由淺入深，由懂及會

吳韓興

摘 要?高三復(fù)習(xí)緊張而忙碌，各種考試層出不窮，就有了大量的試題資源，而反觀學(xué)生，卻還處于似懂非懂，懂而不會的階段，如何利用這豐富的試題資源，讓學(xué)生“既懂又會”？本文通過一道高三月考試題的講評，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，由淺入深，層層深入，既解決了問題又揭示了本質(zhì)，從根本上讓學(xué)生由懂及會。

關(guān)鍵詞?懂而不會;挖掘;試題

中圖分類號：S222.5+5，C44 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）14-0208-02

在我們的數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生存在著“懂而不會”的現(xiàn)象，究其原因或是教師的講解不到位，或是學(xué)生對該知識并未達(dá)到真正的理解呢？事實上，學(xué)生自以為的懂，和教師要求的懂之間還有一段很長的路。學(xué)生認(rèn)為的懂多是表象的，是能夠看懂這樣的操作，或者可以模仿解答問題，而不去思考為什么要這樣做，為什么可以這樣做？而教師要求的懂包含了會的要求，學(xué)生能主動想到方法，并能徹底解決問題。

高三復(fù)習(xí)會涉及很多典型試題，都會暴露學(xué)生的問題——懂而不會。如何用好手頭試題，充分發(fā)揮試題的利用價值，是提升學(xué)生備考水平的關(guān)鍵。

一、課堂實錄

（高三月考卷中一道填空題）若，滿足，則最小值為_________。分析：此題不難，但從學(xué)生的答題情況來看，滿分4分只有0.63的平均分，得分明顯偏低。

為了利用好這道題，發(fā)揮其典型性，從而避免出現(xiàn)類似問題？我的做法是分析該數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)和學(xué)生目前掌握的情況，將問題化歸到已經(jīng)解決的問題上，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計問題，便于學(xué)生在新舊知識間建立聯(lián)系和對新知識的理解與建構(gòu)。以下是我的課堂實錄。

第一步，先讓學(xué)生回顧課堂內(nèi)講過的一道比較容易的題，主要是兩種解法。

若，滿足，求的最大值。

解法一：因為，所以，即，所以。

解法二：因為，所以，所以，因為，所以可解得。

解法一利用基本不等式得到關(guān)于的不等式，解法二消元后轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值問題。

【設(shè)計意圖】從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，能讓學(xué)生快速找到解決問題的方法，為第二步搭好腳手架。

第二步，觀察這道考試題，你能試著用這兩種方法解決嗎？學(xué)生很快得到了如下的解法。

解法一（利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，進(jìn)而求得的最大值）

因為，，所以得到，又由條件可得，令，所以，解得或，因為，所以的最小值為6。

解法二（消元法）

因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號）。

我肯定了學(xué)生的解法，其實考試題和平時練習(xí)題的方法是相通的。

再進(jìn)一步追問：利用基本不等式還有其它解法嗎？解法二中消元后轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，函數(shù)與方程是有密切聯(lián)系的，可否利用方程思想求解呢？請大家再思考。

從而又產(chǎn)生了下面兩種解法。

解法三（先配湊，再利用基本不等式）

因為，所以，即，所以。這其實就是基本不等式法，只不過要先配湊，有一定技巧性。

解法四（用方程思想）

令，所以，代入條件可得，所以該方程有正根，設(shè)為，所以，解得，所以的最小值為6。該解法是受到了解法二的啟發(fā)。

這時又有學(xué)生有了新想法：

令，則原條件可化為：，所以或（舍），此時，所以的最小值為6。

該生的答案是對的，我就追問：為什么想到令？

學(xué)生回答：做到過很多類似題目都是兩個字母相等時取到最值，這題也是如此。

我再問：為什么6不是最大值呢？

學(xué)生回答：沒想過，這題是求最小值就寫了6。

這時我讓學(xué)生思考，是不是所有這類題都可以這樣做？

我給出了這道題的變式：若，滿足，求最小值。

學(xué)生方法一：令，解得，解得的最小值為。

學(xué)生方法二：消元法，過程略，可解得當(dāng)，的最小值為。

學(xué)生方法三：方程思想，過程略，可解得。

方法二、方法三的答案一樣，很明顯方法一中令得到的最小值不正確，由方法二可知取到最小值時，并不相等。通過這道變式題，解決了學(xué)生盲目去湊答案，也使學(xué)生弄明白了錯誤的原因。

