基于觀測(cè)器的平臺(tái)無(wú)陀螺姿態(tài)復(fù)合控制

，，，

1. 北京控制工程研究所，北京 100190 2. 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094

未來(lái)天文觀測(cè)、高分辨率對(duì)地觀測(cè)等這類航天任務(wù)要求光學(xué)載荷實(shí)現(xiàn)亞角秒級(jí)的控制精度及極高的穩(wěn)定度[1]。傳統(tǒng)的航天器僅能實(shí)現(xiàn)0.01°的姿態(tài)控制精度[2]。而航天器星體平臺(tái)的不穩(wěn)定性將直接影響光學(xué)載荷高分辨率成像質(zhì)量[3]，尤其是敏捷衛(wèi)星，其成像積分時(shí)間內(nèi)星體平臺(tái)的微振動(dòng)嚴(yán)重降低圖像質(zhì)量[4]。為隔離抑制星體平臺(tái)微振動(dòng)，提高光學(xué)載荷成像質(zhì)量，研究人員在航天器平臺(tái)和載荷之間引入具有主動(dòng)指向控制Stewart平臺(tái)[5-7]，構(gòu)成超靜衛(wèi)星多級(jí)復(fù)合控制系統(tǒng)，并采用多級(jí)復(fù)合姿態(tài)控制技術(shù)提升載荷控制性能。在多級(jí)復(fù)合控制系統(tǒng)中，星體平臺(tái)無(wú)陀螺或陀螺故障時(shí)，載荷敏感器與星體平臺(tái)執(zhí)行機(jī)構(gòu)構(gòu)成異位系統(tǒng)，需要研究在此配置時(shí)星體和載荷姿態(tài)復(fù)合控制問(wèn)題。

研究人員設(shè)計(jì)了多種方法解決異位情況下航天器姿態(tài)復(fù)合控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[8-9]分析了航天器引入Stewart平臺(tái)時(shí)異位姿態(tài)控制的穩(wěn)定性問(wèn)題，提出了一種隔振與控制參數(shù)協(xié)同設(shè)計(jì)方法，其研究側(cè)重于隔振參數(shù)的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[10]研究了基于Stewart平臺(tái)的載荷與星體擾動(dòng)隔振的動(dòng)力學(xué)建模與姿態(tài)控制問(wèn)題，其姿態(tài)控制只涉及到航天器星體平臺(tái)控制,缺乏載荷二級(jí)控制。針對(duì)航天器平臺(tái)和載荷的兩級(jí)控制中缺乏足夠的姿態(tài)信息，文獻(xiàn)[11]采用觀測(cè)器的思想估計(jì)平臺(tái)姿態(tài)信息，在僅有Stewart平臺(tái)作動(dòng)器位移信息情況下，設(shè)計(jì)了基于觀測(cè)器的Stewart平臺(tái)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)信息估計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了載荷位置跟蹤控制。該方法中僅考慮了Stewart平臺(tái)控制，缺乏星體一級(jí)的姿態(tài)控制。針對(duì)多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)系統(tǒng)控制，文獻(xiàn)[12-13]通過(guò)構(gòu)建連續(xù)滑模觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)Stewart平臺(tái)作動(dòng)器位移和速度信息估計(jì)，從而得到Stewart平臺(tái)上平面的位姿信息(Stewart平臺(tái)下平面固定)。當(dāng)上平面信息可測(cè)量時(shí)，采用該方法可逆向估計(jì)下平面姿態(tài)信息。針對(duì)航天器姿態(tài)存在擾動(dòng)情況，文獻(xiàn)[14]給出航天器抗擾動(dòng)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)方法，為超靜衛(wèi)星多級(jí)姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)提供參考。文獻(xiàn)[15-16]將噪聲和干擾擴(kuò)張為系統(tǒng)的狀態(tài)，采用觀測(cè)器估計(jì)擾動(dòng)，實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)的估計(jì)及姿態(tài)穩(wěn)定控制。

