基于PSO小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助卡爾曼濾波的BDS/INS定位

李衛(wèi)東，黃晨陽，劉 楊，王新屏

(大連交通大學(xué)電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116023)

0 引言

在北斗定位系統(tǒng)(Beidou navigation satellite system，BDS)中，卡爾曼濾波是一種通過軟件消除定位信號噪聲的重要方法[1]。假如對列車運(yùn)行模型構(gòu)造不夠精確，會導(dǎo)致卡爾曼濾波后信號的發(fā)散、失真等不良結(jié)果[2]。通過構(gòu)建卡爾曼濾波的輸入/輸出小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以解決這些問題[3]。

本文結(jié)合文獻(xiàn)[1]～文獻(xiàn)[3]的優(yōu)點(diǎn)，改進(jìn)了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)率。在此基礎(chǔ)上，采用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法結(jié)合遺傳算法(genetic algorithm，GA)優(yōu)化的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對實(shí)際問題進(jìn)行建模。仿真試驗(yàn)證明了該方法的有效性。

1 基于卡爾曼濾波的BDS/INS組合定位

目前，我國BDS總體性能略低于全球定位系統(tǒng)(global positioning system,GPS),它的主要問題可能在于:定位精度低、易受到無線電的干擾、保密性和安全性弱、 數(shù)據(jù)傳輸率低。這些缺陷可以通過與慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(inertial navigation system，INS)結(jié)合來補(bǔ)償[4]。BDS/INS可以使北斗信號在由于遮擋或高強(qiáng)度干擾的情況下，能單獨(dú)進(jìn)行導(dǎo)航定位，從而保證導(dǎo)航的可靠性。北斗系統(tǒng)可以修正INS的輸出信息，減少它隨時(shí)間積累的誤差，保證導(dǎo)航的精確性和工作的穩(wěn)定性。

卡爾曼濾波是一種通過算法估計(jì)被提取信號的最優(yōu)理論。自1980年以來，它被廣泛應(yīng)用于運(yùn)載體的導(dǎo)航和定位系統(tǒng)中[5]。

它的原理可以簡述為：假設(shè)Xk為tk時(shí)刻的被估計(jì)狀態(tài)，Wk-1系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)噪聲序列驅(qū)動(dòng)方程如下：

Xk=φk,k-1Xk-1+Γk-1Wk-1

(1)

對Xk的量測方程滿足線性關(guān)系：

Zk=HxXk+Vk

(2)

狀態(tài)一步預(yù)測：

(3)

狀態(tài)估計(jì)：

(4)

濾波增益：

(5)

一步預(yù)測均方誤差：

(6)

估計(jì)均方誤差：

Pk=(I-KkHk)Pk/k-1

(7)

北斗定位系統(tǒng)與列車和地面設(shè)備時(shí)鐘一致，并向其上的接收機(jī)發(fā)送用于導(dǎo)航定位的調(diào)制波。導(dǎo)航電文發(fā)送隨機(jī)偽噪聲。理想情況下，接收機(jī)接收到電文后，將它與衛(wèi)星信號的原電文進(jìn)行對齊處理，求得衛(wèi)星與接收機(jī)的距離和列車的相關(guān)參數(shù)[6]。INS器件通過測量移動(dòng)載體的運(yùn)動(dòng)加速度及位移，再通過積分運(yùn)算，推導(dǎo)出列車相關(guān)參數(shù)。隨后，BDS系統(tǒng)中的接收機(jī)將收到的相關(guān)列車參數(shù)，經(jīng)電平轉(zhuǎn)換后，通過通信電路傳輸?shù)叫盘柼幚砥鬟M(jìn)行處理。同時(shí)在數(shù)字信號的裝置中將其中的慣性導(dǎo)航器件處理的信號導(dǎo)入，兩者信息相融合。

圖1 BDS/INS結(jié)構(gòu)圖

2 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助的卡爾曼濾波

2.1 卡爾曼濾波的不足及彌補(bǔ)方法

實(shí)際運(yùn)行中，由于列車運(yùn)動(dòng)模型不能準(zhǔn)確構(gòu)造以及系統(tǒng)中存在硬件誤差等原因，會導(dǎo)致經(jīng)過卡爾曼濾波，獲得的速度波形與實(shí)際速度波形有偏差，進(jìn)而使得到的定位信息也不準(zhǔn)確[8]。雖然這些誤差的精確模型很難計(jì)算，但可以通過現(xiàn)有的卡爾曼濾波的輸入/輸出數(shù)據(jù)構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，再對這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行校正。通過這種方式讓北斗定位系統(tǒng)獲取到較為準(zhǔn)確的速度波形，從而提高北斗定位的精度。

