三種物系速度和加速度關(guān)聯(lián)研究

陳耿祥 唐柱榮

[摘 要]文章主要討論高中物理競(jìng)賽中相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一般處理方法，主要闡述常見(jiàn)的輕桿、輕繩，接觸物系及交叉物系中的速度和加速度關(guān)聯(lián)問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]高中物理競(jìng)賽；相對(duì)運(yùn)動(dòng)；速度關(guān)聯(lián)；加速度關(guān)聯(lián)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G633.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）32-0031-03

本文討論三種典型物系的速度和加速度關(guān)聯(lián)問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題不僅在物理競(jìng)賽中，也在自主招生考試中頻頻出現(xiàn)。例如，物理競(jìng)賽中，剛體動(dòng)力學(xué)的考查比較常見(jiàn)，而且具有一定的難度，找出物系中的相關(guān)條件往往成為解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。在29屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第三題、32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第二題中就考查了質(zhì)點(diǎn)系的碰撞問(wèn)題，其中就涉及物系之間的速度關(guān)聯(lián)知識(shí)。由于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)以下問(wèn)題：在解題過(guò)程中忽視物系相關(guān)條件；沒(méi)有一般性地考慮物系關(guān)聯(lián)的思路；對(duì)物系中相對(duì)復(fù)雜的物理過(guò)程理解把握不到位，因而導(dǎo)致這些問(wèn)題無(wú)法順利解答問(wèn)題。為了有效解答這類(lèi)問(wèn)題，本文詳細(xì)地分析物理競(jìng)賽中三種典型物系中的速度、加速度關(guān)聯(lián)問(wèn)題。

一、桿、繩物系關(guān)聯(lián)

需要說(shuō)明的是本文討論的桿和繩都是不可伸長(zhǎng)的，這也是物理競(jìng)賽中最常見(jiàn)的模型。由于桿和繩都是不可伸長(zhǎng)的，即其上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置不發(fā)生變化，這也是處理?xiàng)U、繩物系關(guān)聯(lián)問(wèn)題的關(guān)鍵。

如圖1所示標(biāo)出桿、繩上AB兩點(diǎn)的速度，AB兩點(diǎn)的速度可以分解為兩個(gè)方向的速度：沿桿或繩方向，為法向速度[vn]，垂直于桿或繩的方向，為切向速度[vt]。由于桿、繩不可伸長(zhǎng)，則AB在法向的分速度相等。即

[vAn]=[vBn] （1）

AB的相對(duì)速度方向?yàn)榍邢蚍较颍珺相對(duì)于A的速度可以表示為：[v相=vBt-vAt]。以A為原點(diǎn)，建參考系，B相對(duì)于A旋轉(zhuǎn)，若設(shè)AB長(zhǎng)度為L(zhǎng)，B繞A旋轉(zhuǎn)的角速度為ω，B相對(duì)于A的速度還可以表示為：

[v相=vBt-vAt]=ωL [et] （2）

AB兩點(diǎn)的加速度，同理可以分解為兩個(gè)方向的加速度：沿桿或繩方向?yàn)榉ㄏ蚣铀俣萚an]，垂直于桿或繩為切向加速度[at]，如圖2所示。由于以A為參考原點(diǎn)，B相對(duì)于A旋轉(zhuǎn)，需要一個(gè)法向加速度提供向心加速度。若設(shè)AB長(zhǎng)度為L(zhǎng)，B繞A旋轉(zhuǎn)的相對(duì)線(xiàn)速度為[v相]（[v相=vBt-vAt]），則AB加速度關(guān)聯(lián)可以表述為：

[aBn-aAn=-v2相Len=-（vBt-vAt）2Len] （3）

[例1]如圖3（A）所示，物體A的質(zhì)量為m，吊索拖著A沿光滑的豎直桿上升，吊索跨過(guò)定滑輪B繞在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的鼓輪上，吊索的速度為v0，滑輪B到豎直桿水平距離為L(zhǎng)0，問(wèn)當(dāng)?shù)跛髋c豎直方向成θ角時(shí)，A的速度大小及此時(shí)繩子的張力。

分析：此題為繩子關(guān)聯(lián)問(wèn)題，可以由繩子的關(guān)聯(lián)速度求出A的速度，再求出A繞B的相對(duì)速度，利用法向加速度關(guān)聯(lián)，可以得到A的法向加速度，再根據(jù)牛頓第二定律求出繩子中的張力。

解：（1）根據(jù)沿繩方向分速度相等，如圖3（B）所示，并設(shè)A的速度為vA，得：[vAcosθ=vo] ； [vA=v0/cosθ]。

（2）由于B端只有沿繩方向的速度，所以A繞B旋轉(zhuǎn)的速度為A的切向速度，設(shè)為vt，如圖3（B）所示，易得：

[vt=vAsinθ=v0tanθ]

以B為參考點(diǎn)，B勻速運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有沿繩子方向的加速度，所以A繞B的加速度為：[an=v2tL0/sinθ=（v0tanθ）2sinθL0]

再對(duì)A進(jìn)行受力分析，如圖3（C）所示，知A受到三個(gè)力：重力mg，繩子的拉力T，桿對(duì)A的支持力N，利用牛頓第二定律可得：

[T-mgcosθ-Nsinθ=ma]

在水平方向上：

[Tsinθ=N]

綜上可得繩子的拉力為：

[T=mgcosθ+mv20tan3θsinθL0]

二、接觸物系關(guān)聯(lián)