針對(duì)超靜衛(wèi)星載荷測(cè)量敏感器和平臺(tái)執(zhí)行機(jī)構(gòu)非共基準(zhǔn)時(shí)姿態(tài)異位控制問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)超螺旋(super-twisting)觀測(cè)器，估計(jì)載荷和星體的相對(duì)角速度和星體平臺(tái)角速度信息，實(shí)現(xiàn)星體和載荷的穩(wěn)定控制。通過(guò)不同姿態(tài)控制模式校驗(yàn)觀測(cè)器和控制器的正確性。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明：在星體平臺(tái)有陀螺時(shí)，載荷能夠?qū)崿F(xiàn)0.1″指向精度；在星體平臺(tái)無(wú)陀螺時(shí)，采用觀測(cè)器估計(jì)星體平臺(tái)姿態(tài)并進(jìn)行控制，載荷能夠?qū)崿F(xiàn)0.1″指向精度。所設(shè)計(jì)的方法能夠保證星體平臺(tái)無(wú)陀螺時(shí)整星和載荷的穩(wěn)定控制，為工程實(shí)際姿態(tài)控制方案選擇提供一種參考。

1 超靜衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型

超靜衛(wèi)星包括星體平臺(tái)、撓性附件、Stewart隔振平臺(tái)及載荷等部分。如圖1所示，設(shè)I1為星體平臺(tái)慣量，m1為星體平臺(tái)質(zhì)量；I2為Stewart平臺(tái)慣量，m2為Stewart平臺(tái)質(zhì)量；I3為載荷慣量，m3為載荷質(zhì)量。設(shè)Stewart平臺(tái)第i(i=1，2，…，6)個(gè)桿li與星體平臺(tái)和載荷的交點(diǎn)分別為ai、bi，且相對(duì)于星體平臺(tái)質(zhì)心和載荷質(zhì)心的矢徑分別為ρi和qi。星體平臺(tái)與載荷通過(guò)Stewart平臺(tái)相連接。設(shè)Stewart平臺(tái)每個(gè)桿的剛度和阻尼系數(shù)分別為ki和ci。

定義xb=[rb，θb]為星體平臺(tái)廣義位移，rb、θb分別為星體平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)位移；xp=[rp，θp]為載荷廣義位移，rp，θp分別為載荷平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)位移。令x=[xp，xb]T，建立星體平臺(tái)/Stewart/載荷動(dòng)力學(xué)模型為[17-18]：

式中：ddis系統(tǒng)擾動(dòng)；系統(tǒng)參數(shù)M、K、C、U為：

式中：Ei為i×i的單位陣；fb=[Fb，τb]為星體平臺(tái)的廣義控制力，F(xiàn)b為星體平臺(tái)平動(dòng)控制力，F(xiàn)b≡0；ub為星體平臺(tái)三軸姿態(tài)控制力矩；fp=[Fp，τp]為載荷廣義控制力，F(xiàn)p為載荷三軸平動(dòng)控制力，τp為載荷三軸姿態(tài)控制力矩；r12為整星質(zhì)心O1到Stewart平臺(tái)下平面中心點(diǎn)O2的矢徑。同理，參照式(4)可得到系統(tǒng)的阻尼陣C。

2 載荷控制策略

2.1 Super-twisting觀測(cè)器設(shè)計(jì)

載荷敏感器與星體平臺(tái)組成非共位系統(tǒng)進(jìn)行姿態(tài)穩(wěn)態(tài)控制時(shí)，需要準(zhǔn)確獲得星體平臺(tái)姿態(tài)信息。在星體平臺(tái)姿態(tài)信息無(wú)法直接測(cè)量得到時(shí)，需要設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)載荷和星體之間的相對(duì)姿態(tài)和角速度，從而得到星體平臺(tái)姿態(tài)和角速度估計(jì)值。因此，需要在Stewart平臺(tái)作動(dòng)器關(guān)節(jié)空間設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，估計(jì)作動(dòng)器平動(dòng)速度及星體平臺(tái)姿態(tài)信息。常用的高增益觀測(cè)器僅能實(shí)現(xiàn)平衡點(diǎn)狀態(tài)時(shí)漸漸穩(wěn)定估計(jì)，在作動(dòng)器位移測(cè)量中含有周期擾動(dòng)時(shí)，難以實(shí)現(xiàn)較高精度的估計(jì)。采用差分法估計(jì)作動(dòng)器平動(dòng)速度信息，將顯著放大噪聲，直接影響平臺(tái)控制器性能。文中設(shè)計(jì)super-twisting觀測(cè)器，估計(jì)作動(dòng)器平動(dòng)速度，實(shí)現(xiàn)星體平臺(tái)姿態(tài)信息估計(jì)。

