高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型與解題技巧

黃麗丹

[摘 要]《不等式》是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容之一.研究不等式易錯(cuò)題型及其解法具有現(xiàn)實(shí)意義.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)；不等式；易錯(cuò)題型；解題技巧

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）32-0018-02

《不等式》是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)和重點(diǎn).不等式具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，往往與函數(shù)、方程及幾何知識(shí)結(jié)合使用.學(xué)生對(duì)不等式的知識(shí)掌握不夠全面，在解題時(shí)就可能出現(xiàn)偏差.筆者認(rèn)為，教師應(yīng)該對(duì)不等式的易錯(cuò)題型進(jìn)行總結(jié)，分析經(jīng)常出錯(cuò)的原因，整理解題思路，以便提高學(xué)生學(xué)習(xí)的針對(duì)性，最終提高解題效率.

一、“線性規(guī)劃”易錯(cuò)題型與解題技巧

在不等式易錯(cuò)題型中，“線性規(guī)劃”是非常典型的題型.一般而言，不等式和線性規(guī)劃組合型的題目主要是計(jì)算最大值或者最小值.從解題思路上來看，要先進(jìn)行不等式定義域或者相關(guān)面積的確定，接著按照要求進(jìn)行解答.在這個(gè)過程中，要充分利用線性規(guī)劃和不等式之間的性質(zhì)關(guān)系.

[例1]已知a>0，x≥1，x+y≤3，y≥a（x-3），假如t=2x+y，其最小值為1，根據(jù)已知條件求a具體數(shù)值的大小.

分析：在求解這道題目時(shí)，很多學(xué)生在求取三條直線構(gòu)建三角形面積時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.這道題目是典型的變式題，在求解的過程中需要根據(jù)已知條件，利用直線位置來進(jìn)行解答.

解題技巧：根據(jù)已知條件t=2x+y，假如目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過區(qū)域中的一點(diǎn)M，這種情況下不等式最小值為1，我們可以計(jì)算出M點(diǎn)的坐標(biāo)，即（1，-2a）.接著，將這個(gè)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，等式關(guān)系為1=2-2a，求解一元一次方程得a的值是0.5.

在線性規(guī)劃和不等式組合的題目中，要把握好函數(shù)的最值，充分利用已知條件確定不等式的可行域范圍，從而得出正確答案.在這個(gè)題目中，由于a>0，函數(shù) y=a（x-3）只能在第一和第三象限，三角形可行域的范圍可以通過分析和計(jì)算獲得，a的求解就比較容易了.

二、“高次不等式”類型題的易錯(cuò)題型與解題技巧

高次不等式的解題方法主要有列表法、穿針引線法和不等式組法等.一般情況下，高次不等式中區(qū)域容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，尤其是一些特殊區(qū)域或者固定的點(diǎn).從經(jīng)常出錯(cuò)的情況來看，學(xué)生往往忽略題目中的隱性條件，對(duì)解集區(qū)域模糊不清，在運(yùn)用穿針引線的方法時(shí)，對(duì)函數(shù)升降規(guī)律把握不好.

[例2]已知高次不等式 （m-1）（m-2）（m-3）>0，根據(jù)已知條件求解集.

分析：認(rèn)真分析題目中的條件，我們可以發(fā)現(xiàn)，這類題目需要確定出不等式的根.首先，我們可以畫出不等式根的草圖.在這個(gè)題目中，應(yīng)分別在數(shù)軸中對(duì)不等式的四個(gè)區(qū)間進(jìn)行確定，在數(shù)軸中對(duì)解集大于零和小于零的區(qū)域進(jìn)行詳細(xì)的標(biāo)注.根據(jù)已知條件可知，主要分為13兩個(gè)區(qū)間.在這種情況下，高次不等式的解集求法就變得相對(duì)容易了.

解題技巧：高次不等式的解答一定要借助圖形，不少學(xué)生單從表面上去分析已知條件，在很多時(shí)候起不到什么效果，在畫圖的過程中思路就慢慢清晰了.應(yīng)當(dāng)注意的是，在解集求出以后，要對(duì)解集的臨界點(diǎn)進(jìn)行判定，確保解集的準(zhǔn)確性，避免小的錯(cuò)誤造成失分.

