基于雙層規(guī)劃模型的京滬高速鐵路票價研究

雷 蕾，朱加發(fā)，周 茵，王懷相

（1.中國鐵道科學(xué)研究院研究生部，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院運輸及經(jīng)濟研究所，北京100081）

0 引言

隨著鐵路市場化改革進程的推進，高速動車組列車實行市場化定價成為必然趨勢。自 2016 年 1 月1 日起高速鐵路動車組列車票價放松管制以來，除新建客運專線實行新運價外，中國鐵路總公司對已經(jīng)開通的海南環(huán)島高速鐵路及東南沿海高速鐵路動車組列車票價進行了調(diào)整，但總體票價改革較為緩慢。2017 年 4月，中國鐵路總公司下發(fā)的《中國鐵路總公司關(guān)于建設(shè)京滬高鐵標準示范線的指導(dǎo)意見》提出：有序推進京滬高速鐵路標準示范線建設(shè)，努力創(chuàng)建世界一流水平高速鐵路。京滬高速鐵路應(yīng)充分利用國家對高速鐵路票價管理的新政策，加強市場化定價理論研究，建立市場化票價體系，有利于提升高速鐵路競爭力、增加鐵路運營效益，為高速鐵路票價市場化提供研究支撐。

目前我國學(xué)者對鐵路定價方法的研究多數(shù)從運輸企業(yè)角度出發(fā)，以提高企業(yè)盈利水平為目標，其中雙層規(guī)劃模型在旅客運輸定價方面的理論研究取得一定成效。四兵鋒等[1]建立了以運輸企業(yè)利潤最大化和旅客廣義出行費用最小化為上下層的雙層規(guī)劃模型，通過啟發(fā)式靈敏度分析法求解，并輔以算例驗證了模型的有效性。陳建華等[2]為解決不同速度等級普通旅客列車及其他交通運輸方式的競爭對客運專線的影響，構(gòu)建了具有彈性需求特點的雙層規(guī)劃模型并對其進行求解。劉玉敬[3]通過測算運輸市場細分條件下的不同旅客廣義出行費用，構(gòu)建了基于旅客出行選擇行為的高速鐵路客票定價模型，并驗證了模型的有效性和合理性。劉立榮[4]通過對傳統(tǒng)客票定價方法的優(yōu)劣進行分析，結(jié)合旅客時間價值因素構(gòu)建定價模型，以京津城際鐵路、武廣客運專線、京滬高速鐵路為例進行實證研究。程謙[5]運用雙層規(guī)劃模型優(yōu)化城際動車組列車客票價格，對滬寧城際鐵路日收益率進行了計算。袁任[6]基于不同?？空痉桨浮⒙每偷竭_率和客票銷售規(guī)則等因素，以企業(yè)收益最大化為上層、Logit 模型選擇客流分配為中層和客票銷售規(guī)則流程為下層建立三層規(guī)劃優(yōu)化模型，進行模型求解的同時檢驗算法的收斂性及穩(wěn)定性。姜達[7]從不同運輸方式旅客票價、客運收入和客運量的角度出發(fā)，建立雙層規(guī)劃票價優(yōu)化模型，并采用改進粒子群的雙層迭代算法對模型進行求解。為此，基于市場環(huán)境下不同運輸方式之間的競爭，采用雙層規(guī)劃模型對京滬高速鐵路市場化定價進行實證分析，并提出相關(guān)發(fā)展建議。

1 高速鐵路旅客票價制定雙層規(guī)劃模型的建立

雙層規(guī)劃模型考慮了上下層決策者在追求利益過程中的作用及表現(xiàn)，并依據(jù)對方的反應(yīng)而做出決策。其中，運輸企業(yè)為上層決策者，旅客為下層決策者。運輸企業(yè)可以通過政策或管理改變服務(wù)和運輸成本來影響旅客的出行選擇行為，基于運輸企業(yè)和旅客 2 個方面分析，采用雙層規(guī)劃模型對旅客票價制定過程進行描述，得出運輸企業(yè)在供需均衡狀態(tài)的最優(yōu)票價。

