新疆瑪納斯河年徑流頻率分析

鄭錦濤,陳伏龍,張鑫厚,廖 歡

(石河子大學(xué)水利建筑工程學(xué)院,新疆 石河子 832000)

年徑流序列頻率分析對于區(qū)域水資源管理利用十分重要[1],傳統(tǒng)年徑流時間序列頻率分析要求樣本時間序列滿足獨(dú)立同分布一致性假設(shè),然而受到氣候變化及人類活動的影響,年徑流成因及影響條件變化顯著,導(dǎo)致水文序列不再滿足一致性假定,進(jìn)行年徑流序列頻率分析時需對序列非一致性加以重視。近年來,國內(nèi)外學(xué)者紛紛針對水文頻率分析的非一致性進(jìn)行了研究。Singh等[2]針對洪水序列的非一致性提出了條件概率分布模型,認(rèn)為年極值洪水以不同的概率發(fā)生在不同的季節(jié),利用全概率公式自季節(jié)性洪水序列推導(dǎo)出年極值洪水序列的頻率分布形式。Singh等[3]首次將混合分布模型應(yīng)用到非一致性水文頻率分析,但當(dāng)時對參數(shù)估計(jì)問題沒有完全解決。Alila等[4]應(yīng)用混合分布模型對Gila進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)混合分布模型比傳統(tǒng)的單分布模型更佳。宋松柏等[5]提出了基于跳躍變異的非一致性水文序列頻率分析的方法,分析渭河涇河張家山站1932—2006年年平均流量序列,獲得不同設(shè)計(jì)頻率的設(shè)計(jì)流量值。

在瑪納斯河年徑流的研究方面,陳伏龍等[6]基于瑪納斯肯斯瓦特水文站55 a水文及氣象數(shù)據(jù),采用線性回歸、趨勢分析及滑動平均等方法,分析肯斯瓦特站的徑流和氣候變化特征,并運(yùn)用Mann-Kendall和累積距平法識別出1995年為徑流時間序列的突變年份。常浩娟等[7]運(yùn)用R/S分析等分析方法對瑪納斯河紅山嘴水文站60 a的徑流資料進(jìn)行年際和年內(nèi)徑流的規(guī)律特征分析,但沒有進(jìn)行徑流分布的一致性分析?，敿{斯河年徑流分析主要集中于趨勢及變異分析,分析結(jié)果只能提供年徑流變化趨勢等相關(guān)內(nèi)容,對于瑪納斯河年徑流序列非一致性分布研究較少。筆者采用Hurst指數(shù)對瑪納斯河1956—2014年徑流序列的非一致性進(jìn)行定量判斷,采用滑動t檢驗(yàn)、Mann-Kendall檢驗(yàn)對序列變異年份進(jìn)行識別,并構(gòu)建混合分布模型和條件概率分布模型進(jìn)行頻率分析,為瑪納斯河設(shè)計(jì)年徑流的計(jì)算提供新參考。

1 研究方法

1.1 變異點(diǎn)診斷方法

1.1.1 Hurst指數(shù)分析方法

標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)分析假定系統(tǒng)基本是隨機(jī)的,產(chǎn)生時間序列的過程有較大的自由度,而且序列內(nèi)部的關(guān)系是極其復(fù)雜的,對其進(jìn)行確定性的說明難度很大,而自然界中充斥著大量的非線性隨機(jī)和確定性系統(tǒng),比如河流年徑流序列。為了研究這些系統(tǒng),需要一種非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法。Hurst[10]利用R/S分析研究許多自然系統(tǒng),而且通過這個方法可以區(qū)分隨機(jī)和非隨機(jī)系統(tǒng)、趨勢的持續(xù)、循環(huán)的持續(xù)和長期非函數(shù)周期時間序列與隨機(jī)序列。

(1)

這樣Z具有零均值性,由Z產(chǎn)生一個累計(jì)時間序列Y:

Yi,r=(Zi+Zr) (r=2,3,…,n)

(2)

由此產(chǎn)生新的時間序列Y,由定義可知,序列最后一個Yn,n將為0。

R/S的重標(biāo)極差Rn為

Rn=max{Yi,r}-min{Yi,r}

(3)

對于Rn,下標(biāo)n表明對于X={X1,X2,…,Xn}是一個調(diào)整過的極差。因?yàn)閆已經(jīng)被調(diào)整為零均值,Y的最大值總是大于或等于0,而最小值總是小于或等于0。

(R/S)n=cnH

(4)

式中:c為常數(shù);H為Hurst指數(shù)。

1.1.2 滑動t檢驗(yàn)

滑動t檢驗(yàn)是通過考察兩組樣本平均值的差異是否顯著來檢驗(yàn)突變。其基本思想是把一時間序列中的兩段子序列均值有無顯著差異看作來自兩個總體均值有無顯著差異的問題來檢驗(yàn)。如果兩段子序列的均值差異超過了一定的顯著性水平,可以認(rèn)為均值發(fā)生了質(zhì)變,有突變發(fā)生。

1.1.3Mann-Kendall檢驗(yàn)

Mann-Kendall檢驗(yàn)法是一種應(yīng)用廣泛的檢驗(yàn)時間序列趨勢變化及突變的非參數(shù)性檢驗(yàn)方法。其計(jì)算方法較為簡便。對于具有n個子序列的樣本X,計(jì)算其統(tǒng)計(jì)量Uk與Bk。當(dāng)Uk或Bk出在臨界直線外側(cè)時(當(dāng)置信水平為95%時,臨界值為1.96),否定零假設(shè),表明上升(下降)的趨勢顯著。超過臨界直線的部分被認(rèn)為是出現(xiàn)變異的序列。如果曲線Uk和Bk出現(xiàn)交點(diǎn),并且交點(diǎn)在臨界線之間,那么交點(diǎn)對應(yīng)的年份則為突變開始的年份。

1.2 非一致性年徑流序列頻率分析

1.2.1 基于條件概率分布模型頻率分析方法

條件概率分布法由Singh等[2]提出,宋松柏等[5]在參考國外學(xué)者對非一致水文時間序列頻率分析的基礎(chǔ)上,依據(jù)概率論原理,考慮到水文序列可能存在跳躍變異,建立了一種便于計(jì)算的非一致時間序列頻率分析模型。

假設(shè)一個時間序列容量為N,對其進(jìn)行變異性診斷并對各變異點(diǎn)進(jìn)行物理成因分析,將全時間序列劃分為s個子序列。對其進(jìn)行頻率分析需滿足以下前提:

a. 各個子序列Xi物理成因相同,服從同一分布Pi(x),不同子序列可以采用不同的分布。

b.s個子序列Xi相互獨(dú)立,以下2s-s-1個等式成立,即

(5)

c. 各個子序列中水文變量X發(fā)生概率可能不同。但滿足: 若{Ai}為水文變量X發(fā)生在第i個時間段內(nèi)事件,則

(6)

d. {Ai}互不相容,即Ai∩Aj=Φ(i≠j;i,j=1,2,…,s)。

基于以上假定,可以推導(dǎo)出非一致性水文序列頻率分析的條件概率分布模型。

事件B={X≤x}一定包含于事件{Ai}(i=1,2,…，s)中,根據(jù)全概率公式,非一致性水文序列的分布函數(shù)F(x)為

(7)

假定P(xAi)(i=1,2,…,s)連續(xù)可微,則非一致性水文序列的密度函數(shù)f(x)為

(8)

考慮到瑪納斯河水文及氣象等資料相對匱乏,年徑流序列長度較短,無法做到精確劃分出若干個子序列,宋松柏等[5]建議將河流水文時間系列劃分為兩段,找到一處最為顯著的變異點(diǎn)即可。

