基于gamma退化過程的裝備備件保障模型

杜振東，趙建民，楊志遠，倪祥龍

（軍械工程學(xué)院，石家莊 050003）

0 引言

隨著維修方式的不斷發(fā)展，在裝備日常保障中，基于狀態(tài)的維修（CBM）逐漸成為了裝備維修的主流方式。

目前在CBM中，對退化過程以及相關(guān)維修決策的研究已較為成熟［1-3］，但基于退化過程對備件訂購時間進行決策的研究相對較少。而且，研究備件的文獻也很少結(jié)合系統(tǒng)的退化過程進行研究。陶小創(chuàng)等［4］通過綜合分析備件保障概率的影響因素，預(yù)測裝備的備件需求量。楊仕美等［5］利用庫存量與裝備可用度的關(guān)系，用邊際分析法對備件庫存量進行優(yōu)化。Zhang J等［6］和 Vander Heijden M C［7］以備件滿足率為優(yōu)化目標，以費用為約束研究了備件優(yōu)化配置模型。趙建忠等［8］建立了改進系統(tǒng)備件滿足率約束下的備件優(yōu)化配置模型。蔣云鵬等［9］采用Armstrong等［10］提出的經(jīng)典聯(lián)合策略，結(jié)合 Si等［11］提出的具有參數(shù)自適應(yīng)估計能力的RUL預(yù)測方法，針對帶有狀態(tài)監(jiān)測的單部件系統(tǒng)，對備件的替換時間和備件的訂購時間進行了聯(lián)合決策。以上研究中涉及備件訂購時間優(yōu)化決策的研究較少，且模型計算復(fù)雜，在平時的裝備備件保障中難以有效地實現(xiàn)工程應(yīng)用。

基于此，本文針對平時裝備保障中的備件保障問題，著重研究了基于gamma退化過程的備件保障模型，通過連續(xù)的狀態(tài)監(jiān)測信息獲得部件的退化量閾值分布，結(jié)合Armstrong等［10］提出的經(jīng)典聯(lián)合策略，以裝備維修總費用率最小為目的，決策備件訂購時間。

1 模型基本假設(shè)

一般來說，系統(tǒng)的退化軌跡會存在差異，但仍可以通過歸納總結(jié)找到其退化規(guī)律。本文針對單系統(tǒng)（單部件）備件保障問題進行研究，為方便建模分析，作出如下假設(shè)：

①缺少備件所造成的停機損失費用率和庫存費用率均為固定值，分別表示為ks和kh；

②備件從訂貨到收貨的時間間隔是固定的，表示為L；

③初始時刻備件庫存為零；

④備件的價格固定，不隨時間而變化；

⑤備件運費計算在價格之內(nèi)，為固定值，不單獨考慮。

2 退化與備件訂購決策模型

2.1 退化模型

某系統(tǒng)的退化量用Y表示，系統(tǒng)在t時刻的退化水平用隨機變量y（t）表示，假設(shè)在初始狀態(tài)時的退化量為 0，即 y（0）=0，并且在退化過程中{y（t）}t≥0是非減的，失效時間為 Tf，失效閾值為 yF，當 y（t）≥yF，t≥0時，系統(tǒng)退化失效。在可能的分布中，Gamma分布可以用來描述連續(xù)的累計磨損過程（Abdel-Hameed，1975），并且具有對退化過程建模所需的所有屬性，既非負、平穩(wěn)增長和從零開始的獨立性的增量過程［12］。在實踐中，退化量的均值與方差通常是隨時間增長，因此，在建模中作如下假設(shè)：

假設(shè)退化過程 y（t）服從均值為 μt，方差為 σ2μt的 Gamma分布，且 y（0）=0。Gamma分布的形狀參數(shù)為α，尺度參數(shù)為β，密度函數(shù)為，其中Γ（·）為Gamma函數(shù)，其均值與方差分別為αβ和αβ2。根據(jù)以上假設(shè)，在計算給定時間t時的退化量y（t）時具有以下的密度函數(shù)：

在t時刻，求退化量y在［0，y］的分布為

由于需要確定訂購備件的時間，所以最后的表達式應(yīng)該是一個關(guān)于時間t的表達式，所以現(xiàn)在要確定在某確定退化量y時從［0，t］的時間分布，記為Fy（t）

