抽象“周長”概念的策略分析

黃芳　安麗玉

【摘要】抽象思想是一種數(shù)學(xué)基本思想，三年級學(xué)生以形象思維為主，而周長概念的抽象性較強(qiáng)，這就要求教師教學(xué)周長概念時做好“抽象”?？梢圆捎靡韵虏呗裕汉侠砭幣牛行虻爻橄?；多元表征，直觀地抽象；比較區(qū)分，邏輯地抽象；靈活度量，運(yùn)用中抽象。

【關(guān)鍵詞】動手實(shí)踐；自主建構(gòu)；活動經(jīng)驗(yàn)

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）89-0063-03

【作者簡介】1.黃芳，江蘇省無錫市安鎮(zhèn)實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇無錫，214105）副校長，高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師；2.安麗玉，江蘇省無錫市安鎮(zhèn)實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇無錫，214105）年級組長，一級教師，無錫市錫山區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)新秀。

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，其研究方法也是抽象的。作為過程的抽象，是指在認(rèn)識事物的過程中，舍棄那些個別的、偶然的非本質(zhì)屬性，抽取普遍的、必然的本質(zhì)屬性，形成科學(xué)概念，從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律。其主旨是對有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式的直觀背景材料進(jìn)行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的加工和提煉，以實(shí)現(xiàn)建立數(shù)學(xué)概念、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、組織數(shù)學(xué)體系的目的。

對于一個平面圖形，教師可以從兩個維度來認(rèn)識：一是圖形的幾何特征，二是圖形的度量特征。長度是度量一維空間“線”的長短，其度量對象是“線”，度量屬性是長短。面積是度量二維空間“面”的大小，其度量對象是“面”，度量屬性是大小。在教學(xué)中，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)學(xué)生對周長的認(rèn)識存在這樣的誤區(qū)：將周長等同于周長度量對象——“線”，找不準(zhǔn)周長度量對象——“線”，或者將一維的“線”與二維的“面”纏繞在一起。原因在哪里？三年級學(xué)生以形象思維為主，而周長概念的抽象性較強(qiáng)，它不像圖形的幾何特征那樣直觀，也不如面積概念那樣易感知。這就要求教師在周長概念教學(xué)的起始課上就做好“抽象”這件事。

一、合理編排：有序地抽象

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為，教材是教學(xué)法的編導(dǎo)。北師版、蘇教版、浙教版、人教版、青島版、西師版等版本教材對周長相關(guān)內(nèi)容的編排順序是相同的，主要經(jīng)歷“認(rèn)識長方形和正方形的特征—認(rèn)識周長—長方形和正方形周長的計(jì)算”這三個過程。

同一概念的相關(guān)聯(lián)系，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為同一概念的內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)、同一概念和各種等價表示之間的聯(lián)系及其與具體模型相聯(lián)系的外部表示之間的抽象。這些聯(lián)系是學(xué)生理解概念、完善概念網(wǎng)絡(luò)、靈活運(yùn)用知識的關(guān)鍵，長方形和正方形的特征、認(rèn)識周長、長方形和正方形周長的計(jì)算之間就存在著這樣的聯(lián)系。

各版本教材的安排都體現(xiàn)了抽象過程的教學(xué)法規(guī)律，從認(rèn)識幾何特征、認(rèn)識周長概念到周長概念的應(yīng)用計(jì)算，逐漸深入，符合三年級學(xué)生的思維邏輯，有利于他們獲得抽象概念。遵循教材的編排順序，可以在教學(xué)第三課《長方形和正方形周長的計(jì)算》時這樣串聯(lián)前兩節(jié)課的知識：

【片段1】三上《長方形和正方形周長的計(jì)算》

師：小剛和小明參加賽跑，裁判員宣布小剛繞著1號跑道（長方形）跑一圈，小明繞著2號跑道（正方形）跑一圈。小明表示不公平，說他的跑道比小剛的長。

師：到底誰的跑道長？怎樣來判斷呢？

生：可以計(jì)算兩條跑道的周長。

師：什么是跑道的周長？誰上來指著圖說一說？ 生：圍成長方形跑道、正方形跑道四條線段的長度之和分別是它們的周長。

師：計(jì)算跑道周長，需要知道哪些條件？怎樣才能知道？

生：量一量長方形跑道的一個長和一個寬，再量一量正方形跑道的一個邊長。

師：為什么這樣量呢？

生：長方形對邊相等，正方形四條邊相等。

長方形和正方形的幾何特征、周長概念及其應(yīng)用計(jì)算在這一問題情境中得到了有意義的聯(lián)結(jié)，周長概念內(nèi)涵的多種屬性便形成了結(jié)構(gòu)化網(wǎng)絡(luò)，這有利于學(xué)生多方位地理解與把握周長概念。