假設(shè)子序列長度分別為n1和n2,分別采用P-Ⅲ型曲線進(jìn)行擬合,整理歸納得出全序列超過限制頻率的理論頻率公式如下:

(9)

式中αi、βi、a0i(i=1,2)分別為fi(x)分布的形狀、尺度和位置參數(shù)。

1.2.2 基于混合分布模型頻率分析方法

混合分布法最早由Singh等[3]提出,后來得到了李子遠(yuǎn)等[11]的關(guān)注,在水文頻率分析中得到廣泛的應(yīng)用?；旌戏植寄Ｐ图俣ǚ且恢碌乃臉颖拘蛄杏蒶個子序列混合而成,即:

F(x)=α1F1(x)+α2F2(x)+…+αkFk(x)

(10)

式中:Fi(x)為子序列的累積分布函數(shù)；αi為相應(yīng)子序列權(quán)重系數(shù),滿足α1+α2+…+αk=1。

混合分布模型構(gòu)建需要調(diào)取大量水文及氣象資料對年徑流成因進(jìn)行詳細(xì)分析,根據(jù)年徑流的不同物理影響因素將年徑流序列劃分為相應(yīng)子序列。但子序列數(shù)量越多,待估參數(shù)就會越多,參數(shù)估計(jì)難度會越大,所以子序列的個數(shù)一般保持在最低限度。由于瑪納斯河年徑流時間序列較短,劃分成多個子序列反而會降低參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確度,故假設(shè)混合分布模型由兩個子序列組成。

關(guān)于混合分布模型子序列的劃分,設(shè)間斷點(diǎn)的初始位置為考慮物理成因不同造成的年徑流序列的突變位置,但是考慮到可能存在一些隱性信息的流失,不應(yīng)過分強(qiáng)化突變位置的固定性,所以間斷點(diǎn)位置可能并不固定,可以根據(jù)實(shí)際需要在一定條件下進(jìn)行調(diào)整。

假設(shè)非一致性全時間序列X樣本數(shù)為n,變異點(diǎn)位置為τ。假設(shè)變異點(diǎn)之前的序列為X1,服從概率密度函數(shù)為f1(x)的分布;變異點(diǎn)之后的序列為X2,服從概率密度函數(shù)為f2(x)的分布;非一致性全時間序列X服從概率密度函數(shù)為f(x)的混合分布,即

f(x)=αf1(x)+(1-α)f2(x)

(11)

式中:α為權(quán)重系數(shù)。

SL 44—2006《水利水電工程設(shè)計(jì)洪水計(jì)算規(guī)范》規(guī)定水文變量采用P-Ⅲ曲線進(jìn)行擬合。假設(shè)兩個子序列服從P-Ⅲ分布,其概率密度函數(shù)f1(x)和f2(x)的表達(dá)式分別為

(12)

(13)

則采用超過制頻率形式的混合分布的理論頻率分析公式為

(14)

式中αi、βi和a0i分別為fi(x)分布的形狀、尺度和位置參數(shù)。

混合分布的參數(shù)估計(jì)方法主要有極大似然估計(jì)(MLE)[12]、線性矩估計(jì)(LME)[13]和間隔最大積估計(jì)[14](MPSE)等,但傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)方法計(jì)算過程復(fù)雜并且精度不足[1]。成靜清等[15]認(rèn)為混合分布的參數(shù)估計(jì)可以采用模擬退火算法,模擬退火算法較傳統(tǒng)參數(shù)估計(jì)方法運(yùn)算高效且不受參數(shù)個數(shù)的限制,但直接使用模擬退火算法得到的Cs/Cv值與國家規(guī)范推薦值差距較大,物理意義有待商榷[1]。針對退火算法Cs/Cv值偏大問題,參考瑪納斯河上游肯斯瓦特水文站、煤窯水文站及附近水文站實(shí)測水文資料資料確定Cs/Cv值的變化范圍為[2.5,4.5],以此為約束條件,構(gòu)建離差絕對值和(ABS)最小的目標(biāo)函數(shù),采用模擬退火算法對混合分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

