城際鐵路設(shè)站城市選擇優(yōu)化模型

張?zhí)靷?，趙媛媛，閆紹輝，李 峰

（1.石家莊鐵道大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，河北石家莊050043；2.河北建投交通投資有限責(zé)任公司投資發(fā)展部，河北石家莊050051)

在鐵路運(yùn)輸系統(tǒng)中，車(chē)站具有十分重要的地位，合理的客運(yùn)站設(shè)置有助于提高交通的可達(dá)性[1]。目前，我國(guó)城際鐵路正在進(jìn)入規(guī)劃設(shè)計(jì)和施工建設(shè)高峰期。設(shè)站城市選擇是城際鐵路規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí)一個(gè)重要因素，目前對(duì)于車(chē)站設(shè)計(jì)的研究多集中于車(chē)站選址[1-3]、車(chē)站站型設(shè)置[4-5]、車(chē)站出站口設(shè)置[6]等方面，均是在設(shè)站城市已知的情況下根據(jù)城市具體情況及旅客需求研究車(chē)站在城市中的具體選址和站型設(shè)計(jì)。關(guān)于設(shè)站城市選擇的研究較少，雒繼峰[7]從鐵路車(chē)站對(duì)城市的促進(jìn)作用、鐵路車(chē)站與城市交通運(yùn)輸系統(tǒng)關(guān)系等方面探討鐵路歷經(jīng)城市設(shè)站的合理模式，并對(duì)西安市鐵路車(chē)站設(shè)置進(jìn)行研究，但缺少設(shè)站城市選擇的量化分析；陳卓[8]、張?zhí)靷サ萚9]主要研究鐵路網(wǎng)規(guī)劃，對(duì)于設(shè)站城市選擇僅提出大城市應(yīng)該設(shè)置車(chē)站。為此，研究城際鐵路設(shè)站城市選擇優(yōu)化問(wèn)題十分重要。

1 城際鐵路設(shè)站城市選擇問(wèn)題描述

決定修建城際鐵路時(shí)，一般已知起點(diǎn)城市和終點(diǎn)城市，再進(jìn)行選線(xiàn)設(shè)計(jì)，即根據(jù)起點(diǎn)城市與終點(diǎn)城市之間城市的地理位置、人口數(shù)量、經(jīng)濟(jì)狀況、占地面積和交通情況等，規(guī)劃線(xiàn)路的基本走向，即線(xiàn)路途經(jīng)哪些城市，在哪些城市設(shè)站。假設(shè)規(guī)劃城際鐵路起點(diǎn)與終點(diǎn)城市及中間城市相對(duì)位置示意圖如圖1 所示。在圖1 中，規(guī)劃在城市 1 和 13 之間修建城際鐵路，則需要確定城際鐵路從城市 1 引出后需要引入哪個(gè)城市，如果為城市 2，則從城市 2 引出后需要引入哪個(gè)城市，依次類(lèi)推，直至引入城市13，即完成選線(xiàn)設(shè)計(jì)。對(duì)線(xiàn)路設(shè)計(jì)具有決定性影響的一般是修建難度與修建成本。

圖1 規(guī)劃城際鐵路起點(diǎn)與終點(diǎn)城市及中間城市相對(duì)位置示意圖Fig.1 Locations of the starting city, terminal city and the intermediate cities of the planned intercity railway

選線(xiàn)設(shè)計(jì)時(shí)，如果規(guī)劃線(xiàn)路沒(méi)有通過(guò)某一城市，則無(wú)法在該城市設(shè)置車(chē)站，即使通過(guò)某城市也需要綜合考慮線(xiàn)路功能定位、城市自身情況等確定是否在該城市設(shè)置車(chē)站。但是，城際鐵路則有所不同，一般認(rèn)為，城際鐵路主要服務(wù)于相鄰城市間或城市群，即主要服務(wù)于一些中小城市，只要通過(guò)該城市一般均設(shè)置車(chē)站。假設(shè)所研究的所有城市均具備設(shè)站條件，最終是否設(shè)置車(chē)站則需要根據(jù)優(yōu)化結(jié)果確定。