Stewart平臺(tái)作動(dòng)器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

由式(1)和式(5)可得作動(dòng)器關(guān)節(jié)空間等效動(dòng)力學(xué)方程為:

式中：

式中：矩陣AL21為非正定矩陣(在Jp，Jb為非負(fù)定時(shí)，可證明AL21為非正定)。同理，AL22為非正定矩陣。則在作動(dòng)器關(guān)節(jié)空間設(shè)計(jì)的super-twisting觀測(cè)器為：

定義Lyapunov函數(shù)V0為：

則有：

2.2 載荷控制器設(shè)計(jì)

在Stewart平臺(tái)關(guān)節(jié)空間進(jìn)行載荷控制器設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)載荷的穩(wěn)定控制。由于Stewart平臺(tái)各個(gè)支腿的剛度阻尼等系數(shù)存在一定的不確定

式中：f=AL21x1+AL22x2;g=BL21fp+BL22fb;ddis為擾動(dòng)。

采用觀測(cè)器式(8)可以得到x2的估計(jì)值。設(shè)計(jì)Stewart平臺(tái)關(guān)節(jié)空間的滑?？刂坡蔀閡=u0+u1,u0為系統(tǒng)的等效控制,u1為切換控制，定義如下：

式中：ε1、ε2為作動(dòng)器的位移和速度控制誤差；

系統(tǒng)的等效控制u0能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，但是容易引起執(zhí)行機(jī)構(gòu)的顫振現(xiàn)象，需要設(shè)計(jì)切換控制u1降低系統(tǒng)的顫振現(xiàn)象。

定義滑模面、twisting控制量以及切換控制u1為：

3 星體平臺(tái)控制策略

采用觀測(cè)器進(jìn)行作動(dòng)器平動(dòng)速度估計(jì)，由式(5)Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程逆向求解，即可得到星體平臺(tái)姿態(tài)信息估計(jì)值。

將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(1)單獨(dú)考慮星體平臺(tái)動(dòng)力學(xué)部分，其模型為：

定義星體平臺(tái)相關(guān)控制量誤差為：

式中：ξb=diag(ξb1，ξb2，…，ξb6)為誤差廣義力衰減系數(shù)，為正定矩陣。

設(shè)計(jì)的星體平臺(tái)的控制器為:

星體平臺(tái)控制器穩(wěn)定性分析如下。

通過(guò)穩(wěn)定性分析證明采用觀測(cè)器式(8)能夠?qū)崿F(xiàn)Stewart平臺(tái)作動(dòng)器位移和速度估計(jì)誤差收斂于平衡狀態(tài)和控制器式(24)能夠?qū)崿F(xiàn)平臺(tái)姿態(tài)和角速度誤差收斂于平衡狀態(tài)，保證星體平臺(tái)控制穩(wěn)定。

在考慮觀測(cè)器式(8)和控制器式(21)以及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)對(duì)象式(18)組成的閉環(huán)系統(tǒng)中，定義：

若滿足以下條件：

則觀測(cè)器式(8)和控制器式(23)及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)對(duì)象式(20)組成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定系統(tǒng)。

證明：

采用sb表示星體平臺(tái)控制誤差為：

考慮星體平臺(tái)動(dòng)力學(xué)式(18)和控制器式(21)，則式(24)為：

定義李雅普諾夫函數(shù)V1為：

V1沿系統(tǒng)閉環(huán)軌跡的微分為：

4 仿真校驗(yàn)