而且可知

其中，fy（t）是在退化量為y時的時間t的概率密度函數(shù)。

由于系統(tǒng)的退化軌跡不確定，存在著多種可能，經(jīng)歸類可分為三類，如圖1所示。

圖1 Fy（t）與Ft（y）關(guān)系圖

①還沒到t時刻，系統(tǒng)的退化量就已經(jīng)達到了退化量 y，如圖 1 中曲線 1、2、3、4，此時退化軌跡從退化量為y時與橫坐標軸平行的這條線出去了；

②在t時刻系統(tǒng)的退化量達到退化量y，如圖1中曲線5，此時正是期望發(fā)生的情況；

③已經(jīng)到了t時刻，而系統(tǒng)的退化量還沒有達到y(tǒng)，如圖1中曲線6、7，要想達到y(tǒng)就需要再經(jīng)過一段時間，所以系統(tǒng)的退化軌跡從t時刻上與縱坐標軸平行的那條線出去了。

不論是哪種情況，退化軌跡要么從橫著的退化量為y的這條線出去，要么從豎著的t時刻上的那條線出去，除此之外不會再出現(xiàn)其他情況，所以這兩種情況相加得到的概率為1，即：

將t時刻退化量y的分布帶到式（4）中，就能得到退化量為y時的時間分布

所以

2.2 費用模型

當系統(tǒng)達到失效閾值時對系統(tǒng)進行更換，這時需要考慮是否有備件?，F(xiàn)在假定初始狀態(tài)即是備件被更換上的時刻，這時候是一個周期的開始，直到這個部件達到退化閾值，再次更換為止，這個周期結(jié)束。由于發(fā)生故障的時刻不確定，所以周期的長短也不確定。本文的目的是通過研究退化規(guī)律，預(yù)測系統(tǒng)到達故障閾值的時間，決策在什么時候開始訂購備件使總費用率最少。在周期過程中，有可能出現(xiàn)3種情況，如圖2所示。

圖2 備件訂購時間決策示意圖

I還沒訂購備件，系統(tǒng)就已經(jīng)出現(xiàn)故障；

II已經(jīng)訂購備件，但是訂購的備件還沒到時系統(tǒng)出現(xiàn)故障；

III系統(tǒng)出故障時正好有備件。

如圖2可知，達到退化閾值的時機不同，所產(chǎn)生的費用也不同。

通常來說，一旦設(shè)備停機，所產(chǎn)生的停機損失費會很高，遠遠高于備件的儲存費用，即ks＞＞kh。

初始時刻為0，訂購備件下單時刻t0，從下單到收到貨所需的時間為L。當系統(tǒng)在［0，t0］區(qū)間達到退化閾值時立即下單訂購備件，當系統(tǒng)達到故障閾值的時刻處于已經(jīng)下訂單到收到貨之間時，不再重新下單，而是等到備件到貨后立即進行更換。

系統(tǒng)的退化量在時間上的分布服從函數(shù)Fy（t），其密度函數(shù)為f（t）。由式（3）可知

如果在t0+L的時刻部件還沒有到達退化閾值，而這時備件已經(jīng)到貨，這時就需要對備件進行儲存，儲存?zhèn)浼a(chǎn)生儲存費用。在一個周期中保存?zhèn)浼膬Υ尜M用為：

由于系統(tǒng)每個不同個體之間會有差異，所以使用后到達退化閾值的時間也不同。但是可以根據(jù)其概率密度函數(shù)來求訂貨時間為t0，訂貨到收貨的時間間隔為L時周期長度的期望。該部件采用的是連續(xù)的狀態(tài)監(jiān)測，當退化量達到退化閾值時進行部件的更換。期望的周期長度為：

在整個運行周期中，費用率最低是我們追求的目標，相應(yīng)的目標函數(shù)為：

由于停機損失費用率ks要遠遠大于備件儲存費用率kh，并且儲存的時間越長費用越高，最好的狀態(tài)是在系統(tǒng)達到退化閾值時有備件可用，而且備件正好到貨或是儲存的時間很短，這種狀態(tài)最理想。經(jīng)分析訂購的太早和太晚都會使總費用增加，故費用率函數(shù)是一個先減后增的函數(shù)。求得費用率函數(shù)最低點對應(yīng)的t0時刻，在該時刻訂購備件，可以使總費用率最小。

