月地雙基SAR成像的快速后向投影算法研究

，，，

1. 中國航天科工二院 北京無線電測量研究所，北京 100854 2. 西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，西安 710071 3. 中國人民解放軍63610部隊，庫爾勒 841001

隨著中國月球探測事業(yè)的發(fā)展，嫦娥工程順利實施，這標志著中國正在邁入月球探測大國的行列。月球資源具有巨大的戰(zhàn)略價值，是人類社會長期可持續(xù)發(fā)展的重要支撐；月球是深空探測的的前哨站和轉(zhuǎn)運站，是人類探測宇宙、進行深空探測的重要基礎(chǔ)[1]。在地球科學應用方面，為滿足對全球變化的大尺度觀測能力的需求，月基對地觀測[2]的概念應運而生。月球作為地球天然的衛(wèi)星，其獨特的性質(zhì)可為地球的大范圍長時間觀測提供平臺[3-5]，這是普通星載合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar，SAR)[6-10]所不具備的優(yōu)越條件。

由于月基單站SAR的雙程作用距離遠，回波信噪比低。針對這個問題，本文對月地雙基SAR工作模式進行研究。月地雙基SAR的工作原理是將發(fā)射天線置于月球表面，用人造地球衛(wèi)星接收地面回波，這種工作模式的優(yōu)點是可以降低人造衛(wèi)星的設計和發(fā)射成本，提高人造衛(wèi)星工作能力和使用壽命，相比于月基單站SAR又可以顯著提高信噪比?？紤]到月、地、星之間復雜的相對運動會為成像帶來困難，本文根據(jù)月、地、星的幾何關(guān)系建立平面直角模型，考慮到由軌道彎曲引入的模型誤差，分析精確的回波二維頻譜。

現(xiàn)有的雙基SAR二維頻譜分析方法有LBF[11]法、級數(shù)反演法(Method of Series Reversion，MSR)[12]及一系列衍生方法[13-14]等，本文基于MSR原理引入模型誤差，給出精確回波二維頻譜表達式。在此基礎(chǔ)上提出了一種基于快速后向投影(Back Projection，BP)[15]的成像算法，該算法借鑒快速分級后向投影(Fast Factorized Back Projection，F(xiàn)FBP)[16]和頻譜融合[17]的處理思路，將傳統(tǒng)的頻域BP[18]算法通過頻域分塊和頻譜融合方式在滿足精確成像的前提下實現(xiàn)運算的快速化。本文最后理論分析了月地雙基SAR的信噪比表達式，并通過點仿真試驗驗證了模型誤差分析的正確性及所提出算法的有效性。

1 模型描述

月地雙基SAR將發(fā)射機置于月球表面，利用衛(wèi)星接收地球表面的反射回波，模型如圖1所示。

月球的自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期是一致的，這為月地雙基SAR的長時間觀測提供了可能性。但月球的運動十分復雜，除繞地球公轉(zhuǎn)運動外還存在太陽及大行星的攝動作用。地月模型主要參數(shù)如表1所示，由于地球與月球的自轉(zhuǎn)周期相差較大，該模型忽略月球相對運動對SAR成像的影響，僅考慮地球自轉(zhuǎn)和衛(wèi)星接收機的運動。雙基SAR回波信號表達式沿用傳統(tǒng)雙基模型[19]：

wr(·)wa(·)

(1)

式中：t和τ分別為距離快時間和方位慢時間；wr(·)和wa(·)分別為距離窗函數(shù)和方位窗函數(shù)；RT(τ)和RR(τ)分別為發(fā)射和接收信號的斜距歷史；c為光速；α為發(fā)射信號調(diào)頻率；fc為信號中心頻率。在這個模型中，可以假定地球相對靜止，月面發(fā)射天線和衛(wèi)星接收天線相對于地面目標的相對運動速度分別為vT和vR，令發(fā)射和接收天線的斜視角為θsqT和θsqR，并假設月球軌道和衛(wèi)星軌道在同一個平面內(nèi)，則斜距歷史RT(τ)和RR(τ)可以表示為：