由圖1 可知，城際鐵路從城市 1 引入城市 13，有多種走向方案。一般做法是對(duì)有可能經(jīng)過(guò)的城市2 至城市 12 的城市規(guī)模、預(yù)測(cè)客貨運(yùn)量等因素進(jìn)行綜合評(píng)估，確定城際鐵路必須經(jīng)過(guò)的城市 (以下稱(chēng)為“重要城市”) 和不是必須經(jīng)過(guò)的城市 (以下稱(chēng)為“非重要城市”)，然后在此基礎(chǔ)上采用修建費(fèi)用最小的方式?jīng)Q定城際鐵路走向，即圖論中的最小樹(shù)問(wèn)題[9](鐵路線(xiàn)路一般為線(xiàn)形結(jié)構(gòu))，也就確定了設(shè)站城市和修建線(xiàn)路。在進(jìn)行最終決定時(shí)也會(huì)綜合考慮，有可能減少途經(jīng)重要城市數(shù)量，增加非重要城市數(shù)量。

比如對(duì)圖1 中的城市經(jīng)過(guò)綜合評(píng)估，認(rèn)為重要城市為 3，4，5，10，11，12，非重要城市為 2，6，7，8，9。假設(shè)利用最小樹(shù)算法確定的途經(jīng)所有重要城市城際鐵路走向示意圖如圖2 所示，即在城市 1 和 3、3 和 5、5 和 4、4 和 10、5 和 7、7 和 11、11 和 12、12 和 13 之間修建城際鐵路，在城市 1，3，4，5，7，10，11，12，13 設(shè)置車(chē)站。圖2 中包含非重要城市 7，主要是其與重要城市 5 和 11 基本在一條直線(xiàn)上，通過(guò)該城市并不顯著增加線(xiàn)路修建費(fèi)用。

圖2 中城際鐵路走向不是線(xiàn)形結(jié)構(gòu)，而是樹(shù)形結(jié)構(gòu)，樹(shù)形結(jié)構(gòu)與線(xiàn)形結(jié)構(gòu)相比，將增加后期列車(chē)運(yùn)營(yíng)及調(diào)度指揮的難度。此時(shí)進(jìn)行調(diào)整時(shí)可以有以下 2 種方案，一種是在所有重要城市之間尋找費(fèi)用最小的線(xiàn)形結(jié)構(gòu)，如圖3 所示。一種是不通過(guò)重要城市 4 和 10，結(jié)果如圖4 所示。在圖3 中，城市 3和 11、5 和 11 之間的實(shí)際距離較理論最短路相差很大，產(chǎn)生了很高的繞道率。在圖4 中，盡管不產(chǎn)生很高繞道率，但缺少了重要城市 4 和 10。由此可以看出，由圖2、圖3 和圖4 得到的方案都各有優(yōu)缺點(diǎn)。

圖2 利用最小樹(shù)算法確定的途經(jīng)所有重要城市城際鐵路走向示意圖Fig.2 Route of the intercity railway with all the important cities selected using the minimum tree algorithm

城際鐵路車(chē)站設(shè)站城市合理方案應(yīng)是在所有建設(shè)費(fèi)用最小的情況下保證車(chē)站覆蓋所有城市，且繞道率不宜過(guò)高。其中，車(chē)站覆蓋所有城市并非在所有城市設(shè)置車(chē)站，而是在一個(gè)城市設(shè)站可以覆蓋周邊城市。這種情況不同于圖論中的最小樹(shù)問(wèn)題，也不同于圖論中的最短路問(wèn)題。因?yàn)樽钚?shù)需要確定設(shè)站城市，研究認(rèn)為合理方案中設(shè)站城市為變量，且經(jīng)由最小樹(shù)求解的線(xiàn)路走向有可能不是線(xiàn)形結(jié)構(gòu)，并有可能產(chǎn)生較高的繞道率。最短路不能保證車(chē)站覆蓋率，有可能造成部分城市居民無(wú)法實(shí)現(xiàn)經(jīng)由鐵路出行。接下來(lái)將對(duì)城際鐵路設(shè)站城市方案進(jìn)行優(yōu)化，假定城際鐵路為線(xiàn)形結(jié)構(gòu)，并且對(duì)于城市不區(qū)分重要城市和非重要城市。

圖3 途經(jīng)所有重要城市的線(xiàn)形結(jié)構(gòu)城際鐵路設(shè)站示意圖Fig.3 Linear structure of inter-city railway stations in all important cities

圖4 途經(jīng)部分重要城市的線(xiàn)形結(jié)構(gòu)城際鐵路走向示意圖Fig.4 Linear structure of inter-city railway stations in some important cities

