基于Scheimpflug定律的線結(jié)構(gòu)光系統(tǒng)攝像機(jī)標(biāo)定方法

（華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院國(guó)家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，武漢 430000）

0 引言

在光電檢測(cè)領(lǐng)域，激光三角法以其快速、非接觸、高精度的特點(diǎn)，被廣泛使用，其中市場(chǎng)上出現(xiàn)最多的是基于線結(jié)構(gòu)光的激光三角測(cè)量系統(tǒng)，已經(jīng)有相應(yīng)的產(chǎn)品，如北京大恒公司代理國(guó)外廠商LMI Technologies INC的Gocator智能傳感器系列產(chǎn)品，通過(guò)投射線結(jié)構(gòu)光達(dá)到測(cè)距、測(cè)截面輪廓等目的。線結(jié)構(gòu)光三維測(cè)量系統(tǒng)的標(biāo)定是獲取三維信息的關(guān)鍵步驟，有許多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了研究，但是多數(shù)都不是恒聚焦光路，對(duì)攝像機(jī)的標(biāo)定采用傳統(tǒng)的線性模型與非線性模型，有如學(xué)者周富強(qiáng)、張廣軍[1]，提出了一種新的基于自由移動(dòng)平面參照物的表面視覺(jué)傳感器全部參數(shù)的高精度簡(jiǎn)易標(biāo)定方法；學(xué)者陳新禹等[2]提出的提出了一種基于單一圓形標(biāo)靶標(biāo)定線結(jié)構(gòu)光視覺(jué)傳感器的方法，他們的系統(tǒng)都是基于攝像機(jī)和透鏡平行放置來(lái)建立的。

本文以線結(jié)構(gòu)光三維測(cè)量系統(tǒng)為支撐，為達(dá)到高精度測(cè)量，設(shè)計(jì)了滿足恒聚焦光路條件的硬件系統(tǒng)，由于光路條件的改變，原有的攝像機(jī)標(biāo)定的線性模型以及非線性模型不足以描述本系統(tǒng)攝像機(jī)模型，因此本文深入研究了恒聚焦光路的數(shù)學(xué)模型，并建立了基于傾斜鏡頭的攝像機(jī)標(biāo)定模型。

1 線結(jié)構(gòu)光系統(tǒng)恒聚焦光路

線結(jié)構(gòu)光傳感器原理如圖1所示，線激光照射到被測(cè)物表面，激光在表面上會(huì)發(fā)生漫反射，反射的光線由光學(xué)透鏡匯聚在光敏接收單元上，如果被測(cè)表面有位移變化，通過(guò)檢測(cè)光敏單元上激光位置變化，就能得到物體位移的變化，這就是激光三角法的測(cè)量原理。傳統(tǒng)的三角測(cè)量過(guò)程都保證透鏡主平面與成像元件光敏面平行，一旦系統(tǒng)調(diào)試好，準(zhǔn)確聚焦的位置只有一個(gè)，其余都處于離焦?fàn)顟B(tài)，為使被測(cè)表面上任一點(diǎn)都能在透鏡上清晰成像，提高系統(tǒng)檢測(cè)精度，系統(tǒng)需要滿足Scheimpflug定律，也稱沙姆定律，該定律物理意義上描述為激光軸線光束、成像透鏡主平面、光敏單元三者延長(zhǎng)線必須相交與一點(diǎn)[3]。為此，光敏單元相對(duì)于透鏡必須有一個(gè)夾角。該定律的證明如下：

圖1 線結(jié)構(gòu)光傳感器原理

圖2 恒聚焦光路圖

圖2中，α是激光軸線與透鏡光軸的夾角；β是感光元件平面與光軸的夾角；物點(diǎn)A在感光面上的像點(diǎn)是A'點(diǎn)，a是該點(diǎn)的物距，b是該點(diǎn)像距；同理B點(diǎn)。ρ是BB'與光軸之間的夾角；f是透鏡的焦距。已知透鏡成像公式：

只要滿足公式(1)的都可以在光敏元件上清晰成像，為此當(dāng)物點(diǎn)從A移到B點(diǎn)時(shí)，也要滿足清晰成像公式，即：

聯(lián)立式(1)～式(3)得：

式(4)是沙姆定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。即為保證成像系統(tǒng)滿足Scheimpflug定律，透鏡與光敏單元之間的夾角必須存在。由此滿足恒聚焦光路條件的攝像機(jī)系統(tǒng)中鏡頭是傾斜的。

