基于概率需求的高速鐵路無砟軌道板溫度荷載取值研究Ⅱ：溫度梯度作用

歐祖敏， 孫 璐

（1.廣東珠三角城際軌道交通有限公司，廣東 廣州 510308；2.東南大學(xué) 交通學(xué)院，江蘇 南京 210096；3.美國普林斯頓大學(xué) 工程與應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，美國 新澤西州 08544）

無砟軌道結(jié)構(gòu)因整體性好、變形小、維修工作量少等優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用于高速鐵路［1］，但曝露于大氣環(huán)境下的混凝土無砟軌道板易受外界環(huán)境溫度作用影響而產(chǎn)生溫度梯度和翹曲變形，當(dāng)軌道板溫度變形受到約束后產(chǎn)生溫度應(yīng)力［2-4］。選取合理的無砟軌道板溫度梯度是準(zhǔn)確計算溫度翹曲應(yīng)力的前提，而我國無砟軌道設(shè)計規(guī)范僅推薦常用的溫度梯度為45℃／m［5］。劉學(xué)毅等［6］參照我國公路路面工程中關(guān)于溫度梯度標(biāo)準(zhǔn)值的成果提出3種地區(qū)最大正負(fù)溫度梯度的建議值，但該推薦溫度梯度為公路路面工程采用值，對高速鐵路無砟軌道的適用性仍需證明。最近的研究表明，現(xiàn)場實測得到的軌道板溫度梯度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過45℃／m［7-8］，對常用溫度梯度統(tǒng)一取45℃／m仍需更多工程實際驗證。因此，有必要對無砟軌道板溫度梯度的取值做進(jìn)一步的研究，選取更合理的溫度梯度荷載作用。

本文結(jié)合無砟軌道溫度場的研究成果，利用主要城市的氣象資料計算得到軌道板多年的溫度梯度荷載歷程，分析城市所在地軌道板溫度梯度分布規(guī)律，然后根據(jù)文獻(xiàn)［9-10］有關(guān)可變作用及取值的相關(guān)規(guī)定，對無砟軌道板的溫度梯度荷載的取值進(jìn)行研究，為無砟軌道板的設(shè)計和應(yīng)用提供參考依據(jù)。

1 無砟軌道板溫度梯度

1.1 無砟軌道板溫度場方程

研究表明，無砟軌道結(jié)構(gòu)內(nèi)的溫度分布與其表面溫度的變化密切相關(guān)［11］。近似均質(zhì)的混凝土無砟軌道板每日的溫度場為［11-12］

式中：T（z，t）為軌道板z處在時刻t的溫度；ˉTa，d為軌道板表面氣溫日均值，℃；~Ta，d為軌道板表面氣溫日幅值，℃；z為軌道板厚度（深度）方向的坐標(biāo)；ζ＝為材料的導(dǎo)溫系數(shù)，一般在0.001 86～0.003 82間，本文取a＝0.003，m2／h；ω為角頻率，取ω為時間，h。t＝0為當(dāng)天早上的（6＋t）0時，t0為太陽輻射最大值出現(xiàn)時與氣溫最高值出現(xiàn)時的差值所引起的軌道結(jié)構(gòu)表面溫度峰值出現(xiàn)時間相位修正值為白天考慮太陽輻射引起的軌道板表面等效溫度日幅值，℃

其中，Ts，I為太陽輻射在軌道結(jié)構(gòu)表面產(chǎn)生當(dāng)量溫度的最大值為太陽輻射吸收系數(shù)，對水泥混凝土表面as＝0.4～0.7，本文取0.4（對光滑、淺色表面取小值）；Id為軌道板表面（水平面）日太陽輻射照度（強度），W／m2；hy為軌道板表面換熱系數(shù)，hy＝ar＋acv，可取長波熱輻射系數(shù)ar＝4.15，W／（m2·K）；acv為流換熱系數(shù)，當(dāng)風(fēng)速v＜5 m／s時，acv＝6＋4·v，當(dāng)風(fēng)速v≥5 m／s時，acv＝7.41·v0.78，本文以日平均風(fēng)速近似計算acv，W／（m2·K）；td為日照時間，h；γ為最大太陽輻射時（太陽時正午12：00）與最高氣溫出現(xiàn)時的差值加1，如1 d的最高氣溫出現(xiàn)在14：00，則γ＝3 h；相關(guān)的歷史氣象資料由國家氣象局提供。

