振動的等效力傳遞路徑分析方法研究

潘運(yùn)平，顏為光，王 飛

（武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070）

1 引言

經(jīng)典傳遞路徑分析（Transfer Path Analysis，TPA）方法已被證明是一種分析振動的可靠方法，并在機(jī)床、汽車、船舶、飛機(jī)等領(lǐng)域的振動問題中被廣泛應(yīng)用[1-2]。對于振動問題，經(jīng)典TPA法一般首先拆解系統(tǒng)獲得振源激勵-響應(yīng)傳遞函數(shù)，然后獲得工況激勵，最后計(jì)算不同振源的貢獻(xiàn)。由于實(shí)際中振源及安裝結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，工況激勵的準(zhǔn)確獲取非常困難。同時，拆解系統(tǒng)的工作非常繁瑣耗時。

假設(shè)一組作用于靜止?fàn)顟B(tài)下系統(tǒng)中激勵源與結(jié)構(gòu)連接處的等效力，可以在結(jié)構(gòu)中重構(gòu)出與系統(tǒng)工況運(yùn)行時相同的響應(yīng)，則可以利用這組等效力表征激勵源[3-5]。針對經(jīng)典TPA法研究振動問題時的激勵力測量和系統(tǒng)拆解問題，在經(jīng)典TPA法中對每個振源均引入一組作用于該振源與結(jié)構(gòu)連接處的等效力代替激勵力以改進(jìn)經(jīng)典TPA法。由于等效力的計(jì)算涉及導(dǎo)納矩陣求逆問題，使用正則化方法來解決求逆時易出現(xiàn)的病態(tài)問題。搭建電機(jī)工作平臺并進(jìn)行振動實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果證明了正則化方法解決導(dǎo)納矩陣病態(tài)問題的可行性及改進(jìn)方法即振動的等效力傳遞路徑分析方法預(yù)測振動響應(yīng)和計(jì)算振源貢獻(xiàn)的準(zhǔn)確性。

2 經(jīng)典TPA法理論

2.1 經(jīng)典TPA法

傳遞路徑研究系統(tǒng)的傳遞特性[6]，對于振動問題，經(jīng)典TPA法的理論如下：

式中：Fi—振源激勵力；Hi—傳遞函數(shù)；a—目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)；FiHi—第i個振源對目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)的貢獻(xiàn)[7]。需要注意：式（1）計(jì)算過程每次都是在單個頻率點(diǎn)進(jìn)行的。

經(jīng)典TPA法的一般步驟為：首先拆解系統(tǒng)并施加人工激勵以直接測量或利用互易法間接測量振源激勵力到目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)的傳遞函數(shù)；然后通過直接法或間接法獲得工況激勵力。之后即可按照式（1）預(yù)測目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)和計(jì)算源的貢獻(xiàn)[8]。其中，獲得工況激勵的常用方法有直接測量法、懸置剛度法及逆矩陣法[9]。

2.2 經(jīng)典TPA法的局限性

經(jīng)典TPA方法雖然結(jié)果可靠，但是也存在一些局限性：（1）實(shí)際的振源及安裝結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，因此準(zhǔn)確獲取工況激勵力較為困難。（2）獲取傳遞函數(shù)時需要拆解系統(tǒng)，繁瑣耗時。同時拆解實(shí)際上改變了系統(tǒng)工況運(yùn)行時的邊界條件，而實(shí)際系統(tǒng)多少存在一定的非線性，因此會引起一定的誤差。

3 振動的等效力傳遞路徑分析方法

3.1 利用等效力表征振源改進(jìn)經(jīng)典TPA法

除了用激勵力表征激勵源外，還可以尋找一組作用于靜止?fàn)顟B(tài)下系統(tǒng)中激勵源與結(jié)構(gòu)連接處的等效力來表征，要求是等效力可以使系統(tǒng)產(chǎn)生與系統(tǒng)工況運(yùn)行時相同的響應(yīng)[4-5]。