接觸物系在不發(fā)生脫離之前，在垂直于接觸面的法向方向位移始終相同，故沿接觸面法向分速度相等，如果發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的話(huà)，在沿接觸面的切向方向有相對(duì)速度。但對(duì)接觸物系的加速度關(guān)聯(lián)問(wèn)題，會(huì)因?yàn)榻佑|是平面還是曲面而有所不同，下面進(jìn)行分類(lèi)討論。

1.接觸面為平面的接觸物系

如圖4所示，斜面A被限制在水平面上運(yùn)動(dòng)，而直桿P被限制在豎直方向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)某時(shí)刻A以速度[v]A往左邊運(yùn)動(dòng)，AP始終接觸。AP的速度可以分解為兩個(gè)方向的分速度，沿接觸面的切向方向速度vt和垂直于接觸面的法向速度vn。由于沿接觸面法向分速度大小相等，可得：

[vPn=vAn] （4）

以A為原點(diǎn)建立參考系，P將沿斜面往下滑，即相對(duì)速度沿切向方向：

[v相=（vpt-vAt）et] （5）

同理A、P的加速度也可以分解為兩個(gè)方向的分加速度，沿接觸面的切向加速度at和垂直于接觸面的法向加速度an。因?yàn)锳、P始終接觸，速度始終相等，以A為參考系P，沿著A的斜面往下滑，所以A、P法向加速度相等，相對(duì)加速度a相沿切向方向：

[aPn=aAn] （6）

[a相=apt-aAt] （7）

2.接觸面為曲面的接觸物系

[例2]一個(gè)半徑為R的半圓柱體沿水平方向做加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)，在圓柱面上有一豎直桿P，此桿只能在豎直方向上運(yùn)動(dòng)，如圖6（A）所示，當(dāng)半圓的速度為v時(shí)，桿與半圓柱體的接觸點(diǎn)P的角位置為θ，求此時(shí)P的速度及加速度大小。

解：（1）速度分析如圖6（B）所示，由于豎直桿與半圓柱面始終接觸，法向位移時(shí)刻相同，則兩者法向速度依然是相同的，可得P點(diǎn)的速度：[vp=vtanθ]。

（2）由速度分析圖可知，如圖6（B）所示，以半圓為參考系，P相對(duì)半圓的速度沿切向方向，可以看成P點(diǎn)繞O點(diǎn)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的相對(duì)速度大小為：

[v'=vcosθ]

如圖6（C）所示，P點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)既有切向加速度[at][′]，又有法向加速度[an][′]，此法向加速度即為P繞O做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度：

[an'=v'2R=v2Rcos2θ]

同時(shí)，半圓柱的加速度[a]是牽連加速度，P點(diǎn)加速度[ap]為絕對(duì)加速度，則相對(duì)加速度為[a'=ap-a]，其相對(duì)加速度的法向分量為：[-an'=apcosθ-asinθ]

于是便有：[ap=atanθ-v2Rcos3θ]

由上述分析可知，如果接觸面是平面，則接觸物系法向分速度、法向分加速度相等；但若接觸面為曲面，接觸物系法向分速度仍然相等，但由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)為曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，法向分加速度不相等，需要考慮向心加速度。

三、交叉物系

[例3]如圖7（A）所示，平面內(nèi)有兩個(gè)輕桿AB和CD，其夾角為θ，若輕桿AB以速度v1在平面內(nèi)垂直于AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)輕桿CD以速度v2在平面內(nèi)垂直于CD方向運(yùn)動(dòng)，求兩輕桿交叉點(diǎn)P的速度[vp]。

解：此題為典型的交叉物系求交叉點(diǎn)的速度，我們可以通過(guò)一小段時(shí)間內(nèi)的位移來(lái)理解交叉物系交叉點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

假設(shè)剛開(kāi)始交叉點(diǎn)為P點(diǎn)，經(jīng)過(guò)一小段時(shí)間[Δt]后交叉點(diǎn)到達(dá)P2點(diǎn)，可以假設(shè)CD先不動(dòng)，AB移動(dòng)了[v1Δt]到達(dá)A′B′，P到達(dá)P1；接著A′B′不動(dòng)，CD移動(dòng)了[v2Δt]到達(dá)C′D′，P1到達(dá)P2如圖7（B）所示。于是：

[PP1=v1Δtsinθ] [PP2=v2Δtsinθ]

而在相同的[Δt]時(shí)間內(nèi)P運(yùn)動(dòng)到

了P2處，可得：

[PP2=vpΔt]

由幾何關(guān)系可得：

[|PP2|2=|PP1|2+|P1P2|2-2|PP1||P1P2|cosθ]

即：[v2p=v1sinθ2+v2sinθ2-2v1v2sin2θcosθ2v1v2sin2θcosθ]

從例3的分析可以得到這樣的結(jié)論：線(xiàn)狀交叉物系交叉點(diǎn)的速度是相交物系雙方沿雙方切向分速度的矢量和。如圖7（C）所示，AB的速度[v1]可以分解為沿AB方向的分速度[v11]和沿CD方向的分速度[v12]；CD的速度[v2]可以分解為沿AB方向的分速度[v21]和沿CD方向的分速度[v22]；則交叉點(diǎn)P的速度可以表示為：

[vp=v12+v21] （8）

同理可以得到線(xiàn)狀交叉物系平動(dòng)時(shí)，交叉點(diǎn)的加速度是相交物系雙方沿雙方切向分加速度的矢量和。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 范小輝.新編高中物理奧賽指導(dǎo)[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程：力學(xué)篇[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002.

[3] 潘武明.力學(xué)：計(jì)算機(jī)輔助教程[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

（責(zé)任編輯 易志毅）