【設(shè)計意圖】在第一步的基礎(chǔ)上來解決試題水到渠成，讓學(xué)生體驗成功的喜悅。鼓勵學(xué)生暢所欲言，敢于講出自己的想法，教師能及時捕捉意外的生成資源，因勢利導(dǎo)，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)在憑經(jīng)驗猜想的基礎(chǔ)上，還要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。

第三步，為了讓學(xué)生進(jìn)一步掌握該類題型的一般做法，我給出了題組，課后進(jìn)行鞏固。

1.若，滿足，則的取值范圍為_____。

2.若，滿足，則的最小值為_____。

3.已知正數(shù)滿足，則的最小值為____，的取值范圍為____。

4.已知正數(shù)滿足則的最小值為______。

【設(shè)計意圖】題組的設(shè)置能讓學(xué)生再碰到此類題型時能做到心中有數(shù)，萬變不離其宗。

二、案例評析

這道試題的講評先通過初始問題的引領(lǐng)，幫助學(xué)生找到解決這類問題的方法，雖然題目簡單，但其解法卻能觸及知識的本質(zhì)，可以在教學(xué)中起到統(tǒng)帥作用。其他題目雖然和初始問題有差異，但是利用函數(shù)與方程思想、基本不等式來處理的方法觸及了這類問題的本質(zhì)，因而依然有效。

如果這道題只是從基本不等式這個角度去分析，教學(xué)方法太單一，對高三復(fù)習(xí)課而言綜合性不夠。我們應(yīng)該通過這道題，發(fā)掘它的功效，比如解法二中消元的方法，解法四中利用方程的方法，利用了函數(shù)與方程的思想，把問題轉(zhuǎn)化為我們較熟悉一元函數(shù)問題或一元二次方程問題，反而題目的求解更簡單了。通過這樣教學(xué)才能使學(xué)生在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想上得到全面的鍛煉，通過函數(shù)的思想方法去解決這道題就比利用基本不等式的方法在數(shù)學(xué)的理解上就更高一層次了。根據(jù)新課標(biāo)，函數(shù)的思想方法應(yīng)貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終。

對于近幾年比較熱門的二元二次等式為約束條件下求二元一次式的最值的常用解題策略（降元法、升冪法、換元法）在本節(jié)課也充分得到了體現(xiàn)。

三、后記

就這道題而言，這樣教學(xué)應(yīng)該是比較到位了，但題目的形式千變?nèi)f化，為了提高學(xué)生對新問題的處理能力，從而使學(xué)生的思維能力得到進(jìn)一步的鍛煉，我覺的還應(yīng)該在課堂中補充一些題。例如已知滿足，求的取值范圍。該題若采用利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為不等式的方法，可以這樣去思考：原條件可化為，因為，，兩個不等式等號不可能同時取等號，所以，取不到等號，很明顯這個方法不對。

事實上利用基本不等式可以這樣去組合，，化簡可得，解得。這里要從目標(biāo)出發(fā)，進(jìn)行合理組合。該題若采用消元法去解，因為很難消去一個元，中一個用另一個表示比較難，放棄這種做法。該題若采用方程思想，可以這樣去解：令，則，代入轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，利用該方程有正根可解得。

教師在平時的試卷分析（或作業(yè)講評）中應(yīng)關(guān)注并分析學(xué)生在某類問題解決中的思維缺陷，并引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)對該類問題的一般方法。從教師方面來講，教師的講評要做到以點帶面，透析問題的本質(zhì)，將具體問題進(jìn)行拆分，搭建腳手架，讓學(xué)生能挑一挑就夠到桃子。對試題能進(jìn)行多方變式，多方設(shè)疑，鍛煉學(xué)生的臨場應(yīng)變能力。

“工欲善其事，必先利其器”，高三復(fù)習(xí)千頭萬緒，以試題為抓手，借題發(fā)揮，舉一反三，觸類旁通，借助問題載體，鞏固知識方法，積極反思，最大限度地挖掘其內(nèi)在價值，促進(jìn)科學(xué)有效的備考。

參考文獻(xiàn)：

[1]孔德鵬.活動促進(jìn)經(jīng)驗生長，變式引發(fā)深度學(xué)習(xí)——高三復(fù)習(xí)課“基本不等式”的教學(xué).中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017-12-25.