小值，只需.

方法一：將不等式轉(zhuǎn)化為，由題意知，它對(duì)恒成立.

構(gòu)造函數(shù).

因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，

所以.

所以.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

方法二：構(gòu)造函數(shù)，

①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù).

則，所以符合題意.

②當(dāng)時(shí)，.

由題意得，

所以.

③當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).

則.

由題意得，

所以.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng) 一般選擇恒成立的變量和區(qū)間作為構(gòu)造函數(shù)的自變量和定義域. 如例5中選擇而不是作為自變量，選擇而不是其他范圍作為定義域. 而且，通常用到一次函數(shù)、二次函數(shù)、型等函數(shù)的性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值.

例6 已知函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 方法一：依題意得，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.

令，則.

所以g（x）在上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

又當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→0，且，

故.

所以，即.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

方法二：依題意得，對(duì)恒成立.

令，

則對(duì)恒成立.

則.

①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

則.

則

解得，.

②當(dāng)0時(shí)，由得，.

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，，故不合題意.

當(dāng)，即時(shí)，h（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，，故不合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng) 兩種解題策略的區(qū)別在于：構(gòu)造的函數(shù)是否含有參數(shù)，而參數(shù)會(huì)對(duì)求最值產(chǎn)生影響. 一般優(yōu)先選擇分離參數(shù)法，如果分離參數(shù)比較困難，再選擇不分離參數(shù)法.endprint