模擬退火算法是一種擬合非線性函數(shù)的模型,適用于求解組合問題的全局最優(yōu)解問題[16],計(jì)算策略如下:

a. 采用矩法初估參數(shù),給定初始解ω,計(jì)算目標(biāo)函數(shù)f(ω)。

b. 擾動產(chǎn)生新解ω′,計(jì)算目標(biāo)函數(shù)f(ω′)。

c. 依據(jù)Metropolis準(zhǔn)則計(jì)算Δf=f(ω′)-f(ω),若Δf≤0則接受f(ω′)作為新的當(dāng)前解f(ω),否則以概率exp(-Δω/ω)接受f(ω′)作為新的當(dāng)前解f(ω)。

d. 緩慢降低溫度重置迭代數(shù)次,求解最優(yōu)解。

2 瑪納斯河分析

瑪納斯河流域處于天山北坡、準(zhǔn)噶爾盆地南部。地理位置于東經(jīng)85°01′～86°32′,北緯43°27′～45°21′[7]。流域面積26 500 km2,地勢東南高,西北低,地形坡降約為1/30～1/100,為內(nèi)陸干旱區(qū),具有顯著大陸性氣候,夏季炎熱,冬季干冷,年均氣溫6.4°C,年降水量110～200 mm?，敿{斯河全長324 km,多年平均徑流量12.53億m3,是準(zhǔn)噶爾盆地流量最大、流程最長的內(nèi)陸河,屬于暴雨型與融雪型混合補(bǔ)給的山溪性河流[8-9]。

圖1 瑪納斯河年徑流R/S分析

2.1 年徑流時間序列變異程度分析

對瑪納斯河1956—2014年年徑流序列進(jìn)行R/S分析,結(jié)果如圖1所示。若系統(tǒng)獨(dú)立同分布,則H=0.5。由圖1可知,H=0.929 3,表明瑪納斯河年徑流序列數(shù)據(jù)點(diǎn)范圍超過了隨機(jī)過程可能覆蓋的范圍,序列間各點(diǎn)必定是相互影響的,根據(jù)Hurst指數(shù)變異程度分級表(見表1)判斷出瑪納斯河年徑流序列存在巨變異。傳統(tǒng)水文頻率分析一致性假定顯然與實(shí)際情況不符,需要進(jìn)一步確定其具體變異年份。

表1 Hurst指數(shù)的變異程度分級[17]

2.2 年徑流序列變化趨勢及變異分析

2.2.1 滑動t檢驗(yàn)

利用滑動t檢驗(yàn)對瑪納斯河1956—2014年年徑流序列進(jìn)行趨勢檢驗(yàn),結(jié)果如圖2所示。取步長n1=n2=5,給定顯著性水平α=0.05,t0.05=±2.306,自由度v=8。由圖2可知,1956—2014年間有兩次t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值超過顯著性水平,表明年徑流序列發(fā)生兩次顯著突變, 1994—1999年年徑流由多變少，而2002—2004年年徑流又由少變多。雖然2000—2002年年徑流增多,2004—2008年年徑流減少,但均未達(dá)到顯著性水平。1995年年徑流檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值t最小(t=-4.082),因此1995年為年徑流序列突變年份。

圖2 瑪納斯河年徑流滑動t檢驗(yàn)曲線

圖3 瑪納斯河年徑流Mann-Kendall檢驗(yàn)

2.2.2Mann-Kendall檢驗(yàn)

