變指標(biāo)分?jǐn)?shù)次Hardy算子的高階交換子

于云鳳, 趙 凱

(青島大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 山東 青島 266071)

變指數(shù)函數(shù)空間在流體力學(xué)和具有非標(biāo)準(zhǔn)增長條件的微分方程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 自Kov等[1]提出關(guān)于變指數(shù)Lebesgue空間和Sobelev空間后, 變指數(shù)函數(shù)空間得到廣泛關(guān)注[2-4]. 目前, 調(diào)和分析中許多重要的算子在變指數(shù)函數(shù)空間中的有界性已得到證明. 例如： 文獻(xiàn)[5-6]分別證明了分?jǐn)?shù)次積分算子和分?jǐn)?shù)次極大算子在變指數(shù)Lebesgue空間上的有界性; 陸善鎮(zhèn)等[7]引入了經(jīng)典的Herz-Morrey空間, 它是Lebesgue空間的推廣, 也是Herz空間的延伸, 受變指數(shù)函數(shù)空間的影響; Izuki[8]引入了變指數(shù)Herz-Morrey空間, 研究了向量值次線性算子在其上的有界性, 并指出變指數(shù)Herz空間是變指數(shù)Herz-Morrey空間的特例; 此外, 文獻(xiàn)[9-10]證明了變指數(shù)Herz空間上一些算子的有界性； 文獻(xiàn)[11-13]研究了經(jīng)典Herz-Morrey空間以及變指數(shù)Herz-Morrey空間上一些經(jīng)典算子及其交換子的有界性. 另一方面, 自Hardy[14]證明了Hardy積分不等式后, 關(guān)于Hardy積分不等式和Hardy算子的研究已有很多結(jié)果[15-16]. 張璞等[17]研究了分?jǐn)?shù)次Hardy算子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性; 程星星等[18]得到了變指標(biāo)分?jǐn)?shù)次Hardy算子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性.

由于分?jǐn)?shù)次Hardy算子和分?jǐn)?shù)次積分算子有許多共同特征, 因此, 研究變指標(biāo)分?jǐn)?shù)次Hardy算子與BMO函數(shù)生成的高階交換子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性有一定的理論意義. 本文主要研究變指標(biāo)分?jǐn)?shù)次Hardy算子與BMO函數(shù)生成的高階交換子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性.

1 預(yù)備知識

為方便, 首先給出變指數(shù)函數(shù)空間的概念.

定義1[1]設(shè)q(·):E→[1,∞)是可測函數(shù), 變指數(shù)Lebesgue空間Lq(·)(E)定義為

?x,y∈n;

?x∈n;

?x∈n,

定義3[18]設(shè)f是n上的局部可積函數(shù), 令β(x)是n上的可測函數(shù), 滿足0<β(x)

定義4設(shè)b∈BMO(n),β(x)如定義3.m∈, 變指標(biāo)的n維分?jǐn)?shù)次Hardy算子與b生成的高階交換子定義為

下面給出變指數(shù)Herz-Morrey空間的定義. ?k∈, 令Bk={x∈n: |x|>≤2k},Ak=BkBk-1, 用χk=χAk表示Ak上的特征函數(shù).

定義5[8]設(shè)α∈, 0≤λ<∞, 0

其中

引理2[10]若q(·)∈B(n),m∈,i,j∈且i

(1)

‖χR‖Lp(·)(n)～～,

引理4[18]令1<β-≤β(x)≤β+<∞,x∈B(0,r)B(0,r/2), 若β(x)在原點(diǎn)是log-H?lder連續(xù)的, 則

C-1rβ(0)≤rβ(x)≤Crβ(0), 0

若β(x)在無窮遠(yuǎn)處是log-H?lder連續(xù)的, 則

從裝飾花紋上看，無論是工筆還是寫意其表現(xiàn)出的題材都具有吉祥道喜之意。在這些紋樣中一般表現(xiàn)的題材有花卉紋、山石、海水紋、魚藻紋、回紋、卷線紋、龍、鳳、麒麟紋、松、竹、梅紋、人物紋等。這些紋路一一反應(yīng)出當(dāng)時(shí)的社會(huì)文化。

C-1rβ∞≤rβ(x)≤Crβ∞,r≥1.

引理5[1]若p(·)∈P (n) , 則對所有的f∈Lp(·)(n),g∈Lp′(·)(n), 有

命題1[3]令q(·)∈P (n) , 若n), 則q(·)∈B(n).

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)q1(·),q2(·),β(·)∈P (n),q1(x)≤q2(x), 01, 且若則是從n)到n)有界的.

其中當(dāng)|x|>≥1時(shí),β(*)=β∞, 否則β(*)=β(0).

對Ⅰ取Lq2(·)(n)范數(shù), 由引理2以及命題6有

又

所以

由引理3知,

1) 若0≤j≤k, 由引理3得

2) 若j<0≤k, 則

3) 若j≤k<0, 則

從而由定義5知,

顯然

故

證畢.

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