二、多元表征：直觀地抽象

概念的理解一般要經(jīng)歷形象—表象—抽象的過程，學(xué)生思維活動的水平主要取決于外在刺激的程度，如何使用各種外部表征幫助學(xué)生建立反映概念本質(zhì)的內(nèi)在表征是關(guān)鍵。

美國學(xué)者萊許說：“實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個方面，其他表述方式——圖像、書面語言、符號語言、現(xiàn)實(shí)情景等——同樣也發(fā)揮了十分重要的作用。”多元表征理論強(qiáng)調(diào)概念表征的不同方面要相互滲透與必要互補(bǔ)，這樣就能充分利用學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)使概念變得豐富和生動起來。

【片段2】三上《認(rèn)識周長》

1.認(rèn)識物體平面的周長。

請學(xué)生指一指3張書簽的一周邊線。

小結(jié)：都要從一個點(diǎn)出發(fā)沿著邊線走一圈，再回到原來這個點(diǎn)。

請學(xué)生指一指數(shù)學(xué)書封面等實(shí)物的一周邊線。

小結(jié)：物體某個平面一周邊線的長叫作它的周長。

2.認(rèn)識平面圖形的周長。

師：平面圖形也有周長，這些圖形（如圖1）的周長是指什么呢？誰能指著三角形先來說一說呢？ 生：圍成三角形一周邊線的長就是它的周長。

生：三條線段的長度之和就是它的周長。

師：請你描出這些圖形的一周邊線?，F(xiàn)在，你能指著圖說一說其他圖形的周長是指什么嗎？

小結(jié)：圍成長方形、正方形、梯形等四邊形的四條線段的長度之和就是它們的周長，圍成半圓形、不規(guī)則圖形一周邊線的長就是它們的周長。

師：怎樣知道這些圖形的周長呢？哪些邊可以用直尺量？這些邊能用直尺量嗎？怎么辦？

生：用線圍著邊線一周，量出線的長度就是曲線的長。

最符合小學(xué)生的認(rèn)知方式，一是直觀，二是建立聯(lián)系，這也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的最重要的素養(yǎng)。上述教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了基于直觀的多元表征過程——指一指、描一描、圍一圍、量一量、說一說、比劃周長等。

先由實(shí)物引導(dǎo)認(rèn)識“物體某個面一周邊線的長就是它的周長”，既來源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，又直觀形象地描述了周長的屬性；接著通過“六個平面圖形的周長各是多少”，引導(dǎo)學(xué)生類推出“多邊形各邊的長度之和就是它的周長”，從而深化和完善他們對周長含義的認(rèn)識。這個過程幫助學(xué)生逐漸積累起周長的內(nèi)在表征，而不至于再將周長與周長度量對象——“線”混淆起來，也豐富了學(xué)生對現(xiàn)實(shí)空間和平面圖形的認(rèn)識，使他們積累了“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了初步的空間觀念。

三、比較區(qū)分：邏輯地抽象

抽象是與具體相對應(yīng)的概念，其過程通過一系列比較、區(qū)分、舍棄和收括的思維操作而實(shí)現(xiàn)。比較，就是在思維中確定對象之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)；區(qū)分，就是把通過比較得到的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)在思維中固定下來，利用它們把對象分為不同的類；舍棄是指在思維中不考慮對象的某些性質(zhì)；收括則是指把我們需要的對象性質(zhì)固定下來，并用詞語表達(dá)出來。這就形成了抽象的概念，同時也形成了表示這個概念的詞語，于是實(shí)現(xiàn)了一個抽象過程。就是說，抽象概念過程也需要邏輯地分析，這樣會使概念變得更加嚴(yán)格與精準(zhǔn)。