1.2 軌道板溫度梯度日最值

混凝土板的溫度可分解為均勻溫度、線性溫差（溫度梯度）及非線性溫差3部分［13］，其非線性部分僅對板產(chǎn)生自平衡應(yīng)力而不影響結(jié)構(gòu)整體平衡，參考文獻(xiàn)［10］對普通尺寸梁板可僅考慮均勻溫度荷載和線性溫度梯度荷載，對軌道板可僅計算其均勻溫度荷載和溫度梯度荷載。由軌道結(jié)構(gòu)溫度場方程可知，軌道板每日的溫度梯度具有周期性，可用分段函數(shù)表示為

式中：Tg（tg）為軌道板在tg時刻的溫度梯度值，tg＝t0當(dāng)tg＝0為早上時，θq，l＝arctan分 別 為 軌 道 板 正 溫度梯度日最大值、負(fù)溫度梯度日最小值，℃／m。對負(fù)溫度梯度取絕對值，則將要取值的負(fù)溫度梯度日最小值轉(zhuǎn)變?yōu)槿∝?fù)溫度梯度絕對值的最大值，為避免混淆，本文后續(xù)統(tǒng)稱正（負(fù)）溫度梯度日最大（小）值為正、負(fù)溫度梯度日最大值。軌道板正負(fù)溫度梯度日最大（?。┲禐?/p>

式中：Mq，l（h）為軌道板厚h的溫度梯度變化系數(shù)

其中，Mq，l（h＝0.2）為軌道板厚度為h＝0.2 m的溫度梯度變化系數(shù)；αTg為溫度梯度板厚修正系數(shù)

由式（2）可知，僅用溫度梯度日最大值即可表達(dá)軌道板每日的溫度梯度荷載特征，本文僅研究軌道板溫度梯度日最大值荷載的取值。由式（3）、式（4）可知，軌道板溫度梯度的大小與板厚有關(guān)，隨板厚的增大而減小，為減少計算工作量，僅對0.2 m厚度的軌道板溫度梯度荷載進(jìn)行研究，其他板厚的溫度梯度可用表1的修正系數(shù)αTg修正。

表1 軌道板溫度梯度板厚修正系數(shù)αTg

2 軌道板溫度梯度荷載概率模型

軌道板溫度梯度日最值荷載為受外界環(huán)境溫度變化產(chǎn)生的可變作用，屬于自然作用的范疇，具有隨機特性，采用隨機過程模型描述較為切合實際［12］。在描述無砟軌道板的溫度日最值荷載時，假定任意時點荷載記為Q，將無砟軌道的溫度梯度日最值荷載模型化為隨機過程｛ Q（t），t∈ ［0，T］｝，然后根據(jù)荷載隨時間變化的樣本函數(shù)或已有的荷載分布特征，可以確定設(shè)計基準(zhǔn)期T內(nèi)的溫度梯度日最大值荷載的極大值Qmax（min）T，g。平穩(wěn)二項隨機過程模型是主要模型之一，參考其原理并根據(jù)溫度梯度日最值的特征，可給出溫度梯度日最大值（正溫度梯度日最大值、負(fù)溫度梯度日最小值的絕對值）的極大值概率模型［15-16］為

式（5）關(guān)于溫度梯度日最大值的概率極值模型中，只要確定溫度梯度日最值的時段概率分布函數(shù)，可求得設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)溫度梯度日最值荷載的極值概率分布函數(shù)，然后取某個分位值確定設(shè)計基準(zhǔn)期內(nèi)溫度梯度日最值的極大值QT，gmax（min）。對軌道板溫度梯度日最值的年分布，其時段長度為τ＝1 a，對設(shè)計基準(zhǔn)期T＝60 a的無砟軌道結(jié)構(gòu)，溫度梯度日最值的年極值在60 a內(nèi)平均出現(xiàn)的次數(shù)為m＝60。

3 軌道板溫度梯度日最值年分布函數(shù)

3.1 北京地區(qū)溫度梯度日最值分布擬合及檢驗

利用北京氣象站歷史資料（1958—2011年），按本文溫度梯度日最值式（3）和式（4）以及溫度場式（1）計算得到北京地區(qū)的軌道板溫度正（負(fù)）溫度梯度日最大（?。┲档亩嗄陻?shù)據(jù)樣本，對負(fù)溫度梯度日最小值取絕對值進(jìn)行處理，把問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷φ?、?fù)溫度梯度的日最大值進(jìn)行分析，其頻數(shù)直方圖見圖1。