在超靜衛(wèi)星仿真平臺(tái)進(jìn)行姿態(tài)控制仿真，驗(yàn)證設(shè)計(jì)的觀測(cè)器和控制器實(shí)現(xiàn)異位系統(tǒng)姿態(tài)控制的有效性。在考慮系統(tǒng)敏感器的測(cè)量噪聲和航天器受到的高頻擾動(dòng)以及撓性振動(dòng)情況下進(jìn)行航天器姿態(tài)控制。仿真主要參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Parameters for simulation

根據(jù)表1仿真參數(shù)進(jìn)行航天器姿態(tài)控制仿真，超靜衛(wèi)星平臺(tái)擾動(dòng)主要來(lái)自于控制力矩陀螺(Control Moment Gyros,CMGs)的高頻擾動(dòng)和翼板的撓性振動(dòng)。以CMGs標(biāo)稱轉(zhuǎn)速628.3 rad/s為例，其產(chǎn)生的高頻擾動(dòng)為100 Hz。同時(shí)設(shè)置撓性振動(dòng)基頻為0.05 Hz。則星體平臺(tái)外部擾動(dòng)設(shè)置為：

d=0.01[sin(2πft+φ1) sin(2πf+φ2)

sin(2πf+φ3)]T

式中：擾動(dòng)力矩的頻率f=[0.05，100] Hz。

為了全面驗(yàn)證設(shè)計(jì)的觀測(cè)器和控制器的性能，進(jìn)行3組姿態(tài)控制仿真，具體如下：

Case 1 采用差分法，super-twisting觀測(cè)器兩種方法對(duì)比作動(dòng)器的速度估計(jì)精度。圖2給出了采用兩種方法的作動(dòng)器平動(dòng)速度估計(jì)精度對(duì)比結(jié)果。由圖2可知，super-twisting觀測(cè)器具有較高的估計(jì)精度，其作動(dòng)器估計(jì)誤差約在10-5m/s數(shù)量級(jí)。

Case 2 進(jìn)行兩種工況的姿態(tài)仿真：1)以載荷敏感器測(cè)量信息為輸入，直接將載荷姿態(tài)和角速度信息反饋給星體平臺(tái)控制器進(jìn)行姿態(tài)控制；2)以觀測(cè)器估計(jì)平臺(tái)姿態(tài)和角速度信息為輸入，進(jìn)行星體平臺(tái)姿態(tài)反饋控制。通過(guò)仿真結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證異位控制姿態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象以及觀測(cè)器估計(jì)星體姿態(tài)角速度的必要性。圖3給出了采用載荷測(cè)量反饋?zhàn)藨B(tài)控制結(jié)果，圖4給出采用觀測(cè)器估計(jì)星體平臺(tái)姿態(tài)信息后進(jìn)行姿態(tài)反饋控制。對(duì)比圖3和圖4可知，載荷測(cè)量信息直接反饋存在異位控制問(wèn)題，導(dǎo)致星體平臺(tái)姿態(tài)波動(dòng)劇烈甚至失穩(wěn)(如圖3(b)所示)，隨著時(shí)間的增加，載荷姿態(tài)也必將發(fā)散；而采用觀測(cè)器能夠準(zhǔn)確估計(jì)星體平臺(tái)姿態(tài)信息，實(shí)現(xiàn)平臺(tái)和載荷的高精度控制(如圖4所示)。其星體指向誤差優(yōu)于2″，載荷指向誤差優(yōu)于0.1″。

