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    高中數(shù)學(xué)不等式易錯題型與解題技巧

    2018-01-18 10:08:40黃麗丹
    關(guān)鍵詞:解題技巧高中數(shù)學(xué)

    黃麗丹

    [摘 要]《不等式》是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容之一.研究不等式易錯題型及其解法具有現(xiàn)實(shí)意義.

    [關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué);不等式;易錯題型;解題技巧

    [中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-6058(2018)32-0018-02

    《不等式》是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)和重點(diǎn).不等式具有較強(qiáng)的應(yīng)用性,往往與函數(shù)、方程及幾何知識結(jié)合使用.學(xué)生對不等式的知識掌握不夠全面,在解題時就可能出現(xiàn)偏差.筆者認(rèn)為,教師應(yīng)該對不等式的易錯題型進(jìn)行總結(jié),分析經(jīng)常出錯的原因,整理解題思路,以便提高學(xué)生學(xué)習(xí)的針對性,最終提高解題效率.

    一、“線性規(guī)劃”易錯題型與解題技巧

    在不等式易錯題型中,“線性規(guī)劃”是非常典型的題型.一般而言,不等式和線性規(guī)劃組合型的題目主要是計(jì)算最大值或者最小值.從解題思路上來看,要先進(jìn)行不等式定義域或者相關(guān)面積的確定,接著按照要求進(jìn)行解答.在這個過程中,要充分利用線性規(guī)劃和不等式之間的性質(zhì)關(guān)系.

    [例1]已知a>0,x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3),假如t=2x+y,其最小值為1,根據(jù)已知條件求a具體數(shù)值的大小.

    分析:在求解這道題目時,很多學(xué)生在求取三條直線構(gòu)建三角形面積時容易出現(xiàn)錯誤.這道題目是典型的變式題,在求解的過程中需要根據(jù)已知條件,利用直線位置來進(jìn)行解答.

    解題技巧:根據(jù)已知條件t=2x+y,假如目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過區(qū)域中的一點(diǎn)M,這種情況下不等式最小值為1,我們可以計(jì)算出M點(diǎn)的坐標(biāo),即(1,-2a).接著,將這個坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù),等式關(guān)系為1=2-2a,求解一元一次方程得a的值是0.5.

    在線性規(guī)劃和不等式組合的題目中,要把握好函數(shù)的最值,充分利用已知條件確定不等式的可行域范圍,從而得出正確答案.在這個題目中,由于a>0,函數(shù) y=a(x-3)只能在第一和第三象限,三角形可行域的范圍可以通過分析和計(jì)算獲得,a的求解就比較容易了.

    二、“高次不等式”類型題的易錯題型與解題技巧

    高次不等式的解題方法主要有列表法、穿針引線法和不等式組法等.一般情況下,高次不等式中區(qū)域容易出現(xiàn)錯誤,尤其是一些特殊區(qū)域或者固定的點(diǎn).從經(jīng)常出錯的情況來看,學(xué)生往往忽略題目中的隱性條件,對解集區(qū)域模糊不清,在運(yùn)用穿針引線的方法時,對函數(shù)升降規(guī)律把握不好.

    [例2]已知高次不等式 (m-1)(m-2)(m-3)>0,根據(jù)已知條件求解集.

    分析:認(rèn)真分析題目中的條件,我們可以發(fā)現(xiàn),這類題目需要確定出不等式的根.首先,我們可以畫出不等式根的草圖.在這個題目中,應(yīng)分別在數(shù)軸中對不等式的四個區(qū)間進(jìn)行確定,在數(shù)軸中對解集大于零和小于零的區(qū)域進(jìn)行詳細(xì)的標(biāo)注.根據(jù)已知條件可知,主要分為13兩個區(qū)間.在這種情況下,高次不等式的解集求法就變得相對容易了.

    解題技巧:高次不等式的解答一定要借助圖形,不少學(xué)生單從表面上去分析已知條件,在很多時候起不到什么效果,在畫圖的過程中思路就慢慢清晰了.應(yīng)當(dāng)注意的是,在解集求出以后,要對解集的臨界點(diǎn)進(jìn)行判定,確保解集的準(zhǔn)確性,避免小的錯誤造成失分.