針對經(jīng)典TPA法研究振動問題時激勵力實(shí)時測量困難以及系統(tǒng)拆解工作繁瑣問題，在經(jīng)典TPA法中引入等效力代替?zhèn)鹘y(tǒng)激勵力，即對每個振源都用一組作用于振源與結(jié)構(gòu)連接處的等效力表征，然后按照與經(jīng)典TPA法類似的步驟預(yù)測振動響應(yīng)和計(jì)算振源貢獻(xiàn)，從而形成了改進(jìn)方法，即振動的等效力傳遞路徑分析方法。這不僅解決激勵力實(shí)時測量問題，還避免了拆解系統(tǒng)，因此更加方便可行。具體操作步驟如下：（1）對每個振源，選取分布于該振源與結(jié)構(gòu)連接處若干點(diǎn)作為等效力作用點(diǎn)，即用一組作用于這些等效力點(diǎn)的等效力來表征該振源。為了能夠預(yù)測結(jié)構(gòu)上關(guān)心響應(yīng)點(diǎn)即目標(biāo)點(diǎn)的振動響應(yīng)和計(jì)算不同振源對目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，在結(jié)構(gòu)上選擇若干響應(yīng)點(diǎn)即參考點(diǎn)用于計(jì)算等效力，要求參考點(diǎn)盡量分散，避免集中或?qū)ΨQ，且參考點(diǎn)數(shù)量要大于等效力數(shù)量。（2）通過人工激勵獲得所有等效力點(diǎn)到參考點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的激勵-響應(yīng)傳遞函數(shù)，構(gòu)造加速度導(dǎo)納矩陣。設(shè)某目標(biāo)點(diǎn)振動響應(yīng)為，則目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)與等效力之間的關(guān)系為：

式中：m—系統(tǒng)中振源的數(shù)量；kj—對于第j個振源用kj個等效力來表征，表征不同振源的等效力數(shù)量不一定相同；F（ji）—表征第 j個振源的第 i個等效力；H（ji）—等效力 F（ji）到目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)的傳遞函數(shù)。將式（2）寫成矩陣形式，即：

式中：［H（11）H（12）… H（1k1）… H（mkm）］—目標(biāo)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。

設(shè)參考點(diǎn)振動響應(yīng)為x，則參考點(diǎn)振動響應(yīng)與等效力之間的關(guān)系為：

式中：n—參考點(diǎn)數(shù)量，要求參考點(diǎn)數(shù)量大于或等于等效力數(shù)量，即n≥k1+k2+…+km；xp—第p個參考點(diǎn)的響應(yīng)；kj—表征第j個振源的等效力的數(shù)量；F（ji）—表征第j個振源的第i個等效力—等效力F（ji）到第p個參考點(diǎn)響應(yīng)的傳遞函數(shù)。

式中：H—參考點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。

（2）在工況運(yùn)行條件下，測量結(jié)構(gòu)上參考點(diǎn)響應(yīng)Xope，利用式（5）即可計(jì)算該工況下的等效力為：

式中：Fope—該工況下的等效力，且滿足：然后即可按式（2）預(yù)測目標(biāo)點(diǎn)的響應(yīng)即：

式中：ypre—目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)的預(yù)測值；

3.2 正則化方法解決病態(tài)問題

在利用參考點(diǎn)響應(yīng)求工況激勵時，為了保證參考點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的逆矩陣存在，通常要求參考點(diǎn)數(shù)量大于等效力數(shù)量，則等效力的具體計(jì)算步驟如下[10]：對式（5）中的參考點(diǎn)導(dǎo)納矩陣H進(jìn)行奇異值分解得到：

式中：k—等效力總數(shù)量；k=k1+k2+…+km，U=（u1，…，km）和V=（v1，…，vk）—單位列正交向量矩陣；VT—V的共軛轉(zhuǎn)置矩陣；Σ—對角矩陣，位于對角上的σi為奇異值并且σ1≥…≥σk≥0。