3 算例分析

考慮某型裝備關(guān)鍵件平時訂貨問題，該型裝備備件保障過程可簡要分為如下幾步：

第1步：訂購備件。使用單位在合適的時間將備件需求呈報上級部門，上級部門馬上向廠家訂貨。

第2步：廠家備貨。廠家需要一定的時間生產(chǎn)準備所訂購備件。

第3步：發(fā)貨運送。廠家發(fā)貨后需要一定時間將備件運送至相關(guān)使用部門。

由經(jīng)驗可知從呈報備件需求到收到備件的間隔時間是基本固定的，變化范圍很小，基本可忽略。

該型裝備造價昂貴，且需要連續(xù)工作，一旦停機將造成重大的經(jīng)濟損失，所以要盡量保證在裝備達到退化閾值時有備件。但是該備件的保存費用比較昂貴，長期儲存?zhèn)浼黾邮褂觅M用，而且該備件有儲存壽命，不適合長期儲存。所以該裝備采取的方法是平時不儲存?zhèn)浼?，在裝備使用一段時間后訂購備件，且一次只訂購一個，使備件在部件達到故障閾值時到貨，這樣既不會產(chǎn)生儲存費用亦不會產(chǎn)生停機損失費用。

然而這只是理想情況，現(xiàn)實中部件的退化軌跡不會完全相同，其到達故障閾值的時刻也會不同。通過對大量退化軌跡的分析，研究其退化規(guī)律，制定合適的訂貨時間點，使其總費用率最小才是要解決的問題。

已知，該部件的訂購價格是固定的，不隨訂購時間而變，運費也是固定的，其儲存費用率為1000元/d，停機損失費用率為33 000元/d，退化閾值為0.1，當退化量達到0.1時即進行部件的更換。從呈報備件需求到收到貨的時間是45d。由大量的該部件退化數(shù)據(jù)求得μ=0.000 2/d，σ2=0.02。將這些數(shù)據(jù)帶入本文所建模型，采用小步長積分法進行近似計算，求得訂貨時間和費用率的關(guān)系如圖3所示。

圖3 備件訂購時間與日費用率之間的關(guān)系圖

經(jīng)過對圖中數(shù)據(jù)進行分析，最小費用率為767.698 6元/d，最佳的訂貨點是運行196 d的時候訂貨，此時的費用率最小，提前或推后都會使費用率增加。

從所有數(shù)據(jù)中，按每隔10 d取一個數(shù)據(jù)的方式，取100 d～400 d時的數(shù)據(jù)，給出如表1。

將所給數(shù)據(jù)繪制成折線圖，如圖4（橫坐標為天數(shù)，單位：d；縱坐標為費用，單位：元；范圍:100 d～400 d）。

可以看出，保存費用隨著訂貨時間的推遲而下降，損失費用隨著訂貨時間的推遲而增高，但是總費用確是先下降后上升的過程。由圖3（橫坐標為天數(shù)，單位：d；縱坐標為費用率，單位：元/d）可以看出費用率也是先下降后上升的過程，總費用和費用率幾乎在同時達到最低點，這就是實際中想要的結(jié)果。通過這個實例可以證明在實際應(yīng)用中，使用本文所建模型進行備件訂購時間的決策，可以有效減少備件儲存和使用過程中的總費用和費用率。

表1 各項費用數(shù)據(jù)表

圖4 各項費用變化曲線圖

4 結(jié)論

本文研究了基于gamma退化過程的備件訂購問題。通過對部件建立gamma退化模型，經(jīng)推導(dǎo)計算得到任意退化量下的使用時間分布，將該退化模型與改進的費用率模型聯(lián)合使用，在費用約束條件下，決策了最優(yōu)備件訂購時間，使費用率最小。并且通過案例分析對該模型進行了驗證。所得結(jié)果表明，該模型在實際備件訂購過程中確實有應(yīng)用價值，在所決策的時間內(nèi)訂購備件確實能降低總費用，使費用率最低。過早和過晚都會使費用率增加。

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