1.1 模型構(gòu)建

雙層規(guī)劃模型包含上、下 2 層規(guī)劃模型，其中上層問題是以下層問題為約束條件的規(guī)劃問題。針對運輸定價問題，上層規(guī)劃模型可以描述為不同運輸方式的企業(yè)運營效益最大化，下層規(guī)劃模型可以描述為不同運輸方式均衡配流狀態(tài)下的旅客廣義出行費用最小化。其中，以運輸企業(yè)效益最大化為目標函數(shù)的上層規(guī)劃模型[8]為

式中：R為各種運輸方式的運營總利潤；qk為第k種運輸方式的客運量；pk為第k種運輸方式的票價；ck為第k種運輸方式的單位旅客運輸成本；pkmin，pkmax分別為旅客運輸?shù)钠骄鶈挝贿\輸成本和最高限價；k為旅客運輸方式；K為不同交通運輸方式的集合。

旅客在實際出行過程中，總是愿意選擇廣義費用最小的出行方式，最終達到用戶均衡狀態(tài)[9-10]，則基于旅客選擇行為的下層規(guī)劃模型為

式中：Z為 OD 間不同運輸方式下的旅客廣義出行費用之和；f(x) 為 OD 間第k種運輸方式的廣義費用函數(shù)；Qk為 OD 間不同運輸方式的總客運量。

采用對數(shù)函數(shù)形式描述廣義費用函數(shù)[11]

式中：Vk第k種交通運輸方式能夠觀測到的效用值。

影響旅客出行方式選擇的因素較多，主要有經(jīng)濟性、快速性、便捷性、舒適性、安全性、準時性及個人偏好等。由于準時性和個人偏好等因素對效用值影響較小，而且難以量化，因而主要考慮前 5個因素對廣義費用的影響。經(jīng)濟性費用為旅客出發(fā)和達到城市市內(nèi)銜接交通工具，以及 OD 間所選交通方式的費用之和；快速性費用為旅客乘坐第k種交通工具過程中所花費的時間乘以旅客的平均單位時間價值；便捷性費用主要考慮旅客在選擇某種運輸方式過程中乘坐市內(nèi)銜接交通工具時間、購票時間、車站排隊等待時間、不同交通運輸方式之間的中轉(zhuǎn)時間及列車開行密度等因素；舒適性費用表現(xiàn)為不同運輸方式旅客恢復(fù)疲勞所需時間與旅客時間價值的乘積；安全性效用為影響效用函數(shù)整體的因素，采用乘法原則表示，當(dāng)安全性與其他服務(wù)屬性同時較優(yōu)時，總體效用才表現(xiàn)最優(yōu)。不同運輸方式的可觀測費用是效用函數(shù)值的相反數(shù)。

因此，建立的可觀測費用函數(shù)形式為

式中：ω1，ω2，ω3，ω4分別經(jīng)濟性、快速性、便捷性和舒適性的權(quán)重系數(shù)；Pk，F(xiàn)k，Tk，Ak和Sk分別表示經(jīng)濟性費用、快速性費用、便捷性費用、舒適性費用和安全性效用。

OD 間的客運需求量受城市發(fā)展水平、人口規(guī)模、居民收入水平等因素影響，通常采用的需求函數(shù)形式如下。

式中：Qmax為 OD 間客運需求總量；AO，BD是 OD點兩端節(jié)點的相關(guān)參數(shù)；h(μ) 是關(guān)于旅客出行費用μ的單調(diào)遞減函數(shù)。

1.2 模型轉(zhuǎn)化

上層規(guī)劃模型考慮了不同運輸方式客運市場需求的分擔(dān)模式，可以用來解決 OD 間不同運輸方式單一運營企業(yè)客運產(chǎn)品的定價問題，因而客運市場中第k種運輸方式下運輸企業(yè)總的利潤為

式中：Rk為 OD 間第k種運輸方式的運營總利潤。

旅客出行需求總量總是隨著廣義費用的變化而變化，但其大小受各種運輸方式運輸能力的限制，考慮該需求彈性問題，則下層規(guī)劃模型可以轉(zhuǎn)化為具有能力約束的需求彈性模型。

式中：D-1(x) 為需求函數(shù)的反函數(shù)；Ck為第k種交通運輸方式的運輸能力。

通過引入超量需求法，將原彈性需求問題轉(zhuǎn)換為固定需求問題[12]。假設(shè)Qmax表示參與市場競爭的各種運輸方式的運輸能力之和，空余能力e可以表示為