設(shè)r為正奇異值的個數(shù)，若直接用最小二乘法求解等效力，則結(jié)果為：

由于結(jié)構(gòu)模態(tài)以及測量噪聲的影響，H中通常會出現(xiàn)較小的特征值。由式（10）可以看出，由于這些較小的特征值的存在，參考點(diǎn)響應(yīng)Xope中較小的誤差也會在求得等效力Fope中造成較大的誤差，即導(dǎo)納矩陣易出現(xiàn)病態(tài)問題。Tikhonov正則化是目前解算病態(tài)問題應(yīng)用較為普遍的一種方法，因此選用Tikhonov正則化來解決導(dǎo)納矩陣的病態(tài)問題。Tikhonov正則化方法求解等效力的準(zhǔn)則為：

式中：λ—正則化參數(shù)；R—正則化矩陣；· —?dú)W式（2）-范數(shù)。

當(dāng) R=Ik時，根據(jù)式（9）及式（11）可得 Tikhonov正則化方法求得等效力為：

可以看出，Tikhonov正則化方法可以削弱較小奇異值的影響，從而改善原矩陣的不適定性以得到穩(wěn)定的解。確定正則化參數(shù)λ的大小通常用L曲線法或GCV（廣義交叉驗(yàn)證）法，選用L曲線法。L曲線法的合理性在于它強(qiáng)調(diào)殘余范數(shù)||HFope-Xope||與正則化解范數(shù)||Fope||之間的平衡，而這種平衡是通過參數(shù)λ來實(shí)現(xiàn)的。

4 振動的等效力傳遞路徑分析方法驗(yàn)證

4.1 驗(yàn)證試驗(yàn)

為驗(yàn)證正則化方法解決導(dǎo)納矩陣病態(tài)問題的可行性以及振動的等效力傳遞路徑方法的準(zhǔn)確性，設(shè)計(jì)了小型電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)、測點(diǎn)布置以及等效力點(diǎn)選擇

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要由實(shí)驗(yàn)平臺和測試采集系統(tǒng)構(gòu)成。實(shí)驗(yàn)平臺主要是由2個小型直流電機(jī)和1塊（1000×1000×3）mm的鋼板組成。鋼板四個角落通過軟墊由四個剛性支座支撐，兩電機(jī)剛性安裝在鋼板背面，鋼板正面布置加速度測點(diǎn)，鋼板正面和背面電機(jī)布置，如圖1所示。測試采集系統(tǒng)主要包括加速度傳感器、力錘、B＆K采集設(shè)備以PULSELabShop測試軟件，實(shí)驗(yàn)主要儀器，如圖2所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)平臺Fig.1 Experiment Platform

圖2 試驗(yàn)主要儀器Fig.2 Main Test Instruments

設(shè)鋼板背面兩電機(jī)分別為1號和2號電機(jī)，其與鋼板連接位置對應(yīng)鋼板正面區(qū)域分別為#1和#2區(qū)域，則在#1和#2區(qū)域各選擇均勻分布的5個點(diǎn)作為等效力作用點(diǎn)，即對每個電機(jī)各用作用于該電機(jī)與鋼板連接處的5個等效力來表征其激勵，則本實(shí)驗(yàn)中2個電機(jī)一共用了共10個等效力來表征，兩組等效力作用點(diǎn)位置分別如圖3中#1位置和#2位置所示。在鋼板正面隨機(jī)選擇15個點(diǎn)作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)點(diǎn)并安裝加速度傳感器，命名為1號點(diǎn)到15號點(diǎn)，其位置分布，如圖3所示。

圖3 電機(jī)和等效力位置及測點(diǎn)布置示意圖Fig.3 Motors and Equivalent Forces’Positions and Measuring Points’Layout Diagram

4.1.2 實(shí)驗(yàn)過程

設(shè)14號點(diǎn)和15號點(diǎn)為目標(biāo)點(diǎn)，選取1號～13號點(diǎn)為參考點(diǎn)，然后即可進(jìn)行基于振動的等效力傳遞路徑分析方法的電機(jī)平臺振動實(shí)驗(yàn)，具體步驟為：