【片段3】三上《認(rèn)識周長》

師：瞧，3只小甲蟲正在玩游戲呢！先看游戲規(guī)則：每只小甲蟲沿著樹葉的邊線跑一周，跑得符合要求的能獲得獎勵。

師：這是3只小甲蟲跑的路線（如圖2），哪只小甲蟲能獲得獎勵呢？為什么？

師：2號、3號小甲蟲為什么沒有獲勝？

生：2號沒有跑完一周。

師：什么是一周呢？

師：從一點(diǎn)開始，沿著邊線跑，最后又回到這一點(diǎn)，就是沿著邊線跑一周。

生：3號沒有沿著邊線跑。

【片段4】三上《認(rèn)識周長》

師：這個圖形（如圖3）有周長嗎？

生：這個圖形不完整，沒有封閉，所以沒有周長。

師：這些圖形（如圖4）有周長嗎？誰來指著圖說一說？

片段3是通過比較區(qū)分出一周邊線的意義，片段4同樣是通過比較區(qū)分出對平面圖形的界定，這樣的過程有助于學(xué)生找準(zhǔn)周長度量對象——“線”。這是對直觀的抽象過程所呈現(xiàn)的原有認(rèn)知的補(bǔ)充，它能使學(xué)生從更高的抽象水平收括原有的認(rèn)知，包括對此作出必要的經(jīng)驗(yàn)改造或重構(gòu)。

四、靈活度量：運(yùn)用中抽象

學(xué)生在日常生活中會遇到許多客觀存在的問題，這時就需要他們具有一定的數(shù)學(xué)敏感度，要善于從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去解決問題，從而獲得對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。周長概念學(xué)習(xí)過程中的靈活度量，既是解決問題的需要，也是一種對概念的反思性理解。

度量的過程如下：一是確定度量單位，再看度量對象包含多少個度量單位，度量單位的個數(shù)就是度量值的大小；二是將不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化為規(guī)則物體來度量；三是公式計(jì)算。在解決問題的過程中，需要根據(jù)不同的情況靈活選擇方法，應(yīng)用意識的生成便是知識經(jīng)驗(yàn)形成的標(biāo)志。

【片段5】三上《長方形和正方形周長的計(jì)算》

1.探索長方形周長的計(jì)算。

師：這個長方形跑道，長是28米，寬是15米，小組合作計(jì)算長方形的周長，能想出幾種不同的計(jì)算方法？哪種方法較為簡便？

學(xué)生合作解決，指名板演后交流。

生：28+28+15+15=86（米），把四條線段加起來就是這個長方形的周長。

生：先求兩個長，再求兩個寬，最后再加起來。28×2=56（米），15×2=30（米），30+56=86（米）。

生：28+16=43（米），43×2=86（米）。

師：哪種計(jì)算方法較為簡便？為什么？

2.探索正方形周長的計(jì)算。

師：你能計(jì)算正方形的周長嗎？

獨(dú)立計(jì)算，集體校對。

生：25+25+25+25=100（米）。

生：25×4=100（米）。

師：為什么這樣計(jì)算？

生：圍成正方形四條線段的長度和就是它的周長。

師：你覺得哪種方法比較簡便？

【片段6】三上《長方形和正方形周長的計(jì)算》

師：一條曲線把正方形分成了兩個圖形（如圖5），你能比較這兩個圖形的周長嗎？你是怎樣想的？

師：現(xiàn)在呢？（如圖6）你是怎樣想的？

片段5是引導(dǎo)學(xué)生在求解周長結(jié)果的過程中進(jìn)一步反思周長的含義，理解概念和概念應(yīng)用相輔相成。片段6則是有一定思維含量的變式練習(xí)，既是在比較復(fù)雜的情境中鞏固周長概念的內(nèi)涵，也是在有意識地孕伏將一維的“線”與二維的“面”區(qū)分開來，是前面直觀理解基礎(chǔ)上的提升，有助于學(xué)生根據(jù)周長概念對兩個圖形之間的邏輯關(guān)系作比較直接的、形象的推斷和理解。

學(xué)習(xí)，就是從生活經(jīng)驗(yàn)運(yùn)行到科學(xué)概念的過程。教師能做的就是依據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律作數(shù)學(xué)化的引導(dǎo)：由知其淺到知其深，由知其然到知其所以然，由學(xué)會到會學(xué)。