通過定積分換元法[13]可以將下層旅客選擇目標函數(shù)轉(zhuǎn)換為

擴展反函數(shù)D-1(Q)，建立超量變量e的廣義費用函數(shù)R(e)

結(jié)合擴展函數(shù)，目標函數(shù)最終改進為

假設(shè)在 OD 點之間增設(shè)一條虛擬運輸方式，且客流量為e，則參與競爭的運輸方式由K種增加為K+ 1 種，當(dāng)各種運輸方式之間的客流量達到均衡狀態(tài)時，其目標函數(shù)可以表示為

通過對上述模型進行求解，即可獲得在既定決策目標下的高速鐵路最優(yōu)票價。

2 高速鐵路旅客票價制定雙層規(guī)劃模型求解

利用靈敏度分析法求解雙層規(guī)劃模型，將下層決策變量對上層決策變量的反應(yīng)函數(shù)q(p) 進行簡化，對不同交通運輸方式客運量與旅客票價進行求導(dǎo)，并通過泰勒展開式對反應(yīng)函數(shù)進行線性近似，進而求解雙層規(guī)劃模型。

首先將雙層規(guī)劃下層模型中的用戶均衡配流問題通過變分不等式[12]表示。

式中：q∈ {q|Q=HTq，q≥0}；HT為關(guān)聯(lián)矩陣；q*表示下層規(guī)劃模型的均衡解。

將旅客票價p作為變分不等式的擾動項，同時其他影響因素如快速性、舒適度、便捷性等均保持不變。q*(p) 為p的函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為

式中：所有q∈ (q(p) |Q=HTq(p)，q(p)≥0)。

如果變分不等式在p=p(0)時有唯一解，此時引入拉格朗日乘子向量μ，則p=p(0)時的必要條件為

令y(p) = [q*(p)，μ(p)]T，用Jy(p) 表示對于p的雅各比矩陣，則有

假設(shè)p*1(0)為 OD 對間鐵路旅客票價的初始值，且其他交通運輸方式的票價為固定不變，即可以通過對下層模型求解得到 OD 對間鐵路旅客運量q*1(0)(p*1(0))，并求出鐵路客運量對票價的偏導(dǎo)數(shù)?q1/ ?p1，通過泰勒展開式即可得到反應(yīng)函數(shù)q(p) 的線性近似形式。

將其代入上層規(guī)劃模型，則上層問題轉(zhuǎn)化成為非線性優(yōu)化問題，上層問題的最優(yōu)解即最優(yōu)票價。

模型求解具體步驟如下[14]。

步驟 1：初始化。確定各運輸方式的初始票價{pk(0)|k∈K+ 1}、廣義費用函數(shù)相關(guān)參數(shù)、虛擬運輸方式的反需求函數(shù)形式、平均客運成本和需求上限Qmax等，并記迭代次數(shù)j= 0，設(shè)定迭代精度ε*。

步驟 2：在 {pk(j)|k∈K+ 1} 的條件下 (虛擬運輸方式無需定價)，求解下層規(guī)劃模型，得到客運量分配方案 {|k∈K+ 1}，包括用戶均衡配流模型的均衡解{}。

步驟 3：用靈敏度分析法求出第k種運輸方式的客運量對擾動參數(shù) (鐵路客運價格) 的導(dǎo)數(shù) ?qk/ ?pk(k∈K+ 1)，求出反應(yīng)函數(shù)的線性近似表達式。

步驟 4：將反應(yīng)函數(shù)代入上層規(guī)劃模型，采用非線性優(yōu)化求解算法得到新的鐵路客運價格{p1(j+1)|k∈K+ 1}，求解時需避免所求解為上層目標函數(shù)的局部最優(yōu)解。

步驟 5：收斂判斷。若 |p1(j+1)-p1(j)|≤ε*，滿足迭代精度要求，則算法停止；否則令j=j+ 1，返回步驟 2 繼續(xù)迭代，直至滿足迭代精度要求。

3 實例分析

以京滬高速鐵路 (北京南—上海虹橋) 為例，通過雙層規(guī)劃模型對市場競爭條件下的高速鐵路票價制定過程進行探討，對其二等座執(zhí)行票價水平進行測算?？紤]該 OD 間主要存在高速鐵路、普通旅客列車、民航 3 種運輸方式的競爭，各運輸方式的旅客廣義費用函數(shù)形式f(qk) 為