2 傾斜鏡頭攝像機(jī)模型建立

傾斜鏡頭攝像機(jī)模型是建立在攝像機(jī)線性模型和非線性模型基礎(chǔ)之上的。

2.1 攝像機(jī)線性模型

攝像機(jī)的線性模型是一種理想的模型，又可稱作針孔模型[4]。是在透視投影基礎(chǔ)上加上剛體變換（剛體的旋轉(zhuǎn)與平移）得到的攝像機(jī)模型[5]。為了了解線性模型，先要了解幾個(gè)常用坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，建立的坐標(biāo)系如圖3所示。

圖3 攝像機(jī)常用坐標(biāo)系

攝像機(jī)常用坐標(biāo)系主要有圖像坐標(biāo)系O0uv，成像平面坐標(biāo)系O1xy，攝像機(jī)坐標(biāo)系OcXcYcZc以及世界坐標(biāo)系OwXwYwZw，其中圖像坐標(biāo)系建立在圖像平面內(nèi)，原點(diǎn)在圖像的左上角，以像素單位為量綱。成像平面坐標(biāo)系建立在CMOS平面內(nèi)，原點(diǎn)建立在光軸與CMOS平面的交點(diǎn)位置上，一般為中心，成像平面坐標(biāo)屬于物理坐標(biāo)系。攝像機(jī)坐標(biāo)系建立在攝像機(jī)上，坐標(biāo)原點(diǎn)OC與透鏡中心重合，ZC軸與光軸重合，XC和YC軸分別與成像平面坐標(biāo)系的x軸和y軸平行，如圖3所示，對(duì)于理想的針孔模型，要求物點(diǎn)P、光心OC和像點(diǎn)p這三點(diǎn)須在同一直線上[6]。

為了建立各個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系，假設(shè)成像坐標(biāo)系原點(diǎn)O1在圖像坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（u0，v0），每個(gè)像素在x方向的實(shí)際物理尺寸設(shè)為SX，在y方向的物理尺寸記為Sy，量綱為mm，鏡頭焦距設(shè)為f，在圖像坐標(biāo)系中取點(diǎn)（u,v），可得圖像坐標(biāo)系與成像坐標(biāo)系之間的變化關(guān)系式：

用齊次坐標(biāo)表示為：

成像平面坐標(biāo)系中的點(diǎn)（x，y）與攝像機(jī)坐標(biāo)系中的點(diǎn)（Xc，Yc，Zc）之間的關(guān)系為：

同理寫(xiě)成齊次坐標(biāo)形式為：

攝像機(jī)坐標(biāo)系中的點(diǎn)（Xc，Yc，Zc）與世界坐標(biāo)系中的點(diǎn)（Xw，Yw，Zw）變換屬于空間坐標(biāo)坐標(biāo)變換范疇，變換關(guān)系為：

式(3)～式(9)中，R是旋轉(zhuǎn)矩陣，表示相機(jī)坐標(biāo)系在世界坐標(biāo)系中的方向矢量，T為三維平移向量，T=[Tx，Ty，Tz]T。

綜上，從圖像坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系之間的齊次變換為：

式(10)中，αx=f/Sx，αy=f/Sy，αx、αy、u0、v0只與攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)有關(guān)，因此M1稱為攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)矩陣，而M2表征攝像機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系的齊次變換，稱之為攝像機(jī)外部參數(shù)，M=M1.M2，它表示了圖像坐標(biāo)系中的點(diǎn)與世界坐標(biāo)系中點(diǎn)之間的關(guān)系，稱之為投影矩陣。

2.2 攝像機(jī)畸變模型

采用理想的針孔模型，由于每次只有少量的光線通過(guò)針孔，這導(dǎo)致實(shí)際情況下曝光不足，圖像生成很慢，攝像機(jī)為了快速生成圖像，必須采用大面積而且彎曲的透鏡，讓足夠的光線能夠聚焦到投影點(diǎn)上，迅速生成圖像，而這樣做的代價(jià)就是引入了透鏡的畸變[7]。透鏡的畸變主要包含兩方面，徑向畸變與切向畸變。

徑向畸變主要來(lái)自于透鏡的形狀，是由制造誤差產(chǎn)生的。它的效應(yīng)主要有兩種：枕形失真和桶形失真，在CMOS中心（光學(xué)中心）的畸變?yōu)?，隨著向邊緣移動(dòng)，畸變?cè)絹?lái)越嚴(yán)重。切向畸變來(lái)自于透鏡安裝的整個(gè)過(guò)程，因?yàn)榘惭b時(shí)很難保證透鏡和成像平面平行。