采用圖2所示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制替換卡爾曼濾波。通過在線比較誤差的方法對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行修正，逐步替換反饋控制器。在受到外界噪聲或其他因素干擾的情況下，控制器的反饋將會再次發(fā)揮作用。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制方法，不但確保了控制系統(tǒng)能夠比較穩(wěn)定地運(yùn)行，還有效提高了系統(tǒng)的精度及其自適應(yīng)的能力[9]。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制圖

2.2 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

小波理論本身比較適合處理[10-11]小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(wavelet neural network，WNN)。與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論結(jié)合后，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法具有更加靈活有效的函數(shù)逼近能力以及較強(qiáng)的容錯(cuò)能力。其核心是將小波變換加入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中,構(gòu)造以“Sigmoid函數(shù)”為基本構(gòu)架的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在構(gòu)造小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，因?yàn)樾〔ǚ纸饽軌蜻M(jìn)行平移，理論上能夠逼近任意函數(shù)。

本文根據(jù)信號的特點(diǎn),采用了融合型的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。該網(wǎng)絡(luò)主體為3層網(wǎng)絡(luò)[12],具有單輸入、單輸出的結(jié)構(gòu)，輸入層為并行輸入，隱含層、輸出層包含了m個(gè)神經(jīng)元。

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖3所示小波函數(shù)中的伸縮，平移參數(shù)a、b和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)都可以通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)進(jìn)行訓(xùn)練。圖3中，隱含層神經(jīng)元的激勵(lì)函數(shù)f1是 Morlet 小波函數(shù)：

圖3 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

(8)

隱含層輸出為：

(9)

(10)

式中：O為隱含層的輸出；x為輸入層的輸入；w為權(quán)值；h為Morlet小波函數(shù)。

輸出層輸出為：

(11)

2.3 改進(jìn)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練算法

本文采用了改進(jìn)的梯度下降法[13]，對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，誤差函數(shù)為：

(12)

式中:d(k)為期望輸出；y(k)為網(wǎng)絡(luò)實(shí)際輸出；p為樣本數(shù)。

首先對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行分割，并行輸入，得到權(quán)值平均值。這樣權(quán)值的反復(fù)變化次數(shù)減少，不但節(jié)省了時(shí)間，也提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要基于誤差修正來進(jìn)行結(jié)構(gòu)的調(diào)整和學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)率的改變會影響收斂的速度和訓(xùn)練的效果。如果學(xué)習(xí)率過小,系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間會太長;如果學(xué)習(xí)率太大,可能導(dǎo)致振蕩或發(fā)散。隨著時(shí)間增加，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)幅度應(yīng)相應(yīng)減少。調(diào)整后的學(xué)習(xí)率單調(diào)增加且增加率逐漸變緩，log(a+x)無疑滿足這個(gè)條件。

學(xué)習(xí)率的調(diào)整式：

ηk+1=ηklog(1+k)e(k+1)

(13)

ηk+1=ηklog(2+1/k)e(k+1)≥e(k)

(14)

式中：η為學(xué)習(xí)因子；λ為動(dòng)量因子。

改進(jìn)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練算法，一定程度上加快了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂速度。但它仍然較易陷入局部最小，這無疑會對系統(tǒng)的收斂速度和精確度造成影響[13]。下面采用PSO與GA的組合算法來對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值進(jìn)行修正，以進(jìn)一步提升其性能。

3 粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1995年，美國的Kenney和Eeberhart對鳥類的群體行為進(jìn)行探究，提出了PSO算法[11]。每個(gè)粒子都可以看作潛在的要解決的優(yōu)化問題的解決方案。粒子的速度取決于它的飛行的距離及其方向，它的適應(yīng)值由優(yōu)化函數(shù)決定。在飛行過程中，粒子經(jīng)過多次迭代后，利用自身和飛行經(jīng)驗(yàn)組進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，最后取得最優(yōu)解。粒子本身所得到的最佳值可以稱作個(gè)體的極值，而整個(gè)種群的最優(yōu)解應(yīng)是當(dāng)前的極值。這一極值會在每個(gè)粒子尋找這兩個(gè)最佳值時(shí)更新：

vk+1=c0+vkc1(pbestk-xk)+c2(gbestk-xk)

(15)

xk+1=xk+vk+1

(16)

式中：vk為粒子的速度矢量；xk為目前粒子所在的位置；c0一般取介于(0，1)之間的隨機(jī)常數(shù)，通?？梢苑Q為慣性系數(shù)或收縮因子。采用c1和c2的“自感知因子”和“社會認(rèn)知因子”來調(diào)節(jié)pbestk和gbestk對粒子的影響。