三、“絕對(duì)值”類型題的解答分析

含有絕對(duì)值的不等式的解題思路是觀察原式，通過變形或者是去括號(hào)的方法，將原式轉(zhuǎn)換為低次的不等式或者是不等式組進(jìn)行求解.如果一個(gè)不等式或者是不等式組當(dāng)中含有多個(gè)絕對(duì)值，可以采用零點(diǎn)分段法對(duì)原不等式進(jìn)行解答.如果在不等式或者不等式組的解答過程當(dāng)中有最值問題，可以利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行求解.在解答絕對(duì)值類型的不等式問題時(shí)，最重要的一個(gè)技巧就是根據(jù)題干的實(shí)際情況，運(yùn)用合適的解題方法將不等式中的絕對(duì)值符號(hào)或者是絕對(duì)值式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

四、“基礎(chǔ)不等式”易錯(cuò)題型與解題技巧

基礎(chǔ)不等式是a2 + b2 ≥2ab.這個(gè)基礎(chǔ)不等式還可以變化，比如根據(jù)這個(gè)不等式可以推導(dǎo)出（a+b）/2≥ [ab].這個(gè)不等式需要一定的條件，即a>0，b>0，當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)題目中給出 a、b 的積是一定時(shí)其取得的和最小，當(dāng)題目中 a、b 的和是一定時(shí)取得的積最大.

[例3]當(dāng)m>2時(shí)，求[m+3m-2]的最小值.

分析：在解答這類題目時(shí)，我們可以將不等式變形，[m-2+3m-2+2]≥2[3]+2.根據(jù)基本公式我們可知，當(dāng)[m-2=3m-2]時(shí)等式成立.這時(shí)我們可以求出m的值.因此[m+3m-2]的最小值為2[3]+2，此時(shí)m=2+[3].

五、“含參數(shù)不等式”解題技巧

在解答含參數(shù)不等式時(shí)，要對(duì)不等式中的參數(shù)進(jìn)行分析，根據(jù)參數(shù)范圍，利用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行相關(guān)的討論，確保解題時(shí)不遺漏各種取值的可能性.

[例4]已知關(guān)于x的不等式mx-n>0，求不等式的解集.

分析：對(duì)參數(shù)進(jìn)行分析，主要有m>0、m=0和m<0這三種情況.我們對(duì)這三種情況進(jìn)行分別解答.原不等式可以變形為：mx>n.

當(dāng)m>0時(shí)，x>[nm]；

當(dāng)m=0時(shí)，n<0；

（如果n≥0，則原不等式的解集為空集，n<0，原不等式的解集為R）

當(dāng)m<0時(shí)，x<[nm].

根據(jù)以上的分析，可以順利求出不等式的解集.

六、“等價(jià)代換”類型題解題技巧

[例5]已知適合不等式[x2-4x+p+x-3≤5]的x的最大值為3，求p的值.

分析：在這個(gè)不等式中，很多學(xué)生不會(huì)運(yùn)用等價(jià)代換的方法，對(duì)題目中“x 的最大值為 3”這句話理解不透徹.因?yàn)?x 的最大值為 3，故 x-3 < 0，原不等式等價(jià)于[x2-4x+p+（3-x）≤5]，可以轉(zhuǎn)化為

-x-2≤x2-4x+p≤x+2.

那么，x2-5x+p-2≤0或者x2-3x+p+2≥0，對(duì)這兩個(gè)式子求解可以求出x1，x2 .設(shè)上式中的根分別為 x1、x2 （x 2>x1），x3、x4 （x4>x3 ），則 x2= 3 或 x4= 3.

若x2 = 3，則 9-15 + p-2 =0，p =8；

若x4 = 3，則 9-9 + p +2 =0，p =-2；

當(dāng)p=-2 時(shí)，原方程組無解，檢驗(yàn)得p=8符合題意，則 p =8.

七、“不等式恒成立問題”解題技巧

不等式恒成立問題往往與數(shù)列或抽象函數(shù)相結(jié)合.

[例6]設(shè)函數(shù) f（x） = ln（1 + x），g（x） = xf '（x），x ≥ 0，其中 f '（x） 是f（x） 的導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ） 令 g1 （x） = g（x），gn+1 （x） = g（gn （x）），n ∈ N+，求 gn （x）的表達(dá)式；

（Ⅱ） 若 f（x） ≥ ag（x） 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ） 設(shè) n∈N + ，比較 g（1） + g（2） + … + g（n） 與 n-f（n） 的大小，并加以證明.

該題的考點(diǎn)是結(jié)合不等式、函數(shù)導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值并研究函數(shù)的單調(diào)性.

總而言之，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)不等式的過程中，學(xué)生要注重同類題型的歸納總結(jié)，分析常用的解題方法，不斷提升自身的解題能力.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）