本文通過(guò)引入三個(gè)徑向畸變參數(shù)k1，k2，k3和兩個(gè)切向畸變參數(shù)p1，p2描述透鏡畸變模型：

式(11)中（x，y）為實(shí)際成像坐標(biāo)系中的點(diǎn)，(xcorrected，ycorrected)為校正之后的新位置。

2.3 傾斜透鏡模型

為了使光學(xué)系統(tǒng)滿足沙姆定律，透鏡與光敏元件必須成一個(gè)夾角，因此要重新建立符合本系統(tǒng)的攝像機(jī)數(shù)學(xué)模型。

圖4 傾斜透鏡模型

如圖4所示，為了描述CMOS相對(duì)于透鏡傾斜的位置，在CMOS平面建立空間坐標(biāo)系OXYZ，并引入兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角度tilt和rot。tilt描述光軸相對(duì)于CMOS平面法線的傾斜角度，取值范圍為[0，90°]，在圖中表示為YcOcZc繞x軸旋轉(zhuǎn)角度的大小，也可以有其他的表示方式，這里只是描述角度大小的度量值。rot描述光軸傾斜的方向，取值范圍為[0°，360°]，在圖中表示為ZC軸在XOY平面內(nèi)的投影相對(duì)于X軸的旋轉(zhuǎn)角度。從圖像坐標(biāo)系變換到世界坐標(biāo)系的過(guò)程描述如下：

Step1：設(shè)在圖像坐標(biāo)系下一點(diǎn)的坐標(biāo)為qi=(u,v)T，這時(shí)圖像坐標(biāo)系是建立在傾斜的CMOS面上的，映射到成像平面坐標(biāo)系下的點(diǎn)為qt=(xt,yt)T，兩者之間的變化關(guān)系如式(6)所示。

Step2：為了使用攝像機(jī)的線性模型求得最終世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，必須將傾斜的成像平面上的點(diǎn)qt變換到與透鏡平行的虛擬成像平面上的點(diǎn)去，它們之間的變換關(guān)系由透視變換（也稱投影映射）描述：

Step4：由理想的無(wú)失真的虛擬成像平面上的點(diǎn)qc變換到攝像坐標(biāo)系下的點(diǎn)pc=(Xc，Yc，Zc)T，如式(8)所示。

Step5：由攝像坐標(biāo)系下的點(diǎn)pc變換到世界坐標(biāo)系下的點(diǎn)pw=(Xw,YwZw)T，如式(9)所示。

上述模型的建立，本文主要參考了HALCON機(jī)器視覺(jué)軟件中對(duì)calibrate_cameras算子描述的英文文檔，該模型為area_scan_tilt_polynomial（面掃描的多項(xiàng)式模型），有描述不當(dāng)?shù)牡胤娇梢圆榭丛摹?/p>

傾斜鏡頭的攝像機(jī)模型的內(nèi)部參數(shù)總共包含14個(gè)未知量：[f，k1，k2，k3，p1，p2，tilt，rot，Sx，Sy，Cx，Cy，ImageWidth，ImageHeight]，其中Sx，Sy為像元尺寸，Cx，Cy是圖像中心的坐標(biāo)，也即（u0，v0）。標(biāo)定的最終目的就是求出這14個(gè)未知量。

3 傾斜鏡頭攝像機(jī)的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

本文使用標(biāo)定輔助工具是德國(guó)MVTec公司開(kāi)發(fā)的HALCON圖像處理軟件，其中有專(zhuān)門(mén)針對(duì)攝像機(jī)標(biāo)定集成的一個(gè)標(biāo)定助手，本文傾斜鏡頭模型的建立正是通過(guò)學(xué)習(xí)HALCON標(biāo)定助手中area_scan_tilt_polynomial標(biāo)定模型得到的。標(biāo)定實(shí)驗(yàn)的硬件示意圖如圖5所示。