（1）進(jìn)行力錘敲擊獲取傳遞函數(shù)，在每個等效力點(diǎn)進(jìn)行3次敲擊，經(jīng)平均后計(jì)算出（13×10）維的參考點(diǎn)導(dǎo)納矩陣和兩個（1×10）維的目標(biāo)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；

（2）讓兩個電機(jī)各以一定轉(zhuǎn)速同時運(yùn)行，測量混合運(yùn)行工況下15個測點(diǎn)的響應(yīng)；

（3）按照分布運(yùn)轉(zhuǎn)法讓兩電機(jī)按混合工況時轉(zhuǎn)速各單獨(dú)運(yùn)行3次，測量并經(jīng)平均后計(jì)算單開工況下兩目標(biāo)點(diǎn)的響應(yīng)，將其作為兩電機(jī)對兩目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)貢獻(xiàn)的實(shí)測值。

首先根據(jù)混合工況時參考點(diǎn)響應(yīng)按公式（6）計(jì)算工況等效力，然后按公式（8）計(jì)算兩電機(jī)對目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)的貢獻(xiàn)并預(yù)測兩目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)。將響應(yīng)預(yù)測值與混合工況時實(shí)測值對比，即可驗(yàn)證該方法預(yù)測響應(yīng)是否準(zhǔn)確，將貢獻(xiàn)計(jì)算值與分布運(yùn)轉(zhuǎn)法所得實(shí)測值對比，即可驗(yàn)證振源貢獻(xiàn)計(jì)算是否準(zhǔn)確。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為檢驗(yàn)正則化方法解決導(dǎo)納矩陣病態(tài)問題的效果，在利用振動的等效力傳遞路徑分析方法計(jì)算分析過程中，分別采用直接最小二乘法和Tikhonov正則化方法計(jì)算求解等效力，將最終結(jié)果進(jìn)行對比，其中Tikhonov正則化方法的正則化參數(shù)用L曲線法確定。兩目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)的預(yù)測值與實(shí)測值及兩電機(jī)對兩目標(biāo)點(diǎn)貢獻(xiàn)的計(jì)算值與實(shí)測值的1/3倍頻程幅值譜對比，如圖4～圖9所示。

圖4 14號點(diǎn)響應(yīng)實(shí)測值與預(yù)測值對比Fig.4 Comparison of the Measured and Predicted Value of the 14th Point’s Response

圖5 1號電機(jī)對14號點(diǎn)響應(yīng)貢獻(xiàn)實(shí)測值與計(jì)算值對比Fig.5 Comparison of the Measured and Evaluated Value of No.1 Motor’s Contribution to the 14th Point’s Response

圖6 2號電機(jī)對14號點(diǎn)響應(yīng)貢獻(xiàn)實(shí)測值與計(jì)算值對比Fig.6 Comparison of the Measured and Evaluated Value of No.2 motor’s Contribution to the 14th Point’s Response

圖7 15號點(diǎn)響應(yīng)實(shí)測值與預(yù)測值對比Fig.7 Comparison of the Measured and Predicted Value of the 15th Point’s Response

圖8 1號電機(jī)對15號點(diǎn)響應(yīng)貢獻(xiàn)實(shí)測值與計(jì)算值對比Fig.8 Comparison of the Measured and Evaluated Value of No.1 Motor’s Contribution to the 15th Point’s Response

圖9 2號電機(jī)對15號點(diǎn)響應(yīng)貢獻(xiàn)實(shí)測值與計(jì)算值對比Fig.9 Comparison of the Measured and Evaluated Value of No.2 motor’s Contribution to the 15th Point’s Response

為加深對驗(yàn)證效果的理解，進(jìn)一步求所得結(jié)果在整個頻段的總加速度級計(jì)算誤差，其計(jì)算公式為：

式中：Δ—總加速度級計(jì)算誤差，n為1/3倍頻程數(shù)；

a_pi—在第i個頻程加速度響應(yīng)預(yù)測值或貢獻(xiàn)計(jì)算值；

a_mi—在第i個頻程加速度響應(yīng)或貢獻(xiàn)的實(shí)測值；

g—重力加速度常數(shù)，直接用最小二乘法和用正則化方法求等效力對應(yīng)最終結(jié)果的總加速度級計(jì)算誤差，如表1所示。

表1 兩目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)及兩電機(jī)貢獻(xiàn)的總加速度級計(jì)算誤差Tab.1 The Calculation Error of the Total Acceleration Level of the Two Target Points’Response and the Two Motors’Contributions

