無損線終端接任意負載暫態(tài)響應分析

齊 超， 徐漢卿， 黃奕毅， 吳 婷

(哈爾濱工業(yè)大學 電氣學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

近年來，隨著電力系統(tǒng)傳輸距離的不斷增加，規(guī)模的不斷擴大及超大集成電路的快速發(fā)展，傳輸線暫態(tài)響應的研究受到越來越多的關(guān)注。從傳輸線方程入手，利用數(shù)學工具和計算機技術(shù)，已有文獻采用數(shù)值求解方法分析了傳輸線暫態(tài)問題[1-2]，但在如何求取解析解方面研究較少。文獻[3][4]提出了一種運用卷積定理較為系統(tǒng)的復頻域分析法來獲得無畸變傳輸線的暫態(tài)響應，但是文中所提的遞推方法求解最終響應，較為復雜繁瑣。

在“電路理論基礎(chǔ)”均勻傳輸線學習中可知，行波可以很好地描述階躍電源在均勻線上的傳輸過程。當無損線始端接通激勵源后，電壓/電流正向行波均由始端向終端推進。當正向行波傳播到負載端、兩不同線路的接頭處、線路的分支處或接有集中參數(shù)元件處等，都會產(chǎn)生波的反射。書中討論了均勻線終端開路、短路、匹配及一階RC(或RL)等一般性負載情況[5]。對于行波在第一次傳輸?shù)截撦d時，用彼得生法則結(jié)合三要素方法能夠較好地分析終端負載電壓電流解析解。然而，這也只能求解行波第一次到終端時的情況，對于后面的多次傳輸反射的情形卻無法處理。另外，三要素法更多只適用于負載僅有一個電容或電感。對于含有多個動態(tài)元件情形，彼得生法則在分析階躍電源的暫態(tài)過程上具有較大的局限性。

本文對無損均勻線暫態(tài)響應進行研究，提出了基于“附加電源”求解每一時間段終端暫態(tài)響應的通用新方法，為分析復雜負載情況下均勻線傳輸過程提供了理論依據(jù)和實驗驗證。

1 均勻傳輸線

1.1 傳輸線方程及其解

均勻傳輸線作為分布參數(shù)電路，各處電壓與電流均是關(guān)于時間和位置的函數(shù)，其偏微分方程表達式如下[5]：

(1)

式中，R0、L0分別為單位長度均勻線(往返)上電阻 (SI單位：Ω/m)、電感(SI單位：H/m)；G0、C0分別為單位長度兩線間電導 (SI單位：S/m)、電容 (SI單位：F/m)。對于一定的均勻線，它們都是常量，但R0和G0并非互為倒量。

對于無損均勻線，R0=0、G0=0，根據(jù)拉普拉斯變換的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)，式(1)表達為

(2)

這是一組關(guān)于x的常微分方程，其通解為

(3)

根據(jù)拉普拉斯反變換的線性性質(zhì)和延遲性質(zhì)，對應沿線電壓、電流時域解為

u(x,t)=u′(t-x/v)ε(t-x/v)+u″(t+x/v)ε(t+x/v)=u+(x,t)+u-(x,t)

(4)

式中ε(·)是單位階躍函數(shù)?？梢?，均勻傳輸兩線間的電壓等于正向和反向行波電壓之和，電流等于正向與反向行波電流之差。

1.2 行波的多次反射

電壓、電流在均勻傳輸線上是以速度不變的行波方式傳播的，當無損均勻線終端和始端都不匹配時，兩端都要產(chǎn)生反射波，形成多次反射。設(shè)圖1中無損線為零初始狀態(tài)，其波阻抗為Zc，線長為l。

圖1 終端和起端都不匹配的無損均勻線

始端接電源電壓uS=USε(t)、內(nèi)阻Rs≠Zc，終端負載阻抗ZL≠Zc。設(shè)始端反射系數(shù)N1與終端反射系數(shù)N2分別為

(5)

圖2示意了此傳輸線中電壓行波多次反射的過程

圖2 傳輸線電壓行波多次反射示意圖

由此可見，當

(2k+1)td

時，終端電壓表達式

(6)

式中U+是始端入射電壓，表達式為

2 電路模型與仿真分析

2.1 RC負載模擬電路分析

圖1所示為終端和始端都不匹配的無損均勻線，設(shè)激勵電源為階躍電源uS=10ε(t) V。內(nèi)阻RS為50 Ω。無損均勻傳輸線波阻抗Zc為200 Ω，電流從一端傳到另一端的傳輸時間為0.1 μs。負載電容C為1 nF。電阻RL為50 Ω。下面分析電容兩端電壓uC隨時間t的變化情況。

由于電容的u-i關(guān)系是非線性的，不能直接應用行波傳輸公式。因此對電路中所有元件進行拉式變換使其轉(zhuǎn)為線性，對應復頻域下電源、源內(nèi)阻、波阻抗、電容、負載電阻的計算值分別為10/s、50、200、109/s、50。具體分析過程如下：

(1) 當時間為[0 μs,0,1 μs]時，行波還沒有傳輸?shù)诫娙萆?，因此uc為0不變。

(3) 當時間在[0.3 μs,0.5 μs]時，行波將第二次傳到電容上。對于左側(cè)的電源US來說，它對這一過程的貢獻也以行波發(fā)生反射表達，反射系數(shù)為N1。所以此時電容兩端的電壓為U21=(1+N2)(1+N1N2)U+。