依據(jù)本系統(tǒng)的視野，選擇HALCON30mm的標(biāo)定板，結(jié)構(gòu)如圖6中所示，是一種包含黑色圓點(diǎn)的標(biāo)定板。在系統(tǒng)滿足了沙姆定律后，攝像機(jī)只能在激光所在的光平面附近清晰成像，在高度測(cè)量的方向上，反應(yīng)在圖像上就是一條清晰的光帶。如圖6所示，經(jīng)觀察，清晰成像區(qū)域大概在光平面前后3mm的范圍內(nèi)，因此使用標(biāo)定板標(biāo)定時(shí)，標(biāo)定板只能放置在光平面附近，且前后改變姿態(tài)的位置不能超過(guò)3mm，否則無(wú)法清晰成像，提取不到標(biāo)記點(diǎn)。

對(duì)于傾斜鏡頭模型的相機(jī)標(biāo)定，HALCON也有一些特殊的說(shuō)明：

圖5 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)的硬件結(jié)構(gòu)圖

圖6 清晰光帶

圖7 標(biāo)定圖片

對(duì)于傾斜透鏡，透鏡失真越大，標(biāo)定出的傾斜角度越準(zhǔn)確。對(duì)于具有小失真的鏡頭，無(wú)法穩(wěn)定地標(biāo)定出傾斜角度，因此，標(biāo)定出的角度可能與初始給定的角度顯著不同，如果是這種情況，就要檢查標(biāo)定誤差，如果誤差小，則所得到的相機(jī)參數(shù)可用于精確測(cè)量。area_scan_tilt_polynomial模型的切向失真參數(shù)p1和p2在一定程度上能夠?qū)A斜透鏡進(jìn)行建模。相反，傾斜參數(shù)能夠在一定程度對(duì)p1和p2建模。因此，當(dāng)使用多項(xiàng)式模型時(shí)，可能發(fā)生一些傾斜參數(shù)由p1和p2建模，另一些傾斜參數(shù)由tilt和rot建模。在這種情況下，所產(chǎn)生的傾斜參數(shù)可能會(huì)偏離初始設(shè)置的標(biāo)準(zhǔn)值。同樣地，如果誤差很小，優(yōu)化得到的相機(jī)參數(shù)與實(shí)際參數(shù)一致性地描述了圖像的幾何成像，是可以使用的。如果使用area_scan_tilt_polynomial模型獲取傾斜參數(shù)的實(shí)際值很重要，則應(yīng)將參數(shù)p1和p2排除，即忽略切向畸變。

表1 HALCON標(biāo)定相機(jī)結(jié)果

【】【】

根據(jù)上述要求，使用HALCON標(biāo)定助手，拍攝如圖7所示圖片，并在標(biāo)定過(guò)程中不勾選切向畸變的參數(shù)，以最后一幅圖像為參考位姿，得到相機(jī)的標(biāo)定結(jié)果如表1所示。標(biāo)定的平均誤差約為0.357368個(gè)像素。本系統(tǒng)硬件設(shè)計(jì)的光敏元件與透鏡之間的理論夾角為6°，標(biāo)定的結(jié)果為7.61591°，是相對(duì)接近的，而且標(biāo)定的平均誤差較小，說(shuō)明標(biāo)定結(jié)果可以使用。

至此，對(duì)于包含傾斜鏡頭的攝像機(jī)標(biāo)定也有了一般的方法，有助于Scheimpflug定律在激光三角測(cè)量系統(tǒng)中的應(yīng)用，有助于提高系統(tǒng)的精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

激光三角測(cè)量法的應(yīng)用雖然較多，但是沙姆定律的應(yīng)用卻不多，主要一部分原因是傾斜鏡頭的標(biāo)定還沒(méi)有流程化的步驟，鮮有學(xué)者對(duì)傾斜鏡頭的標(biāo)定做深入的研究，本文發(fā)現(xiàn)了HALCON機(jī)器視覺(jué)軟件可用來(lái)標(biāo)定傾斜鏡頭，并對(duì)包含的模型進(jìn)行了深入的學(xué)習(xí)，才建立了本文傾斜鏡頭的攝像機(jī)數(shù)學(xué)模型，傾斜鏡頭的攝像機(jī)標(biāo)定也因此有了流程化的步驟，這對(duì)未來(lái)沙姆定律在三維測(cè)量系統(tǒng)中的應(yīng)用有重要作用。

[1]周富強(qiáng),張廣軍.表面視覺(jué)傳感器模型參數(shù)的簡(jiǎn)易標(biāo)定方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2005.41(3):175-179.

[2]陳新禹,馬孜,陳天飛.線結(jié)構(gòu)光傳感器模型的簡(jiǎn)易標(biāo)定[J].光學(xué)精密工程,2012.20(11):2345-2352.

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