Case 3 在星體平臺(tái)帶剛性負(fù)載和撓性負(fù)載兩種情況下進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)驗(yàn)證觀測(cè)器和控制器的正確性。圖5～圖6分別給出了在剛性負(fù)載和撓性負(fù)載工況下進(jìn)行90°大角度敏捷姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中載荷和星體平臺(tái)姿態(tài)控制誤差對(duì)比。由圖5敏捷機(jī)動(dòng)姿態(tài)控制誤差可知，觀測(cè)器在敏捷機(jī)動(dòng)過(guò)程中能夠準(zhǔn)確估計(jì)平臺(tái)姿態(tài)信息，實(shí)現(xiàn)載荷的高精度穩(wěn)定控制。在敏捷機(jī)動(dòng)過(guò)程中，星體平臺(tái)最大指向誤差為200″，而載荷最大指向誤差僅為6″。姿態(tài)仿真結(jié)果表明，在穩(wěn)態(tài)控制時(shí)星體平臺(tái)有陀螺剛性負(fù)載和撓性負(fù)載兩種配置情況下載荷指向精度達(dá)到0.1″。由圖5～圖6可知在姿態(tài)機(jī)動(dòng)結(jié)束進(jìn)行穩(wěn)定控制時(shí)，采用super-twisting觀測(cè)器能夠準(zhǔn)確估計(jì)平臺(tái)姿態(tài)，實(shí)現(xiàn)與星體平臺(tái)有陀螺時(shí)載荷和星體同等量級(jí)的姿態(tài)控制精度。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)超靜衛(wèi)星測(cè)量敏感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)分屬于Stewart平臺(tái)兩端，載荷測(cè)量敏感器和星體平臺(tái)執(zhí)行機(jī)構(gòu)異位姿態(tài)控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了super-twisting觀測(cè)器、載荷控制器和星體平臺(tái)姿態(tài)控制器，解決了異位控制問(wèn)題。通過(guò)3組姿態(tài)控制仿真驗(yàn)證了所提出的觀測(cè)器和控制器的正確性，并得出如下結(jié)論：

1)載荷測(cè)量信息不能直接反饋平臺(tái)進(jìn)行姿態(tài)控制，易造成姿態(tài)失穩(wěn)；

2)與差分法相比，super-twisting觀測(cè)器能夠?qū)崿F(xiàn)Stewart平臺(tái)作動(dòng)器平動(dòng)速度信息估計(jì)精度由10-4m/s提高到10-5m/s；

3)所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器和控制器能夠?qū)崿F(xiàn)載荷指向誤差優(yōu)于0.1″，該指標(biāo)與平臺(tái)有陀螺時(shí)同等

量級(jí)。所設(shè)計(jì)姿態(tài)復(fù)合控制方法為工程實(shí)際姿態(tài)控制方案選擇提供一種參考。

References)

[1] LUIS M，F(xiàn)RANGK T，SATYA A. Line of sight stabilization of James Webb Space Telescope[C]//27th Annual AAS Guidance and Control Conference, February 5-9,2005. California: AAS，2005：1-15.

[2] 吳宏鑫，談樹(shù)萍. 航天器控制技術(shù)的現(xiàn)狀和未來(lái)[J]. 空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2012，38(5)：1-7.

WU H X，TAN S P. Spacecraft control：present and future[J]. Aerospace Control and Application，2012，38(5)：1-7(in Chinese).

[3] 范斌，于起峰. 衛(wèi)星平臺(tái)運(yùn)動(dòng)對(duì)高分辨率光學(xué)遙感成像系統(tǒng)的影響分析[J]. 中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2017，37(3)：86-92.

FAN B，YU Q F. Simulation analysis of platform vibration on image quality of satellite-based high-resolution optical system[J]. Chinese Spacecraft Science and Technology，2017，37(3)：86-92(in Chinese).

[4] 朱劍冰，張猛，王路遠(yuǎn). 一種敏捷衛(wèi)星積分時(shí)間的計(jì)算方法[J]. 中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2017，37(1)：97-103.

ZHU J B，ZHANG M，WANG L Y. An integral time calculation method for agile satellite[J]. Chinese Spacecraft Science and Technology，2017，37(1)：97-103(in Chinese).

[5] 王有懿，湯亮，何英姿. 超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模與解耦控制[J]. 空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2016，42(4)：13 -18.

WANG Y Y，TANG L，HE Y Z. Dynamics modeling and decoupled control method of ultra-quiet platform[J]. Aerospace Control and Application，2016，42(4)：13-18(in Chinese).

