思維可視化：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生

王英

導(dǎo)讀：

思維可視化是指以圖示或者圖示組合的方式把原本看不見的思維過程、結(jié)構(gòu)規(guī)律、思考路徑及解題方法呈現(xiàn)出來。簡單地講，就是用圖示將大腦中的思維畫出來。在解決實際問題的時候，如果適時地讓學(xué)生在紙上涂一涂、畫一畫，將思維可視化運用在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，可以實現(xiàn)隱性思維顯性化、零散知識系統(tǒng)化、解題策略更優(yōu)化、解題規(guī)律模式化，更好地培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，促進其數(shù)學(xué)思考，發(fā)展思維能力。

一、思維可視化：讓隱性的思維顯性化

俗話說：不了解病人，怎能對癥下藥？如果不了解每一個學(xué)生真實的思維起點，又怎能以學(xué)定教，順學(xué)而導(dǎo)？當(dāng)下的課堂，教師常常根據(jù)教材和教學(xué)參考書的規(guī)定，基于成人的邏輯分析，比較主觀地確定學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點，缺少一種有效載體來調(diào)動每一個學(xué)生實實在在參與到數(shù)學(xué)思維中去。而思維可視化就是將每一個學(xué)生主動思考的思維過程呈現(xiàn)出來，讓隱性的思維顯性化，進而真正找到每一個學(xué)生的思維起點，有效地促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升。

例如，清華附小易博老師在教學(xué)北師大版小學(xué)《數(shù)學(xué)》“植樹問題”時，出示了一個較為開放的問題： 在一條長20米的小路一側(cè)種樹，每隔5米種一棵數(shù)，可以種幾棵？在簡單理解題意后，要求學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗，不僅要寫出算式，還要用圖示把自己的想法畫出來。

學(xué)生獨立思考后將作品原汁原味地呈現(xiàn)在黑板上：

我們發(fā)現(xiàn)，雖然有些算式在特定情況下的結(jié)果是正確的，但所列的算式和畫出的圖示并不對應(yīng)，說明有些學(xué)生在理解題意上是有偏差的。試想如果按照一般的教學(xué)，只讓學(xué)生列式計算，不讓學(xué)生用圖示來表示思維過程，學(xué)生的思維程度就無法觀測到，有的學(xué)生甚至還處于一知半解狀態(tài)。長此以往，很可能使部分學(xué)生形成“淺思考”“錯思考”“不思考”的不良狀態(tài)，數(shù)學(xué)思維也就很難得到發(fā)展。

易老師組織學(xué)生進行作品展示，真實而又全面地暴露出了每一個學(xué)生真實的思維起點、邏輯起點、解決問題的經(jīng)驗起點。面對這些并不完美的作品，易老師不僅沒有回避，也不擔(dān)憂，而且敏銳地捕捉學(xué)生的信息資源，把握學(xué)生真實的思維狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生思維的障礙、理解的誤區(qū)…… 課堂上，他并沒有馬上把正確的答案公布出來，而是在學(xué)生思維阻滯處逗留，引導(dǎo)學(xué)生展開對話，讓學(xué)生為自己的觀點辯護，或向同伴提出質(zhì)疑，或在比較中發(fā)現(xiàn)差異，或在協(xié)商中尋求共識，將一次次的對話逼向?qū)W生思維的內(nèi)核，讓學(xué)生在解釋、辯解、講理的過程中對自己的思維做出正確的價值判斷，對學(xué)生的思維偏差做出及時的糾正，使得學(xué)生思維從“混沌”到“清晰”再到“通透”。事實上，真正的思維就是在這樣深度、開放、多維的對話過程中得以展開和深化的。因此，學(xué)生最后獲得的不僅僅是關(guān)于植樹問題的解題策略，還有數(shù)學(xué)的思想和方法。

二、思維可視化： 讓零散的知識系統(tǒng)化

成尚榮先生說：“為了兒童的發(fā)展，首先要認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)兒童，其次要尋找學(xué)科與兒童的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，再次要研究兒童是怎么學(xué)習(xí)的?！备鶕?jù)小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，他們的思維都是從點狀思維階段開始，逐步向線性、網(wǎng)狀、系統(tǒng)思維階段發(fā)展。思維可視化，要求我們在課堂教學(xué)中用圖示的方式來表達思維過程。在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步從零散走向聯(lián)系，從碎片走向系統(tǒng)，從知識層深入到思維層，從而打通數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)系統(tǒng)化構(gòu)建。

例如，蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》六年級“平面圖形的面積整理復(fù)習(xí)”一課。這部分內(nèi)容知識點容易混淆，學(xué)生不容易記憶。教學(xué)這一部分內(nèi)容時，教師可要求學(xué)生上課前巧用表格或者畫圖的方法先進行自主整理，課堂上組織學(xué)生進行交流展示、補充調(diào)整、比較提煉……這樣，學(xué)生在原生態(tài)的交流中，形成了一個強大的經(jīng)驗“交換場”、思維“碰撞場”、思想“交流場”。學(xué)生頭腦中原本單一、還沒有結(jié)構(gòu)化的思維體系，在教師的引導(dǎo)下慢慢實現(xiàn)著轉(zhuǎn)換，知識點逐漸豐滿起來，推進著淺層次學(xué)習(xí)向深度理解的進程，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