GA的本質(zhì)是構(gòu)建一個(gè)針對優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)的適合度函數(shù)[12]。然后，根據(jù)一定的規(guī)則，生成遺傳密碼的初始組，并對該組進(jìn)行評估，進(jìn)行遺傳算法的交叉、變異、選擇等。

遺傳算法可以在不使算法變復(fù)雜的同時(shí)，提高算法的全局極值，從而提高算法的收斂速度和精度。在這種情況下，兩者優(yōu)勢互補(bǔ)。它們的融合可以在提升學(xué)習(xí)速度的同時(shí)，增強(qiáng)系統(tǒng)的泛化能力。

PSO優(yōu)化小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流程如圖4所示。

圖4 PSO優(yōu)化小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流程圖

4 仿真分析

對所提算法進(jìn)行仿真,試驗(yàn)數(shù)據(jù)來自哈爾濱西至長春運(yùn)營線路的實(shí)測數(shù)據(jù)，列車最高時(shí)速為200 km/h，平均車速為99.90 km/h[14]。設(shè)置北斗衛(wèi)星接收機(jī)數(shù)據(jù)采樣頻率為1 s/次，哈爾濱西站的坐標(biāo)作為初始位置的經(jīng)緯度坐標(biāo)，共收集了400個(gè)北斗Ⅱ衛(wèi)星的測量數(shù)據(jù)(列車實(shí)際運(yùn)行13.286 km)。為了便于分析，只采用了部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行仿真分析,并經(jīng)由傳統(tǒng)的卡爾曼濾波獲得輸出波形及數(shù)據(jù)。

在試驗(yàn)1中，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用并行輸入[15]，輸入和輸出的節(jié)點(diǎn)數(shù)都為1，是3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。其中隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為12，輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)為5。如果對數(shù)據(jù)分塊太多，則運(yùn)行時(shí)間過長；如果數(shù)據(jù)分塊太少，則會使誤差偏大，所以將輸入數(shù)據(jù)分成了4塊。運(yùn)行時(shí)間及均方差對比如表1所示。學(xué)習(xí)率改變前后誤差曲線如圖5所示。

表1 運(yùn)行時(shí)間及均方差對比

圖5 學(xué)習(xí)率改變前后誤差曲線

在試驗(yàn)2中，遺傳代數(shù)選擇了300代，種群規(guī)模選擇了50，變異率為0.95。算法適應(yīng)度曲線如圖6所示。從圖6可以看出，組合算法在收斂速度上優(yōu)于粒子群算法，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于遺傳算法。

圖6 算法適應(yīng)度曲線

在試驗(yàn)3中，采用了北向的數(shù)據(jù)集，對基于GA改進(jìn)的PSO權(quán)值部分進(jìn)行訓(xùn)練。當(dāng)精度達(dá)到要求后結(jié)束訓(xùn)練,進(jìn)入在線狀態(tài)。在MATLAB 2015B中運(yùn)行程序，對WNN輔助的卡爾曼濾波器所獲得的速度曲線和原來實(shí)際運(yùn)行的曲線,以及它們的誤差曲線進(jìn)行比較。優(yōu)化前后誤差曲線、總體誤差對比曲線如圖7、圖8所示。

圖7 優(yōu)化前后誤差對比曲線

從圖7、圖8可以看出，與實(shí)際運(yùn)動(dòng)曲線相比，經(jīng)過改進(jìn)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助的卡爾曼濾波，對于速度的估計(jì)誤差更小,而且經(jīng)過長時(shí)間的運(yùn)行，偏差仍然不大,表明了通過小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對卡爾曼濾波器輔助的方法是可行的。經(jīng)過PSO優(yōu)化后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有運(yùn)行穩(wěn)定且誤差小和收斂快等優(yōu)點(diǎn)。在PSO優(yōu)化數(shù)據(jù)后，相比優(yōu)化前WNN 中100個(gè)輸出數(shù)據(jù)與理想輸出之差有所減少，整體的均方差也由原來的0.150 5降低到了0.019 4。

5 結(jié)束語

本文提出了一種采用WNN對實(shí)際問題中的卡爾曼濾波進(jìn)行建模的方案。在此基礎(chǔ)上，對GA和PSO進(jìn)行了組合優(yōu)化。學(xué)習(xí)率則是通過加入對數(shù)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。仿真表明，改進(jìn)后的系統(tǒng)不僅加快了運(yùn)行速度，而且減小了均方差。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化不但提高了收斂速度,還有效提高了其定位的準(zhǔn)確性，同時(shí)在保持原速度波形的整體趨勢前提下，減少了濾波導(dǎo)致的信號誤差。在今后工作中，考慮在BDS/INS慣性導(dǎo)航系統(tǒng)失效的情況下，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和其他算法融合進(jìn)行運(yùn)行路線的預(yù)測。

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