[6] WU Y，YU K P，JIAO J，et al. Dynamic modeling and robust nonlinear control of a six-DOF active micro-vibration isolation manipulator with parameter uncertainties[J]. Mechanism and Machine Theory，2015，92：407-435.

[7] ZHANG J R，GUO Z X，ZHANG Y. Dynamics characteristics of vibration isolation platforms considering the joints of the struts[J]. Acta Astronautica，2016，126：120-137.

[8] 關(guān)新，陳守磊，崔穎慧,等. 超靜敏捷衛(wèi)星隔振與控制動(dòng)力學(xué)耦合及協(xié)同設(shè)計(jì)方法[J]. 空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2015，41(1)：21-25.

GUAN X，CHEN S L，CUI Y H，et al. Dynamics coupling and integrated design in vibration isolation and attitude control design of ultra-quiet agile satellites[J]. Aerospace Control and Application，2015，41(1)：21-25(in Chinese).

[9] 關(guān)新，鄭鋼鐵. 空間相機(jī)隔振與姿態(tài)控制一體化設(shè)計(jì)[J]. 宇航學(xué)報(bào)，2013，34(2)：214-221.

GUAN X，ZHENG G T. Integrated design of space telescope vibration isolation and attitude control[J]. Journal of Astronaitics，2013，34(2)：214-221(in Chinese).

[10] ZHANG Y，ZHANG J R. The imaging stability enhancement of optical payload using multiple vibration isolation platforms[J]. Journal of Vibration and Control，2013，21(9)：1-18.

[11] CHEN S H，F(xiàn)U L C. Observer-based backsteping control of a 6-DOF parallel hydraulic manipulator[J]. Control Engineering Practice，2015，36：100-112.

[12] LEONID F，ARIE L，JORGE D. Observation and identification via high order sliding modes[J]. Modern Sliding Mode Control Theory，2008，35：293-319.

[13] KUMAR P R，ASIF B，BAND B Y. Smooth integral sliding mode controller for the position control of Stewart platform[J]. ISA Transactions，2015，58: 543-551.

[14] 杜輝，郝金華，邢林峰. 一類帶液體晃動(dòng)的航天器滑模姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)[J]. 中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2015，35(2)：63-69.

DU H，HAO J H，XING L F. Sidling-mode attitude controller design for a kind of spacecraft with fuel slosh[J]. Chinese Spacecraft Science and Technology，2015，35(2)：63-69(in Chinese).

[15] 袁國(guó)平，史小平，李隆. 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的航天器自適應(yīng)姿態(tài)控制[J]. 中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2011，31(5)：9-17.

YUAN G P，SHI X P，LI L. Adaptive controller for spacecraft attitude maneuver based on extended state observer [J]. Chinese Spacecraft Science and Technology，2011，31(5)：9-17(in Chinese).

[16] 王亮，劉向東，盛永智，等. 基于擾動(dòng)觀測(cè)器的指數(shù)時(shí)變滑模再入姿態(tài)控制[J]. 中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2013，33(4)：31-39.

WANG L，LIU X D，SHENG Y Z，et al. Disturbance observer based exponential time-varying sliding mode for the re-entry attitude control [J]. Chinese Spacecraft Science and Technology，2013，33(4)：31-39(in Chinese).

[17] JIANG H Z，HE J F，TONG Z Z，et al. Dynamics isotropic design for modified Gough-Stewart platforms lying on a pair of circular hyperboloids[J]. Mechanism and Machine Theory，2011，46：1301-1315.

[18] JIANG H Z，TONG Z Z，HE J F，et al. Dynamics isotropic design of a class of Gough-Stewart parallel manipulator lying on a circular hyperboloid of a sheet [J]. Mechanism and Machine Theory，2011，46：358-374.

[19] BHAT S P. BERSTEIN D S. Geometric homogeneity with applications to finite time stability[J]. Journal of Math control Signals Systems，2005，17：101-127.