[S=ab][a][b] [r][o] [a][S=a2][a][S=πr2] [a][h][h][a][b][h][S=ah][S=ah][S=（a+b）h]

（“平面圖形的面積和計算”結(jié)構(gòu)圖）

這是一張完整的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，不僅簡潔地用圖形、字母、符號清晰展示出了每個平面圖形的計算公式，而且還用箭頭連接起了圖形與圖形之間的密切聯(lián)系，有助于引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地回憶出各平面圖形之間的轉(zhuǎn)化過程。如果將這個圖形豎過來看的話好比一棵枝繁葉茂的樹，而長方形則是這棵樹的樹根，因為其他圖形的面積計算公式的推導(dǎo)都是以長方形為基礎(chǔ)的，很好地溝通了平面圖形面積計算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成了較為完整的知識體系和思想方法系統(tǒng)，達到了融會貫通的高度。

三、思維可視化： 讓解題的策略更優(yōu)化

我們知道，數(shù)學(xué)課堂里總是存在兩條線：一條是明線，像那些所謂的知識點（概念、公式、定理等）；一條是暗線，就是所謂的數(shù)學(xué)思想和方法。部分?jǐn)?shù)學(xué)教師非常重視前者而忽視后者。比如：有些數(shù)學(xué)教師往往在出示問題后，看到學(xué)生沒有“動靜”，或者說出來的思路不在自己的“預(yù)設(shè)”之中，趕緊把最佳的路徑草草地塞給學(xué)生，費盡心機地拽著學(xué)生跳過溝壑，少走彎路。結(jié)果呢，往往一旦放手，學(xué)生仍然不能很好地解決問題。其實不同的學(xué)生自己會尋找不同的解題路徑，與其費盡心機讓學(xué)生理解老師的方法，還不如嘗試接納學(xué)生個性化的思維，順應(yīng)學(xué)生的思維，在充分展示學(xué)生不同解題策略的基礎(chǔ)上，和學(xué)生一起走在探索之路上，站在學(xué)生的角度巧妙引導(dǎo)，逐步實現(xiàn)教學(xué)策略的更優(yōu)化，使學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

莊惠芬老師在教學(xué)“握手問題”時，首先請每個小組交流討論，并將每組的解題方法一一展示在黑板上：

[（1）]

[（2）]

一幅幅簡單的示意圖，外化并折射出學(xué)生不同的思維線索、路徑和水平，有的學(xué)生的思維處在一一列舉的思維狀態(tài)，還沒有找到具體的規(guī)律；有的學(xué)生不僅畫出了簡潔的圖示，而且還用算式清楚地表示出了具體的規(guī)律。不同的解題方法，折射出學(xué)生不同的思維狀態(tài)。莊老師組織學(xué)生進行觀察、比較，在相互交流、學(xué)習(xí)、借鑒的過程中，不斷提升自己的理解、認(rèn)識和思維水平，解題的策略自然就能更優(yōu)化了。

四、思維可視化： 解題的規(guī)律模式化

提高小學(xué)生解題能力的一個很重要的方法就是通過模型化（即圖形化）來揭示習(xí)題的規(guī)律。一個有經(jīng)驗的教師常常會借助典型的習(xí)題，讓學(xué)生嘗試探究，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，糾正學(xué)生思維過程中的片面認(rèn)識乃至錯誤認(rèn)識，總結(jié)解題的思路和過程，提升學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣，提煉其中的數(shù)學(xué)模型思想，建立完善的數(shù)學(xué)分析模型圖。

例如，莊惠芬老師在學(xué)生研究完“握手問題”的新授環(huán)節(jié)后，組織學(xué)生回顧研究這個問題所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)思維過程，總結(jié)如下：

在學(xué)生全面回顧解決“握手問題”所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)思維過程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進行類比遷移，嘗試探究“5個人兩兩通電話”的問題進而廣泛應(yīng)用，大膽類比聯(lián)想，自主構(gòu)建，由“握手問題”還想到了“兩兩跳舞”“數(shù)線段”“數(shù)角”“數(shù)長方形”“數(shù)三角形”等實際問題，從而認(rèn)識到不同現(xiàn)象之間有著共同的本質(zhì)，深刻體會數(shù)學(xué)模型的抽象概括性，感受數(shù)學(xué)以簡就繁、萬象同理的神奇。世界上有做不完的數(shù)學(xué)題，但是我們可以觸類旁通，舉一反三。善于“串線”“結(jié)網(wǎng)”，建立數(shù)學(xué)模型，在完成一個板塊知識的教學(xué)后，努力引導(dǎo)學(xué)生把本板塊的知識內(nèi)容進行梳理，明確知識間的基本關(guān)系與內(nèi)在本質(zhì)的聯(lián)系。學(xué)生在掌握了這樣科學(xué)探究的數(shù)學(xué)思想方法之后，遇到類似實際問題就自然會遷移應(yīng)用，進而讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，并形成良好的思維習(xí)慣。

（作者單位：江蘇省張家港市塘市小學(xué)）

□責(zé)任編輯 周瑜芽

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