以后乃至更多時間段的行波傳輸都是類似的，但是需要引起注意的是，由于電容在每段傳輸對應的電壓初值都不同，所以其在拉氏變換下等效出的計算電壓值也不同。也就是說，每隔0.2 μs就要更換“附加電源”，因此每一傳輸時段內(nèi)附加電源產(chǎn)生的行波只有一次。沿線任意處電壓、電流響應是由始端激勵源的貢獻和電容附加電源一次作用的合成。

2.2 RC負載仿真分析

對圖1所示終端和始端都不匹配的無損均勻線Matlab理論分析計算結(jié)果如圖3所示。

由圖3可見，在[0 μs,0.1 μs]時段，電容電壓為零狀態(tài)響應，表達式為u(t)=A(1-e-t/τ)，A為一確定的常數(shù)，圖像為指數(shù)形狀。uC以速率減小的方式不斷增大并趨于穩(wěn)定。

圖3 負載電壓理論計算結(jié)果

在[0 .1μs,0.3 μs]時段，激勵電壓源US的行波再次傳輸過來，破壞了第一時段的穩(wěn)定狀態(tài)。由于電容電壓具有連續(xù)的特點，因此后一段的起點與前一段的終點在0.3 μs處重合，并繼續(xù)開始充電。這時電容兩端電壓有兩個來源，一個為始端激勵源US，其產(chǎn)生的響應分量還是零狀態(tài)，以速率減小的方式增長并趨于穩(wěn)定，表達式為u1(t)=B(1-e-(t-t0)/τ)；另一個為“附加電源”，其產(chǎn)生的響應為零輸入過程，響應分量以速率不斷減小的方式變化，同樣趨于穩(wěn)定，表達式為u2(t)=Ce-t/τ，B、C均為確定常數(shù)。前者響應不斷增大，后者響應不斷減小，其合成響應為先增大，達到區(qū)段極值后減小，最后趨于穩(wěn)定。以后乃至更多時間段的傳輸過程都是類似重復，在此不再贅述。

用ORCAD進行電路仿真，其模型如圖4所示，實驗結(jié)果如圖5所示。

對比圖3可見，理論計算的uC(t)與仿真實驗結(jié)果形狀、數(shù)值等都吻合得很好，當時間趨于無窮時，兩個圖像的電壓最終都趨于5 V。這相當于將傳輸線等效為集中參數(shù)理想導線時的結(jié)果，也再次驗證了文中提到的觀點：在階躍激勵下，電容儲能并激發(fā)出了“附加電源”，不同時段上的，“附加電源”的一次行波和始端激勵源的行波作用共同影響了終端負載的電壓。

2.3 RLC負載電路分析與仿真

將負載再加上一個電感線圈，大小為10 μH，仿真電路如圖6所示。

圖4 RC負載的仿真電路

圖5 仿真結(jié)果

圖6 RLC負載電路圖

由于引入了同樣具有儲能本領(lǐng)的電感，第二次行波傳輸以及后面的傳輸，負載區(qū)相當于兩個“附加電源”，我們每計算一時間段傳輸過程，都需要以前一段暫態(tài)分析的電容電壓uC和電感電流iL作為基礎(chǔ)。

圖7和圖8分別為Matlab下理論計算和在ORCAD下實驗仿真的電容電壓隨時間變化結(jié)果。

可見兩個曲線吻合很好，再次驗證了本文提出的儲能元件具有“附加電源”功能，此分析方法具有通用性，即適用于任意線性負載。

3 結(jié)語

本文對均勻傳輸線終端接任意負載時的傳統(tǒng)解析求解提出了一種新思路，即用“附加電源”計算負載內(nèi)部儲能元件產(chǎn)生的響應分量。利用拉普拉斯變換使電源、負載等電路元件在復頻域下都具有線性性質(zhì)，從而轉(zhuǎn)化為線性電路分析。(齊 超等文)

圖7 RLC負載電路理論計算結(jié)果

圖8 RLC負載電路仿真實驗結(jié)果

然后在線性條件下利用行波方程解及分析多次反射的相關(guān)原理，分時段求解電源和負載內(nèi)儲能元件產(chǎn)生的響應分量，最后應用疊加定理得到總響應。利用拉普拉斯反變換代替?zhèn)鹘y(tǒng)的時域卷積法，進一步優(yōu)化了求解過程。最終通過仿真驗證了這種新思路的正確性。

本文通過對傳輸過程進行分段研究，最后得到了精確的解析解，為傳輸線的設(shè)計、分析提供了理論依據(jù)，具有一定的現(xiàn)實指導作用。

[1] J A Roden, C R Paul, W T Smith. Finite difference time domain analysis of lossy transmission lines [J]. IEEE Trans. On Electromagnetic Compatibility, 1996, 38(1): 15-24.

[2] 盧斌先,王澤忠,程養(yǎng)春. 基于拉氏反變換的傳輸線耦合電流半解析解[J]. 北京:電網(wǎng)技術(shù), 2007,31 (14):52-56.

[3] 孫韜,侯世英,伍小兵.一種計算無損傳輸線上電壓電流解析解的方法. [J]. 南京:電氣電子教學學報, 2008,30 (3):20-22.

[4] 孫韜, 侯世英. 無畸變傳輸線接電感負載時的波過程及算法分析[J]. 廣州:電路與系統(tǒng)學報,2011,16 (1):47-51.

[5] 孫立山，陳希有.電路理論基礎(chǔ)(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2016,3: 366-372.