圖1 北京地區(qū)1958—2011年軌道板正、負(fù)溫度梯度（絕對值）日最大值頻數(shù)直方圖

由圖1可以看出，北京地區(qū)軌道板正溫度梯度日最大值呈明顯的偏態(tài)，且趨于極值Ⅰ型分布、威布爾分布，而負(fù)溫度梯度趨于正態(tài)分布，且呈輕微的偏態(tài)，對溫度梯度日最值可以用極值Ⅰ型、威布爾、正態(tài)分布函數(shù)擬合。極值Ⅰ型分布函數(shù)為

式中：α、β為極值Ⅰ型分布參數(shù)，α為比例參數(shù)，β為位置參數(shù)。

分布參數(shù)與樣本平均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的關(guān)系為

兩參數(shù)威布爾分布函數(shù)為

式中：γ、η為威布爾分布參數(shù)，γ為形狀系數(shù)，η為尺度系數(shù)。

正態(tài)分布函數(shù)為

式中：μ、σ（σ＞0）為常數(shù)，則稱X 服從參數(shù)為μ、σ2的正態(tài)分布或高斯分布。

利用北京地區(qū)1958—2011年的氣象資料計算得到正、負(fù)溫度梯度日最值進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到正態(tài)、極值型Ⅰ型、威布爾分布的參數(shù)見表2。用正態(tài)分布、極值Ⅰ型、威布爾分布概率密度曲線擬合正負(fù)溫度梯度日最大值的擬合分布曲線見圖2。

表2 北京地區(qū)1958—2011年正溫度、負(fù)溫度梯度作用日最值的統(tǒng)計參數(shù)

采用χ2擬合優(yōu)度檢驗方法對擬合效果進(jìn)行檢驗的結(jié)果表明，北京地區(qū)軌道板正負(fù)溫度梯度日最大值的年分布都不拒絕威布爾分布。

3.2 其他地區(qū)溫度梯度日最值年分布擬合及檢驗

采用前述方法分別計算哈爾濱、沈陽、烏魯木齊、蘭州、武漢、上海、廣州、昆明等地區(qū)的軌道板正、負(fù)溫度梯度日最值，然后對各城市所在地軌道板溫度梯度日最值進(jìn)行分布擬合，得到統(tǒng)計參數(shù)和檢驗結(jié)果見表3、表4，部分城市正、負(fù)溫度梯度日最值的分布直方圖及擬合效果見圖3。

圖2 北京地區(qū)1958—2011年軌道板正、負(fù)溫度梯度日最值擬合分布曲線

圖3 哈爾濱和廣州地區(qū)1961—2011年軌道板正、負(fù)溫度梯度日最值頻數(shù)直方圖擬合曲線

對上述各個地區(qū)的軌道板溫度梯度日最值進(jìn)行擬合和檢驗時，由于各地的溫度梯度日最值歷年的分布變異性較大，在擬合過程中，分別采用正態(tài)、半邊正態(tài)、極值Ⅰ型及威布爾4種分布函數(shù)，對負(fù)溫度梯度主要采用正態(tài)分布函、極值Ⅰ型及威布爾3種分布數(shù)，結(jié)果表明所采用的函數(shù)能較好地擬合軌道板溫度梯度日最值分布。

表3 部分城市歷年正溫度梯度作用日最值的統(tǒng)計參數(shù)

表4 部分城市歷年負(fù)溫度梯度作用日最值的統(tǒng)計參數(shù)

4 無砟軌道板溫度荷載代表值

對于溫度梯度的取值，我國的荷載規(guī)范沒有給出應(yīng)采用的設(shè)計基準(zhǔn)期及分位值。本文分別對設(shè)計基準(zhǔn)期為T＝50 a、T＝100 a，分位概率（保證概率）p為50%、90%、95%（相應(yīng)的設(shè)計基準(zhǔn)期荷載最大值超越概率1－p為50%、10%、5%，荷載最小值超越概率為p）的各分位值確定相應(yīng)溫度荷載分位值（標(biāo)準(zhǔn)值）QT。另外，考慮到溫度梯度荷載為自然作用，同時采用重現(xiàn)期TR的形式描述溫度梯度荷載，取重現(xiàn)期為TR為50、60、100 a，相應(yīng)的年保證率1－1／TR分別為98%、98.3%、99%（對應(yīng)的荷載最大值年超越概率1／TR為2%、1.7%、1%，荷載最小值年超越概率1－1／TR）。把相應(yīng)的分位概率代入式（5），可得溫度梯度日最值荷載分位值的表達(dá)式為