式中：k= 1，2，3，分別代表高速鐵路、普通旅客列車和民航 3 種運輸方式；β為待定參數(shù)，Vk為第k種交通運輸方式的效用函數(shù)。

假設(shè) OD 間總運輸需求量上限已知且為固定值，且普通旅客列車和民航票價水平及服務(wù)屬性不變，各種交通運輸方式的屬性參數(shù)如表1 所示。

表1 各種交通運輸方式的屬性參數(shù)Tab.1 Attributes parameters for different transport modes

其中，p1為高速鐵路單位里程運價率，其范圍為 0.308 6～0.73 元/人公里，0.308 6 元/人公里為速度 200 km/h 動車組列車二等座公布票價率，0.73元/人公里取全路高速鐵路最高運價率，即廣深鐵路單位里程運價率；以無空調(diào)普通旅客列車硬座票價率 0.058 61 元/人公里為基準，北京至上海特快空調(diào)列車硬座票價水平為 177.5 元；民航票價為中國國際航空公司、中國東方航空公司和中國南方航空公司三大航空公司北京至上海 2017 年 11 月經(jīng)濟艙最低平均票價 645.25 元 (含國內(nèi)航線機場建設(shè)費 50元)；北京至上海高速鐵路、普通旅客列車及民航平均花費時間分別為 5.52 h、15.13 h、2.29 h；高速鐵路、普通旅客列車和民航兩端中轉(zhuǎn)時間分別取 1.4 h、1.0 h、2.4 h；時間價值取 2016 年北京和上海職工平均工資 42.46 元/h；同時進行舒適性費用計算[15]。

OD 對之間的廣義費用權(quán)重系數(shù)如表2 所示。

表2 OD 對之間的廣義費用權(quán)重系數(shù)Tab.2 Generalized cost weighting coefficients between OD pairs

假設(shè)D-1(Qk) = 1 000-0.1Qk，Qmax= 10 000 人/次，得到虛擬運輸方式的阻抗函數(shù)f4(q4) = 0.1q4，靈敏度分析的迭代精度ε*= 0.000 1。利用 Matlab2015b軟件中的非線性優(yōu)化求解函數(shù)對雙層規(guī)劃模型進行求解，將高速鐵路票價的初始值分別設(shè)為 0.5，0.6和 0.7，雖然迭代次數(shù)不同，但最優(yōu)解都為 0.483 8元/人公里。

通過求解雙層模型，得出北京至上海高速鐵路二等座單位里程運價率最優(yōu)為 0.483 8 元/人公里，此時票價為 637.7 元，高速鐵路市場分擔(dān)比例為51.42%。考慮到鐵路現(xiàn)場實際售票過程實際，對模型結(jié)果取整為 640 元。北京至上海高速鐵路二等座640 元票價與現(xiàn)行票價水平相比，漲幅達到 15.7%，結(jié)合北京及上海職工 2016 年工資水平及運輸市場競爭環(huán)境，高速鐵路的票價在合理范圍內(nèi)。

4 結(jié)束語

基于運輸企業(yè)利潤最大、旅客廣義費用最小為目標，建立考慮旅客均衡配流的雙層規(guī)劃模型，利用靈敏度分析法對模型進行求解，并以北京至上海高速鐵路二等座票價為例進行測算，得出最優(yōu)票價。對于高速鐵路，一是應(yīng)優(yōu)化票價結(jié)構(gòu)，構(gòu)建多級票價體系，調(diào)整當(dāng)前單一化的票價水平結(jié)構(gòu)，構(gòu)建基于服務(wù)質(zhì)量、列車速度等級、運營時段、市場競爭等因素的差異化票價體系，依據(jù)市場變化及時調(diào)整高速鐵路執(zhí)行票價水平，以實現(xiàn)利益最大化，引導(dǎo)運輸市場合理分工、優(yōu)化資源配置，實現(xiàn)企業(yè)健康可持續(xù)發(fā)展；二是豐富票種形式，實行票價優(yōu)惠策略，基于有效的運輸市場細分，構(gòu)建旅客出行數(shù)據(jù)庫，建立與旅客相關(guān)的票價優(yōu)惠形式，實行常旅客優(yōu)惠、預(yù)訂車票優(yōu)惠、空鐵/地鐵聯(lián)程優(yōu)惠等豐富多變的票價策略，以滿足不同層次人群出行服務(wù)需求。

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