式中：RsT和RsR分別為發(fā)射天線和接收天線在零時刻到目標點的斜距。通過分析式(1)的二維頻譜，可以在二維波數(shù)域進行距離脈壓及距離徙動校正，最后用方位匹配濾波實現(xiàn)方位向聚焦。但衛(wèi)星和月球的運行軌道是橢圓形軌道，并且存在月球天平動的影響，而式(2)和式(3)建立的基礎(chǔ)是平面直角模型，這會為模型引入誤差。綜合上述因素，會導致斜距歷史產(chǎn)生誤差ΔR，體現(xiàn)為一個受ΔR擾動的回波信號，如式(4)所示。這里需要說明的是，擾動量ΔR在實際應用中是一個已知量，因為根據(jù)已知的月球和衛(wèi)星軌道參數(shù)，可以精確求解以場景任一點為參考點的回波斜距歷程，其中包含了月球天平動和章動等復雜運動，與式(2)和式(3)建立的直角模型進行比較即可求得擾動量ΔR，并且擾動量ΔR在成像場景中是一個空變量。本文將在該模型下分析含空變誤差ΔR的精確二維頻譜表達式，從而指導對回波信號的精確補償。

表1 地月模型主要參數(shù)Table 1 Main parameters of earth-moon model

2 精確的二維頻譜分析

實現(xiàn)精確成像的前提條件是得到回波信號的精確二維頻譜，這需要考慮ΔR對回波信號二維頻譜的影響，由于ΔR是一個空變量，對于地表P點，可以將ΔR展開為三階多項式：

式中：p1，p2，p3為展開系數(shù)。同時將斜距歷史R(τ)=RT(τ)+RR(τ)在τ=0處進行泰勒展開，保留至三階多項式得到[19]：

其中，

對式(4)進行距離向Fourier變換，得到距離頻域-方位時域表達式為：

(12)

式中：fr為距離向波數(shù)譜；Wr(·)為信號在頻域中的距離向包絡。第一個相位項表示斜距歷史的包絡和相位，第二個相位項是距離脈壓因子。將式(5)～(11)帶入式(12)，并對回波進行距離脈壓，通過方位Fourier變換可以得到距離脈壓信號的二維頻域表達式：

s′(fr,τ*)·exp(-j2πfaτ*)

(13)

由駐定相位原理(Method Of Stationary Phase，POSP)可知，需要求解式(14)方程以得到駐相點τ*：

其中，令l1=k1+p1，l2=k2+p2，l3=k3+p3。令：

則根據(jù)文獻[12]中的級數(shù)反演法(Method of Series Reversion，MSR)，駐相點τ*可以表示為關(guān)于y的二次多項式：

將式(16)帶入式(13)，可以得到解析表達的距離脈壓信號二維頻譜：

s(fr,fa)=Wr(·)Wa(·)·

式中：Wa(·)為信號在頻域中的方位向包絡；

s(τ,fa)=wr(·)Wa(·)exp{-j2π(θ0fc+

式中：(x,y)為成像點的位置坐標，方位匹配濾波2相位因子Φ中包含誤差ΔR的影響。由于月地雙基SAR的發(fā)射、接收天線不同軌，因此回波信號不具備方位平移不變性，因此成像網(wǎng)格內(nèi)各點對應的λ的方位空變性是需要考慮的因素。頻域BP法[18]通過對成像網(wǎng)格內(nèi)各點計算與其精確匹配的方位濾波器可實現(xiàn)精確成像，但其運算量很大，本文研究通過頻域子孔徑BP成像及頻譜融合的方法實現(xiàn)了算法的快速化。

3 頻域子孔徑BP算法及頻譜融合

傳統(tǒng)頻域BP算法[18]需要計算成像網(wǎng)格內(nèi)所有點的方位匹配濾波函數(shù),并依次進行相干積累，這個過程為成像帶來巨大的運算量：

exp[j2πΦ(fa,x,y)]dfa

(19)

通過FFBP的處理思想，利用分解和融合可以實現(xiàn)成像的快速化。算法的初始階段將方位波數(shù)域數(shù)據(jù)按一定比例劃分為若干子塊，并劃分粗成像網(wǎng)格(xsub,y)，在劃分的過程中需要對粗成像網(wǎng)格的間隔進行限制，即采樣率需要大于方位頻域子塊的帶寬。對于第u個子孔徑，方位波數(shù)譜中心為fau，則(xp,y)點回波信號通過方位匹配濾波器組后的輸出結(jié)果：

exp{jΦ[fa,xsub,y]}dfa≈

式中：fa∈[-Δfa/2,Δfa/2]為方位子塊波數(shù)譜表達式，Δfa為方位波譜寬度；Su(xsub,y)為第u個子孔徑在粗成像網(wǎng)格成像結(jié)果的時域表達式，下一個步驟中算法將各子孔徑的成像結(jié)果在方位波數(shù)域進行拼接，實現(xiàn)方位波數(shù)譜的融合。對式(19)進行方位Fourier變換，得到第u個子塊的方位頻譜為：