式中為正負(fù)溫度梯度日最值的年概率分布函數(shù)的逆函數(shù)。

利用前述對不同地區(qū)溫度梯度日最值分布擬合得到的函數(shù)及統(tǒng)計參數(shù)，據(jù)式（10）計算可得到部分主要城市所在地區(qū)不同設(shè)計基準(zhǔn)期、不同分位概率（保證概率）的溫度梯度日最值的分位值見表5，溫度梯度日最值荷載與具有不同分位概率（也可稱為保證概率，不被超越的概率或可靠性概率）的關(guān)系見圖4。

由表5和圖4計算結(jié)果表明，采用設(shè)計基準(zhǔn)期定義計算得到的正負(fù)溫度梯度日最值荷載（p為90%、95%的高分位值）明顯高于采用重現(xiàn)期定義得到的溫度梯度日最值荷載，這在求解其他類型的可變作用時也有類似的結(jié)果，主要是采用設(shè)計基準(zhǔn)期與采用重現(xiàn) 期定義荷載標(biāo)準(zhǔn)值表達(dá)的實質(zhì)不同而產(chǎn)生的差異［16］。

表5 不同地區(qū)不同概率的正負(fù)溫度梯度日最值荷載分位值℃／m

軌道板設(shè)計所采用的正負(fù)溫度梯度日最值荷載分位值（標(biāo)準(zhǔn)值），既要使軌道結(jié)構(gòu)安全有一定的保證率，又要考慮經(jīng)濟效益而不能定得太高造成浪費，對不同地區(qū)的溫度梯度日最值荷載應(yīng)盡量根據(jù)其實際特征合理取值。對于溫度荷載，習(xí)慣以重現(xiàn)期的形式描述其特征，根據(jù)前述計算結(jié)果并考慮部分城市對所在地區(qū)的代表性及工程應(yīng)用的簡便需求，軌道板正負(fù)溫度梯度日最值荷載標(biāo)準(zhǔn)值的建議值見表6。其中，因蘭州地區(qū)地理位置和特殊氣候原因，計算得到的正溫度梯度日最值的分位值有些偏高，如按本城市分析結(jié)果代表該區(qū)域有失偏頗，同時也不一定經(jīng)濟，對本區(qū)域的取值主要是參考蘭州周邊地區(qū)其他城市的結(jié)果確定。對不同厚度軌道板，可根據(jù)溫度梯度板厚修正系數(shù)確定相應(yīng)的正負(fù)溫度梯度日最值荷載分位值（標(biāo)準(zhǔn)值）。

表6 不同地區(qū)正負(fù)溫度梯度日最值荷載標(biāo)準(zhǔn)值建議值 ℃／m

圖4 不同地區(qū)不同設(shè)計基準(zhǔn)期的正負(fù)溫度梯度日最值荷載保證率概率分布曲線

5 結(jié)論

通過建立軌道板溫度梯度日最值荷載的極值概率模型和統(tǒng)計分析溫度梯度日最值的年概率分布函數(shù)，提出滿足不同概率需求的軌道板溫度梯度日最值荷載的取值方法，得到以下主要結(jié)論：

（1）根據(jù)溫度梯度荷載的隨機特性建立軌道板正負(fù)溫度梯度日最值（負(fù)溫度梯度絕對值最大值）的極值概率模型。

（2）利用軌道板溫度場方程和城市氣象資料，計算得到所在城市軌道板正溫度梯度日最大值、負(fù)溫度梯度日最小值絕對值。多年數(shù)據(jù)的結(jié)果表明，不同城市的軌道板正負(fù)溫度梯度日最值年分布各有所不相同。對正溫度梯度：哈爾濱不拒絕極值Ⅰ型分布函數(shù)，北京、沈陽、烏魯木齊、蘭州等地不拒絕威布爾分布函數(shù)，武漢、上海、廣州等地不拒絕半邊正態(tài)分布函數(shù)；對負(fù)溫度梯度：哈爾濱、沈陽、烏魯木齊、蘭州等不拒絕正態(tài)分布函數(shù)，北京、武漢、上海、廣州和昆明不拒絕威布爾分布函數(shù)。