2 城際鐵路設(shè)站城市選擇模型構(gòu)建

2.1 參數(shù)及變量定義

M為確定具備修建城際鐵路車(chē)站城市的個(gè)數(shù)，對(duì)所有城市按 1，2，…，M的自然序列進(jìn)行編號(hào)，其中編號(hào)為 1 和M的城市分別為城際鐵路的起點(diǎn)城市和終點(diǎn)城市。Ci為在城市i(i= 1，2，…，M) 修建城際鐵路車(chē)站的工程費(fèi)用，億元；Cij為城市i和城市j之間修建城際鐵路的工程費(fèi)用，億元；為方便計(jì)算，認(rèn)為當(dāng)i=j時(shí)，Cij= 0，并且存在Cij=Cji；F(i) 為如果要覆蓋城市i需要設(shè)站城市的集合；Lij為城市i和城市j之間修建城際鐵路的最短距離，km，為方便計(jì)算，認(rèn)為當(dāng)i=j時(shí)，Lij= 0；xi為 0-1變量，當(dāng)在城市i設(shè)置城際鐵路車(chē)站時(shí)為 1，否則為 0，由此可知x1=xM= 1，即城際鐵路起點(diǎn)城市和終點(diǎn)城市一定設(shè)置車(chē)站；yij為 0-1 變量，在城市i和城市j之間修建城際鐵路時(shí)為 1，否則為 0，為方便計(jì)算，認(rèn)為當(dāng)i=j時(shí)，yij= 0。

2.2 優(yōu)化模型

（1）目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)前文可知，目標(biāo)函數(shù)為修建城際鐵路及城際鐵路車(chē)站工程的總費(fèi)用最低，即

式中：z為修建城際鐵路及城際鐵路車(chē)站工程的總費(fèi)用為修建城際鐵路車(chē)站的工程費(fèi)用，為在城市之間修建城際鐵路的工程費(fèi)用，用，具體費(fèi)用大小與模型求解結(jié)果有關(guān)。

（2）變量邏輯約束。模型中 2 組決策變量xi與yij存在邏輯關(guān)系約束，具體為

（4）繞道率約束。為避免起點(diǎn)城市與終點(diǎn)城市城際鐵路的實(shí)際距離與最短距離相差過(guò)大，采用以下約束。

公式 ⑵ 表示，在城市i是否設(shè)置城際鐵路車(chē)站與是否在該城市與其他城市之間修建城際鐵路存在邏輯關(guān)系，如果在城市i設(shè)置城際鐵路車(chē)站，則xi= 1，則一定要從城市i引出城際鐵路，如果xi= 0，則一定不會(huì)從城市i引出城際鐵路，該城市取值范圍為編號(hào)從 1 到M-1，即終點(diǎn)城市不引出城際鐵路；公式 ⑶ 表示，在城市j是否設(shè)置城際鐵路車(chē)站與是否在其他城市與該城市之間修建城際鐵路存在邏輯關(guān)系，如果在城市j設(shè)置城際鐵路車(chē)站，則xj= 1，則一定要有城際鐵路引入城市j，如果xj= 0，則一定不會(huì)有城際鐵路引入城市j，該城市取值范圍為編號(hào)從 2 到M，即起點(diǎn)城市不引入城際鐵路。公式 ⑵ 和公式 ⑶ 保證城際鐵路走向?yàn)榫€(xiàn)形結(jié)構(gòu)。

在模型求解時(shí)，出于目標(biāo)函數(shù)的考慮，有可能出現(xiàn)yij=yji= 1 的情況，即從城市i引出的城際鐵路引入了城市j，從城市j引出的城際鐵路引入了城市i，在城市i和j之間形成一個(gè)死循環(huán)，無(wú)法到達(dá)終點(diǎn)城市。為避免此種情況發(fā)生，引入公式 ⑷如下。

公式 ⑷ 表示任意 2 個(gè)城市之間最多修建 1 條城際鐵路，即不存在yij=yji= 1 時(shí)描述的死循環(huán)，該約束不應(yīng)該通過(guò)yij≠yji實(shí)現(xiàn)，因?yàn)閮沙鞘兄g不修建城際鐵路時(shí)，無(wú)法滿(mǎn)足該約束。