(21)

算法的最后階段將各子塊數(shù)據(jù)在方位波數(shù)域進行融合，這個過程是通過循環(huán)移位和拼接實現(xiàn)的。由式(21)可知，第u個子圖像的方位波數(shù)譜中心在fau處，而波數(shù)譜寬度為Δfa，因此譜會存在折疊。需要將該孔徑的譜循環(huán)移位至fau相對于全部譜寬Δfa中的位置，各子圖像依次進行移位和拼接，可以得到完整的波數(shù)譜，這個過程如圖3所示。最后通過方位逆Fourier變換，可以得到全分辨的成像結(jié)果。

4 信噪比分析

根據(jù)信噪比[20]：

(22)

式中：Pavg為平均發(fā)射功率；G為天線增益；λ為波長；σ為目標截面積；R為雷達到目標的距離；Ls為系統(tǒng)損失；k為玻爾茲曼常數(shù)；T0為標準溫度；F為噪聲系數(shù)；ta為合成孔徑時間。對于SAR而言，合成孔徑時間ta表示為：

式中：ω為平臺角速度；δa=Dcosθsq/2為方位向分辨率；D為天線孔徑長度；θsq為斜視角。目標截面積σ表示為：

式中：σ0為地面目標的歸一化后向散射技術(shù)；δr=c/2B為距離分辨率；c為光速；B為信號帶寬；θi為波束入射角。則信噪比為：

對于月基單站SAR，信噪比表達式為：

式中：REM為地月距離；ωE為地球自轉(zhuǎn)角速度。

對于月地雙基SAR，信噪比表達式為：

式中：RS為衛(wèi)星與散射點的距離；ωS為衛(wèi)星相對于目標點的角速度；θsqR為接收天線的斜視角。在式(27)中，地月距離REM為一個較大的量。對于月基單站SAR，信噪比與REM的四次方成反比，而月地雙基SAR的信噪比僅與REM的二次方成反比?？梢娕c月基單站模式相比，月地雙基模式可以很大程度上改善回波信噪比。

5 合成孔徑時間分析

由于月地雙基SAR的合成孔徑時間主要由衛(wèi)星決定，因此可以根據(jù)衛(wèi)星參數(shù)進行合成孔徑時間的計算。令天線尺寸為D，則天線方位向波束寬度為：

接收回波信號的衛(wèi)星高度為hs，則衛(wèi)星運動的角速度為：

式中：G0為萬有引力常數(shù)；M為地球質(zhì)量；Re為地球半徑。則合成孔徑時間T的表達式為：

6 仿真試驗

本節(jié)通過點目標仿真對本文算法進行驗證，仿真參數(shù)如表2所示，發(fā)射信號選用X波段，接收衛(wèi)星軌道高度設為1 000 km，根據(jù)開普勒方程計算得到衛(wèi)星的運動速度為7 350 m/s。月球到地心的距離約為384 400 km，假設僅考慮地球自轉(zhuǎn)，月球相對于地球的運動速度約為27 634 m/s。

表2 仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters

對于場景中心點，補償軌道彎曲前后的距離徙動校正對比結(jié)果如圖4所示。圖4(a)為平面模型假設下的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)距離脈壓信號存在殘余的彎曲，圖4(b)為本文算法校正后的結(jié)果，不存在跨距離單元的徙動。圖5為點目標成像的對比結(jié)果，由于存在殘余包絡和相位誤差，圖5(a)的圖像無法聚焦，圖5(b)中本文算法可以實現(xiàn)點目標的聚焦。圖5給出的是場景中心附近點的成像結(jié)果，因此模型誤差ΔR的方位空變性并不明顯。為了說明算法對方位空變誤差的補償效果，圖6給出了方位向50 km處點目標的一維方位脈沖響應函數(shù)對比，由于補償了ΔR的方位空變性，本文算法的方位聚焦效果優(yōu)于僅補償場景中心點的算法。

7 結(jié)束語

針對月地雙基SAR的工作模式，本文詳細分析回波的精確二維頻譜，提出了一種基于快速后向投影的成像算法。通過分析可知月地雙基SAR信噪比與地月距離的二次方成反比，相對于月基單站SAR有顯著提升。通過X波段點目標仿真驗證了該方法可以補償由軌道彎曲引起的方位空變模型誤差，說明了該方法對處理月地雙基SAR成像問題的有效性。

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