（3）利用軌道板溫度梯度日最值的年極值概率分布函數(shù)、設(shè)計基準(zhǔn)期概率分布函數(shù)，得到溫度梯度日最值荷載的常用概率分位值、不同設(shè)計基準(zhǔn)期軌道板溫度梯度日最值荷載與保證概率的關(guān)系曲線，可滿足不同需求。

（4）綜合考慮軌道板溫度梯度日最值的分位值計算結(jié)果和主要城市對其所在地區(qū)區(qū)域代表性，提出不同地區(qū)軌道板溫度梯度日最值荷載標(biāo)準(zhǔn)值的建議值。

［1］何華武.無砟軌道技術(shù)［M］.北京：中國鐵道出版社，2005.

［2］LIU X，ZHAO P，DAI F.Advances in Design Theories of High-speed Railway Ballastless Tracks［J］.Journal of Modern Transportation，2011，19（3）：154-162.

［3］全毅.縱連式無砟軌道高溫穩(wěn)定性模型試驗研究［D］.成都：西南交通大學(xué)，2017：25-39.

［4］張重王，蘇成光，劉學(xué)毅，等.溫度梯度與板下脫空對列車軌道系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響［J］.鐵道學(xué)報，2017，39（4）：85-93.

TRUONG Trong Vuong，SU Chengguang，LIU Xueyi，et al.Influence of Temperature Gradient and Void Beneath Slab on Dynamic Response of High Speed Track System［J］.Journal of the China Railway Society，2017，39（4）：85-93.

［5］國家鐵路局.TB 10621—2014高速鐵路設(shè)計規(guī)范［S］.北京：中國鐵道出版社，2014.

［6］劉學(xué)毅，趙坪銳，楊榮山，等.客運專線無砟軌道設(shè)計理論與方法［M］.成都：西南交通大學(xué)出版社，2010：106-201.

［7］王森榮.板式無砟軌道溫度應(yīng)力研究［D］.成都：西南交通大學(xué)，2007：18-25.

［8］歐祖敏，孫璐，程群群.基于氣象資料的無砟軌道溫度場計算與分析［J］.鐵道學(xué)報，2014，36（11）：106-112.

OU Zumin，SUN Lu，CHENG Qunqun.Analysis on Temperature Field of Ballastless Track Structure Based on Meteorological Data［J］.Journal of the China Railway Society，2014，36（11）：106-112.

［9］中華人民共和國住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.GB 50153—2008工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)［S］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2008.

［10］中華人民共和國住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.GB 50009—2012建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范［S］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2012.

［11］歐祖敏，孫璐，程群群.高速鐵路無砟軌道溫度場簡化計算方法［J］.浙江大學(xué)學(xué)報：工學(xué)版，2015，49（3）：482-487.

OU Zumin，SUN Lu，CHENG Qunqun.Simplified Calculation of Temperature Field in High-speed Railway Ballastless Track Structure［J］.Journal of Zhejiang University：Engineering Science，2015，49（3）：482-487.

［12］歐祖敏，孫璐，周杰，等.基于概率需求的高速鐵路無砟軌道板溫度荷載取值研究Ⅰ：軸向均勻溫度作用［J］.鐵道學(xué)報，2016，38（2）：96-104.

OU Zumin，SUN Lu，ZHOU Jie，et al.Probability Value of Temperature Loads for Ballastless Track Slab of High Speed Railway：Axial Uniform Thermal Actions［J］.Journal of the China Railway Society，2016，38（2）：96-104.

［13］Comite Europeen De Normalisation.EN1991-1-5 Eurocode 1：Action on Structures—Part 1-5：General Actions—Thermal Actions［S］.Brussels：Rue De Stassart，2003.

［14］趙國藩，曹居易，張寬權(quán).工程結(jié)構(gòu)可靠度［M］.北京：科學(xué)出版社，2011.

［15］白國良，薛建陽，吳濤.工程荷載與可靠度設(shè)計原理［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2012.

［16］金新陽.建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范理解與應(yīng)用［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2013.