二項(xiàng)分布要點(diǎn)解讀

寇玉琴

二項(xiàng)分布是離散型隨機(jī)變量中繼“兩點(diǎn)分布”“超幾何分布”后的又一常見(jiàn)的、重要的隨機(jī)變量的概率分布.其分布的特殊性以及與組合、概率等的綜合性，使它成為近幾年高考中的高頻考點(diǎn). 本文從二項(xiàng)分布的概念、二項(xiàng)分布的三種常見(jiàn)題型兩個(gè)大方面出發(fā)，列舉幾個(gè)典型范例加以解讀，以期幫助讀者有效掌握二項(xiàng)分布知識(shí)，準(zhǔn)確解答二項(xiàng)分布問(wèn)題.

辨析二項(xiàng)分布模型，正確寫(xiě)出分布列

例1 在一次數(shù)學(xué)考試中，第題和第題為選做題. 規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題. 設(shè)名學(xué)生選做每一道題是相互獨(dú)立的，且選做每道題的概率均為.

（1）求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率；

（2）設(shè)這名考生中選做第題的學(xué)生個(gè)數(shù)為，求的分布列.

解析 （1）設(shè)事件表示“甲選做第”，事件表示“乙選做第”，

則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“，且事件相互獨(dú)立.

故

.

（2）由題意知，隨機(jī)變量的可能取值為且.

則.

故變量的分布列為

[ ]

點(diǎn)評(píng) 題目中“名學(xué)生選做每一道題是相互獨(dú)立的，且選做每道題的概率均為”，說(shuō)明了它是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，并且每次事件發(fā)生的概率都是. 因此它符合二項(xiàng)分布的兩個(gè)條件，是典型的二項(xiàng)分布模型.

例2 在公園游園活動(dòng)中有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱子里裝有個(gè)白球和個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同；每次游戲都從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)地摸出個(gè)球，且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱. 若摸出的白球不少于個(gè)，則獲獎(jiǎng).

（1）求在一次游戲中摸出個(gè)白球的概率；

（2）在兩次游戲中，記獲獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列.

解析 （1）記“在一次游戲中摸出個(gè)白球”為事件，事件的概率為，

則.

故在一次游戲中摸出3個(gè)白球的概率.

（2）記“一次游戲獲獎(jiǎng)”為事件，事件的概率為，

則.

而獲獎(jiǎng)次數(shù)為的所有可能取值為0，1，2，

由題意知，.

，

，

.

則的分布列為

[ 0 1 2 ]

點(diǎn)評(píng) “每次游戲結(jié)束后將球放回原箱”點(diǎn)明了是有放回地次摸球試驗(yàn)，這是典型的二項(xiàng)分布模型. 值得注意的是，有時(shí)超幾何分布在產(chǎn)品數(shù)量相當(dāng)大時(shí)，也可以近似地看成二項(xiàng)分布.

判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：（1）是否為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是否均為；（2）隨機(jī)變量是否為在這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生（不發(fā)生）的次數(shù).

掌握二項(xiàng)分布概念，會(huì)計(jì)算期望和方差

例3 （1）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值是 .

（2）一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 .

解析 （1）由于同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，

所以這次試驗(yàn)成功的概率是.

因此在2次試驗(yàn)中成功的次數(shù).

則.

（2）由題意知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中，.

則.

點(diǎn)評(píng) 這道題的選材來(lái)源于生活，是同學(xué)們熟悉的背景，容易入手. 題目中“有放回地抽取”就說(shuō)明了它是二項(xiàng)分布模型. 另外，本題考查的是二項(xiàng)分布的期望與方差，直接用公式計(jì)算比較簡(jiǎn)單.

明確交匯知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型

例4 近幾年來(lái)，某地區(qū)經(jīng)常出現(xiàn)霧霾天氣，學(xué)校為了學(xué)生的健康，對(duì)課間操活動(dòng)做了如下規(guī)定：課間操時(shí)間，若有霧霾，則停止組織集體活動(dòng)；若無(wú)霧霾，則組織集體活動(dòng). 預(yù)報(bào)得知，這一地區(qū)在未來(lái)一周從周一到周五天的課間操時(shí)間出現(xiàn)霧霾的概率是：前天均為%，后天均為%，且每一天出現(xiàn)霧霾與否是相互獨(dú)立的.

（1）求未來(lái)一周天至少一天停止組織集體活動(dòng)的概率；

（2）求未來(lái)一周天不需要停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)的分布列；

（3）用表示該校未來(lái)一周天停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)，記“函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件，求事件發(fā)生的概率.

解析 （1）未來(lái)一周天都組織集體活動(dòng)的概率是：，

則至少有一天停止組織集體活動(dòng)的概率是：.

（2）由題意知，的取值是.

，

，

，

.

則不需要停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)的分布列如下表.

[ 0 1 2 3 4 5 ]

（3）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且，

所以

所以

所以

所以事件發(fā)生的概率為：

+

點(diǎn)評(píng) 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特殊情況.當(dāng)相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率部分相同時(shí)，可以用二項(xiàng)分布公式來(lái)表達(dá).

例5 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）. 根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布. 假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.

解析 由題意知，尺寸落在之內(nèi)的概率為.

則尺寸落在之外的概率為.

因?yàn)椋?/p>

所以.

則.

點(diǎn)評(píng) 二項(xiàng)分布與頻率分布直方圖（或莖葉圖）、正態(tài)分布、獨(dú)立性檢驗(yàn)等的綜合已經(jīng)成了高考的創(chuàng)新題型與高考一大亮點(diǎn). 解決二項(xiàng)分布的創(chuàng)新性、交匯性問(wèn)題，務(wù)必要明確交匯知識(shí)，正確應(yīng)用相關(guān)知識(shí)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型求解.endprint