（3）車(chē)站覆蓋約束。為保證所有城市居民均可以通過(guò)車(chē)站乘坐城際鐵路列車(chē)，則所選擇的設(shè)站城市必須覆蓋所有城市，即

公式 ⑸ 表示如果要覆蓋除起點(diǎn)城市和終點(diǎn)城市之外所有城市，則必須在可以覆蓋其的城市中至少有一個(gè)城市設(shè)置車(chē)站。

式中：α為能夠接受的最大繞道率，α≥1；L1,M為起點(diǎn)城市與終點(diǎn)城市修建城際鐵路的最短距離，km。

需要說(shuō)明的是，在α一定的情況下，公式 ⑸ 和公式 ⑹ 共同約束有可能出現(xiàn)模型無(wú)解的情況，此時(shí)一般要將α值繼續(xù)增加或直接取消該約束，一般城際鐵路起點(diǎn)城市和終點(diǎn)城市之間修建有高速鐵路，2 個(gè)城市之間的客流可以經(jīng)由高速鐵路實(shí)現(xiàn)出行。

（5）已知變量約束。優(yōu)化模型中部分變量已知，例如x1=xM= 1，yij= 0 (i=j時(shí))，即起點(diǎn)城市和終點(diǎn)城市必須修建城際鐵路車(chē)站，同一城市之間無(wú)需修建城際鐵路。

綜上所述，城際鐵路設(shè)站城市選擇優(yōu)化模型如下。

3 算例應(yīng)用

以圖1 為算例驗(yàn)證模型的有效性和準(zhǔn)確性，為求解方便，不再考慮公式 ⑹ 表示的約束。其他已知條件為：M = 13，F(xiàn) (2) ={1，2}，F(xiàn) (3) ={3，6}，F(xiàn) (4) ={4，5，8}，F(xiàn) (5) ={4，5，7，8}，F(xiàn) (6) ={3，6}，F(xiàn) (7) ={5，7，8}，F(xiàn) (8) ={5，7，8，9}，F(xiàn) (9) ={8，9，10}，F(xiàn) (10) ={8，9，10}，F(xiàn) (11) ={7，11，12，13}，F(xiàn) (12) ={11，12，13}。

Ci= [5.2 3.4 2.8 2.8 4.8 3.2 2.9 4.6 3.9 3.7 5.8 4.3 6.8]

利用軟件 lingo 11.0 求解，不足 1 s 得出最優(yōu)解，具體決策變量結(jié)果為：x1= 1，x3= 1，x7= 1，x8= 1，x11= 1，x13= 1，y1,3= 1，y3,7= 1，y7,8= 1，y8,11= 1，y11,13= 1，其余決策變量結(jié)果為 0，最優(yōu)值176.1 億元。如果不考慮車(chē)站覆蓋約束，求解結(jié)果為：x1= 1，x3= 1，x6= 1，x13= 1，y1,3= 1，y3,6= 1，y6,13= 1，其余變量結(jié)果為 0，最優(yōu)值為 140 億元。上述 2 種求解結(jié)果的城際鐵路走向圖如圖5 所示。

由圖5 可知，在不考慮車(chē)站覆蓋約束和繞道率約束的前提下，需要設(shè)置車(chē)站的城市為 1，3，6，13，與圖論中最短路求解結(jié)果相同，此時(shí)修建城際鐵路及車(chē)站費(fèi)用之和最小為 140 億元，但多數(shù)城市居民無(wú)法享受城際鐵路帶來(lái)的便利?？紤]車(chē)站覆蓋約束后，求解結(jié)果發(fā)生變化，需要設(shè)置車(chē)站的城市為 1，3，7，8，11，13，總費(fèi)用最小為 176.1 億元，其中在城市 8 修建車(chē)站可以覆蓋城市 4，5，8，9，10，因?yàn)槌鞘?3 和城市 8 之間無(wú)法直接修建城際鐵路，只有通過(guò)城市 7。

如果將城市 3 與 6 之間城際鐵路的修建費(fèi)用提高到 100，在不考慮車(chē)站覆蓋約束的前提下，利用本模型借助 lingo 11.0 在 1 s 內(nèi)實(shí)現(xiàn)求解，根據(jù)求解結(jié)果可知需要設(shè)置車(chē)站的城市為 1，5，7，11，13，總費(fèi)用為 144.5 億元?？梢?jiàn)，所構(gòu)建的模型對(duì)于求解此類(lèi)問(wèn)題具有準(zhǔn)確性和有效性。