從曲線圖來看，運(yùn)用振動的等效力傳遞路徑分析方法預(yù)測振動響應(yīng)時，若使用正則化方法求等效力，則兩目標(biāo)點(diǎn)均是除個別頻點(diǎn)外，在絕大多數(shù)頻段，加速度響應(yīng)的預(yù)測值與實(shí)測值的頻譜吻合得非常好；而直接使用最小二乘法求等效力與正則化方法相比，其在高頻段預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)了較大的誤差。在計(jì)算對目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)貢獻(xiàn)時，若使用正則化方法求等效力，則除個別頻點(diǎn)外，在絕大多數(shù)頻段，兩電機(jī)對兩目標(biāo)點(diǎn)貢獻(xiàn)計(jì)算值均與分部運(yùn)轉(zhuǎn)法獲得的實(shí)測值吻合得較好，但是若直接使用最小二乘方法求等效力，則與正則化方法相比，計(jì)算誤差明顯要大得多。這是由于結(jié)構(gòu)模態(tài)以及測量噪聲的影響，不同等效力作用點(diǎn)獲得的傳遞函數(shù)之間相關(guān)性較大，導(dǎo)納矩陣易出現(xiàn)病態(tài)，所以直接最小二乘法不是良好的計(jì)算方法，而正則化方法通過引入正則化系數(shù)，可以在有效地緩解導(dǎo)納矩陣求逆過程中的不適定問題，提高等效力求解的穩(wěn)定性，所以計(jì)算結(jié)果較為吻合。

從表1來看，使用正則化方法求等效力，振動的等效力傳遞路徑分析方法無論是預(yù)測目標(biāo)點(diǎn)響應(yīng)還是計(jì)算電機(jī)對目標(biāo)點(diǎn)的貢獻(xiàn)，其結(jié)果在整個頻段內(nèi)的總加速度級誤差均非常小，而若直接使用最小二乘法求等效力，則其結(jié)果的總加速度級誤差要大得多，這再次驗(yàn)證了上述結(jié)論。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明：正則化方法可以有效解決求等效力過程中的導(dǎo)納矩陣病態(tài)問題，改進(jìn)方法即振動的等效力傳遞路徑分析方法可以較準(zhǔn)確地預(yù)測振動響應(yīng)和計(jì)算振源的貢獻(xiàn)。

5 結(jié)論

在利用經(jīng)典傳遞路徑分析（Transfer Path Analysis，TPA）方法預(yù)測系統(tǒng)振動響應(yīng)和計(jì)算振源的貢獻(xiàn)時，不僅激勵力的實(shí)時測量比較困難，而且系統(tǒng)拆解繁瑣耗時。針對該問題，通過在經(jīng)典TPA法中引入等效力代替?zhèn)鹘y(tǒng)的激勵力，即對系統(tǒng)中每個振源均用作用于該振源與結(jié)構(gòu)連接處的一組等效力來表征該振源以改進(jìn)經(jīng)典TPA法，并利用正則化方法解決導(dǎo)納矩陣求逆時易出現(xiàn)的病態(tài)問題，改進(jìn)的方法即振動的等效力傳遞路徑分析方法不僅解決了激勵力實(shí)時測量問題，還避免了系統(tǒng)拆解工作，因此更為簡單可行。搭建電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺對該方法進(jìn)行振動實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明：正則化方法可以解決導(dǎo)納矩陣病態(tài)問題，振動的等效力傳遞路徑分析方法可以較為準(zhǔn)確地預(yù)測系統(tǒng)振動響應(yīng)和計(jì)算振源貢獻(xiàn)。

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