    三、“絕對值”類型題的解答分析

    含有絕對值的不等式的解題思路是觀察原式,通過變形或者是去括號的方法,將原式轉(zhuǎn)換為低次的不等式或者是不等式組進(jìn)行求解.如果一個不等式或者是不等式組當(dāng)中含有多個絕對值,可以采用零點(diǎn)分段法對原不等式進(jìn)行解答.如果在不等式或者不等式組的解答過程當(dāng)中有最值問題,可以利用絕對值三角不等式進(jìn)行求解.在解答絕對值類型的不等式問題時,最重要的一個技巧就是根據(jù)題干的實(shí)際情況,運(yùn)用合適的解題方法將不等式中的絕對值符號或者是絕對值式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

    四、“基礎(chǔ)不等式”易錯題型與解題技巧

    基礎(chǔ)不等式是a2 + b2 ≥2ab.這個基礎(chǔ)不等式還可以變化,比如根據(jù)這個不等式可以推導(dǎo)出(a+b)/2≥ [ab].這個不等式需要一定的條件,即a>0,b>0,當(dāng)a=b時,等號成立.當(dāng)題目中給出 a、b 的積是一定時其取得的和最小,當(dāng)題目中 a、b 的和是一定時取得的積最大.

    [例3]當(dāng)m>2時,求[m+3m-2]的最小值.

    分析:在解答這類題目時,我們可以將不等式變形,[m-2+3m-2+2]≥2[3]+2.根據(jù)基本公式我們可知,當(dāng)[m-2=3m-2]時等式成立.這時我們可以求出m的值.因此[m+3m-2]的最小值為2[3]+2,此時m=2+[3].

    五、“含參數(shù)不等式”解題技巧

    在解答含參數(shù)不等式時,要對不等式中的參數(shù)進(jìn)行分析,根據(jù)參數(shù)范圍,利用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行相關(guān)的討論,確保解題時不遺漏各種取值的可能性.

    [例4]已知關(guān)于x的不等式mx-n>0,求不等式的解集.

    分析:對參數(shù)進(jìn)行分析,主要有m>0、m=0和m<0這三種情況.我們對這三種情況進(jìn)行分別解答.原不等式可以變形為:mx>n.

    當(dāng)m>0時,x>[nm];

    當(dāng)m=0時,n<0;

    (如果n≥0,則原不等式的解集為空集,n<0,原不等式的解集為R)

    當(dāng)m<0時,x<[nm].

    根據(jù)以上的分析,可以順利求出不等式的解集.

    六、“等價代換”類型題解題技巧

    [例5]已知適合不等式[x2-4x+p+x-3≤5]的x的最大值為3,求p的值.

    分析:在這個不等式中,很多學(xué)生不會運(yùn)用等價代換的方法,對題目中“x 的最大值為 3”這句話理解不透徹.因?yàn)?x 的最大值為 3,故 x-3 < 0,原不等式等價于[x2-4x+p+(3-x)≤5],可以轉(zhuǎn)化為

    -x-2≤x2-4x+p≤x+2.

    那么,x2-5x+p-2≤0或者x2-3x+p+2≥0,對這兩個式子求解可以求出x1,x2 .設(shè)上式中的根分別為 x1、x2 (x 2>x1),x3、x4 (x4>x3 ),則 x2= 3 或 x4= 3.

    若x2 = 3,則 9-15 + p-2 =0,p =8;

    若x4 = 3,則 9-9 + p +2 =0,p =-2;

    當(dāng)p=-2 時,原方程組無解,檢驗(yàn)得p=8符合題意,則 p =8.

    七、“不等式恒成立問題”解題技巧

    不等式恒成立問題往往與數(shù)列或抽象函數(shù)相結(jié)合.

    [例6]設(shè)函數(shù) f(x) = ln(1 + x),g(x) = xf '(x),x ≥ 0,其中 f '(x) 是f(x) 的導(dǎo)函數(shù).

    (Ⅰ) 令 g1 (x) = g(x),gn+1 (x) = g(gn (x)),n ∈ N+,求 gn (x)的表達(dá)式;

    (Ⅱ) 若 f(x) ≥ ag(x) 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

    (Ⅲ) 設(shè) n∈N + ,比較 g(1) + g(2) + … + g(n) 與 n-f(n) 的大小,并加以證明.

    該題的考點(diǎn)是結(jié)合不等式、函數(shù)導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值并研究函數(shù)的單調(diào)性.

    總而言之,在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)不等式的過程中,學(xué)生要注重同類題型的歸納總結(jié),分析常用的解題方法,不斷提升自身的解題能力.

    (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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