圖5 2 種模型求解結(jié)果的城際鐵路走向圖Fig.5 Inter-city railway stations course planning with two results of model solving

4 結(jié)束語(yǔ)

我國(guó)城際鐵路已經(jīng)進(jìn)入規(guī)劃設(shè)計(jì)和施工建設(shè)的高峰期，而設(shè)站城市選擇是城際鐵路規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí)的重要因素之一。首先利用圖論中的最小樹(shù)原理給出設(shè)站城市選擇的多種方案，并且對(duì)不同設(shè)站方案從鐵路建設(shè)成本、城市覆蓋情況、線(xiàn)路繞道率、列車(chē)運(yùn)營(yíng)組織難度等方面進(jìn)行定性評(píng)價(jià)，對(duì)設(shè)站城市選擇問(wèn)題進(jìn)行描述，然后對(duì)設(shè)站城市選擇構(gòu)建以修建城際鐵路及城際鐵路車(chē)站工程的總費(fèi)用最低為優(yōu)化目標(biāo)的 0-1 規(guī)劃模型，最后設(shè)計(jì)算例應(yīng)用模型，通過(guò)相關(guān)參數(shù)的變化及其求解結(jié)果，驗(yàn)證了模型的有效性和準(zhǔn)確性，對(duì)城際鐵路設(shè)站城市選擇具有參考價(jià)值。

[1] 李 松，劉力軍，白 洋. 鐵路車(chē)站站點(diǎn)設(shè)置對(duì)縣域交通可達(dá)性的影響分析[J]. 鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì)，2017，39(7)：77-82.LI Song，LIU Li-jun，BAI Yang. Analysis on Influence of Railway Stations Setting on County-level Traf fi c Accessibility[J].Railway Transport and Economy，2017，39(7)：77-82.

[2] 朱曉寧，席江月. 基于熵權(quán)-TOPSIS 的城際鐵路客運(yùn)站選址研究[J]. 鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì)，2013，35(10)：32-36.ZHU Xiao-ning，XI Jiang-yue. Study on Location of Intercity Railway Passenger Station based on Entropy Weighting-TOPSIS[J]. Railway Transport and Economy，2013，35(10)：32-36.

[3] 張?zhí)靷?，?磊，高桂鳳. 鐵路客運(yùn)站選址模型[J]. 交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào)，2011，11(5)： 83-87，92.ZHAO Tian-wei，NIE Lei，GAO Gui-feng. Location Model of Railway Passenger Station[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering，2011，11(5)：83-87，92.

[4] 楊 宇，陳 剛，鄭才輝. 城際鐵路新建客運(yùn)站研究[J].鐵道工程學(xué)報(bào)，2007(10)：65-68.YANG Yu，CHEN Gang，ZHENG Cai-hui. Research on the Newly-built Passenger Station of Intercity Railway[J].Journal of Railway Engineering Society，2007(10)：65-68.

[5] 楊 宇，陳 剛，袁光明. 城際鐵路車(chē)站設(shè)置模式研究[J].鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì)，2007，29(9)：11-14.YANG Yu，CHEN Gang，YUAN Guang-ming. Research on Establishment Mode of Intercity Railway Station[J]. Railway Transport and Economy，2007，29(9)：11-14.

[6] XU Xiao-ling，MA Li-li，GUO Da-gang，et al. Discussion on Design of Egress in Underground Inter-city Railway (UIR)Station in China[J]. Procedia Engineering，2014(71)：7-15.

[7] 雒繼峰. 鐵路歷經(jīng)城市設(shè)站的一般模式分析[D]. 西安：長(zhǎng)安大學(xué)，2005.LUO Ji-feng. The General Pattern Analysis of the Railroad Crossing through the City Sets up a Station[D]. Xi’an：Chang’an University，2005.

[8] 陳 卓. 城際鐵路規(guī)劃方案研究[J]. 鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì)，2013，35(3)：35-39.CHEN Zhuo. Research on Inter-city Railway Programming[J].Railway Transport and Economy，2013，35(3)：35-39.

[9] 張?zhí)靷?，顏月? 鐵路網(wǎng)規(guī)劃的圖示法[J]. 鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì)，2007，29(1)：87-89.ZHANG Tian-wei，YAN Yue-xia. Graphic Presentation of Railway Network Planning[J]. Railway Transport and Economy，2007，29(1)：87-89.