N維單體上可降映射的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

冀占江

(梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，廣西 梧州 543002)

1引言

在拓?fù)鋵W(xué)動(dòng)力系統(tǒng)中，一維動(dòng)力系統(tǒng)一直都是研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究，得到很多有意義的成果。烏克蘭數(shù)學(xué)家Sarkovskii給出了區(qū)間上著名的Sarkovskii定理，有關(guān)該定理的內(nèi)容見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。1988年熊金城[2]對(duì)區(qū)間上的各種點(diǎn)集進(jìn)行了研究。Block L[3]對(duì)一維區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)做出了更加全面的介紹。孫太祥、席鴻建、張更容等[4]對(duì)樹(shù)映射動(dòng)力系做了詳細(xì)深入的研究。但是在實(shí)際應(yīng)用中，很多學(xué)科中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型大多屬于高維乘積空間自映射的迭代問(wèn)題，因此我們有必要對(duì)高維空間的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行研究。本文結(jié)合的區(qū)間映射的一些結(jié)論和可降映射的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，給出了N維單體上可降映射的9個(gè)結(jié)論。這些結(jié)論將熊金城、周作領(lǐng)等人的研究成果更進(jìn)一步推廣，在實(shí)際中有一定的應(yīng)用價(jià)值。

2基本概念

定義1[3]設(shè)(X,d)是度量空間，f∶X→X連續(xù)，點(diǎn)x∈X。若存在m>0使fm(x)=x，則稱x為f的周期點(diǎn)，f的周期點(diǎn)集用P(f)表示。

定義2[3]設(shè)(X,d)是度量空間，f∶X→X連續(xù)，點(diǎn)x∈X。若存在m≥0使得fm(x)∈P(f)，則稱x為f的終于周期點(diǎn)。f的終于周期點(diǎn)集用EP(f)表示。

定義4[3]設(shè)(X,d)是度量空間，f∶X→X連續(xù)，點(diǎn)x∈X。若x∈ω(x,f)，則稱x為f的回歸點(diǎn)。f的回歸點(diǎn)集用R(f)表示。

定義5[5]設(shè)(X,d)是度量空間，f∶X→X連續(xù)，點(diǎn)x∈X。若對(duì)任意的ε>0，存在y∈X和m>0，使得d(y,x)<ε且d(fm(y),x)<ε，則稱x為f的非游蕩點(diǎn)。f的非游蕩點(diǎn)集用Ω(f)表示。

定義6[3]設(shè)(X,d)是度量空間，f∶X→X是連續(xù)映射，點(diǎn)x∈X。若令ord(x,f)={fm(x)∶m≥0}，則稱ord(x,f)為點(diǎn)x在f作用下的軌道。

定義7[3]設(shè)(X,d)是度量空間，f∶X→X連續(xù)，x∈X。若對(duì)任意包含x的開(kāi)集U，存在m>0，?k>0，?0

定義8[6]設(shè)(X,d)是度量空間，f∶X→X連續(xù)，x,z∈X。稱點(diǎn)x是z的不穩(wěn)定流形點(diǎn)，如果對(duì)任意包含z的鄰域V(z)，存在m>0，使得x∈fm(V(z))。z的不穩(wěn)定流形點(diǎn)組成的集合叫做z關(guān)于f的不穩(wěn)定流形，記作Wu(z,f)。

定義9[7]設(shè)pi∶Xn→Ii其中pi(x)=xi,x=(x1,x2…xn)，則稱pi是自然映射。

定義10[8]設(shè)f1，f2∶I→I連續(xù)映射，f∶I×I→I×I連續(xù)映射，若對(duì)任意(x1,x2)∈I×I，有F(x1,x2)=(f1(x1),f(x2))，則稱F是f1與f2的乘積映射，并記F=f1×f2。

定義11[7]設(shè)f∈C0(Xn)，稱f是可降映射，如果若存在連續(xù)自映射Fi∶I→I(i=1,…n)使得pi·f=Fi·pi(i=1,2…n)成立，此時(shí)Fi(i=1,2…n)稱是f的下降組。

3若干個(gè)引理

引理3.1設(shè)f∈C0(Xn)，z=(z1,z2…zn)∈Xn，t=(t1,t2…tn)∈Xn，d是Xn上的度量，F(xiàn)i∶I→I(i=1,…n)連續(xù)，則

(1)Fi是f的下降組 ?f=F1×F2×…Fn；

(2)若f是可降映射，則f的下降組是唯一的；

證明：(1)的證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[8]，(2)，(3)，(4)的證明由(1)很容易推出，(5)由(4)很容易得到。

引理3.2 設(shè)Fi(i=1,…n)是f的下降組，f∈C0(Xn)，z=(z1,z2…zn)∈Xn，則

(1)設(shè)x=(x1,x2…xn)∈Xn，z∈w(x,f) ?zi∈w(xi,Fi)(i=1,2,…n)。

(2)z∈∧(f)?zi∈∧(F)(i=1,2,…n)，其中∧(·)代表P(·)，R(·)，Ω(·)，EP(·)，W(·)。

證明：(1)的證明類似參考文獻(xiàn)[9]的方法；(2)Ω(·)的證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[10]，P(·)的證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[11]，R(·)證明方法與參考文獻(xiàn)[11]類似，EP(·)可由P(·)很容易推出；W(·)可由引理3.2(1)很容易得出。

yi∈V(Zi)∩R(Fi)(i=1,2,…n)

其他的證明方法與上面類似，在這里省略。

引理3.4設(shè)Fi(i=1,2,…n)是f的下降組，f∈C0(Xn)，則∧(f)是閉集?∧(Fi)是閉集(i=1,2,…n)?！?·)代表P(·)，R(·)，AP(·)。

故z∈P(f)，因此P(f)是閉集,故∧(f)是閉集?∧(Fi)是閉集。

其他的證明方法與上面類似，在這里省略。

4區(qū)間I=[0,1]上一些結(jié)論

[2]、[5]、[12]給出了區(qū)間上連續(xù)自映射f的9個(gè)結(jié)論，結(jié)論如下：

引理4.7 設(shè)J?I是開(kāi)區(qū)間，并且J∩P(f)=?，則J∩R(f)=?。

引理4.8W(f)是閉集。

引理4.9 若x∈Ω(f)∩EP(f)，則對(duì)任意的奇數(shù)m>1，都有x∈Ω(fm)。

5主要定理

現(xiàn)在將區(qū)間這些結(jié)論推廣到N維單體上，設(shè)f∈C0(Xn)，F(xiàn)i(i=1,2,…n)是f的下降組，則有以下結(jié)論。

由引理4.2知，Orb(zi,Fi)是無(wú)限集。由引理3.1(4)知，?m≥1，有

因此Orb(z,f)是無(wú)限集。

定理5.4AP(f)是閉集?R(f)是閉集。

引理3.2(2)知，z∈Ω(f∣Ω(f))。

另一方面：z=(z1,z2…zn)∈Ω(f∣Ω(f))，由引理3.2(2)和引理4.5知，

證明：設(shè)z=(z1,z2…zn)∈Ω(f)，由引理3.2(2)和引理4.6知

定理5.8W(f)是閉集。

由引理3.2(2)可得，z∈W(f)， 故W(f)是閉集。

定理5.9 若z∈Ω(f)∩EP(f)，則對(duì)任意奇數(shù)m>1，都有z∈Ω(fm)。

證明：設(shè)z=(z1,z2…zn)∈Ω(f)∩EP(f)，則有zi∈Ω(Fi)∩EP(Fi)(i=1,2,…n)。

[參考文獻(xiàn)]

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