利用Mann-Kendall檢驗(yàn)對瑪納斯河1956—2014年年徑流序列進(jìn)行趨勢分析,結(jié)果如圖3所示。由圖3可知,Uk曲線在顯著性水平為0.05情況下,1956—2003年年徑流呈不規(guī)則的周期波動,變化趨勢未達(dá)到顯著水平;而2003—2012年,年徑流有明顯的增長趨勢,尤其在2007—2012年,超過95%置信水平(u0.05=±1.96),表明年徑流的增長趨勢是顯著的。根據(jù)Uk和Bk曲線交點(diǎn)位置確定其突變年份是1995年,這與滑動t檢驗(yàn)結(jié)論相一致。

2.3 年徑流序列模型對比分析

2.3.1 參數(shù)估計(jì)

對混合分布模型以ABS為目標(biāo)函數(shù),根據(jù)瑪納斯河上游肯斯瓦特水文站、煤窯水文站及附近水文站實(shí)測水文資料資料確定Cs/Cv值的變化范圍為[2.5,4.5],以此條件為約束,采用模擬退火算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),而條件概率分布、P-Ⅲ分布以WLS為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無偏估計(jì)。其結(jié)果見表2、表3。

表2 混合分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表3 條件概率分布及P-Ⅲ分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表4 瑪納斯河設(shè)計(jì)年徑流成果比較 億m3

由表2、表3可知,混合分布模型與條件概率分布模型變異年份前后的年徑流序列均值分別增加了23.98%和31.35%,變差系數(shù)分別增加了65.68%和45.67%,偏態(tài)系數(shù)分別增加了64.95%和65.71%。由于環(huán)境變化導(dǎo)致年徑流序列變異年份前后參數(shù)變化顯著,導(dǎo)致傳統(tǒng)年徑流頻率分析方法的一致性假設(shè)不再滿足。因此,對瑪納斯河年徑流頻率分析進(jìn)行非一致性考慮更加符合實(shí)際情況。

2.3.2 年徑流時間序列各分布擬合

對于條件概率分布模型,式(14)中變異點(diǎn)將年徑流序列(n=59)劃分為1995年以前(n1=40)序列A1和1980年以后(n2=19)序列A2,即s=2,P(A1)=40/59,P(A2)=19/59。混合分布模型由參數(shù)估計(jì)結(jié)果,按式(19)計(jì)算年徑流序列混合分布理論頻率?，敿{斯河年徑流序列的不同分布擬合曲線如圖4所示,設(shè)計(jì)年徑流成果比較見表4。

圖4 瑪納斯河年徑流時間序列分布擬合

由圖4可知,擬合曲線上部混合分布和條件概率分布相近,與P-Ⅲ分布存在較大差異;擬合曲線中部混合分布擬合曲線有更大概率通過年徑流實(shí)測值,擬合效果更佳;擬合曲線下尾段3種模型與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合度高且無明顯波動,擬合較好。由于混合分布模型和條件概率分布模型考慮了年徑流序列的非一致性,采用兩條不同參數(shù)的P-Ⅲ型曲線進(jìn)行擬合,比傳統(tǒng)P-Ⅲ型分布擬合曲線與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合效果更佳。

由表4可知,3種模型在不同設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)情況下,年徑流設(shè)計(jì)值存在較大差異。當(dāng)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為50～5000年一遇條件下,混合分布模型設(shè)計(jì)成果與傳統(tǒng)P-Ⅲ分布模型對比變化范圍為3.29%～4.07%,而在相同設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)情況下,混合分布模型與條件概率分布模型變化比例最大僅為0.95%,表明混合分布和條件概率分布考慮年徑流的非一致性,所以設(shè)計(jì)值相近,但由于模型構(gòu)建原理不同,故設(shè)計(jì)結(jié)果存在細(xì)微差異?，F(xiàn)行規(guī)范采取一致性P-Ⅲ分布模型進(jìn)行設(shè)計(jì)年徑流計(jì)算與考慮非一致性模型相比差異較大,存在一定的設(shè)計(jì)風(fēng)險。

2.3.3 模型擬合檢驗(yàn)與擬合優(yōu)度比較

對于瑪納斯河1956—2014年年徑流序列分布的擬合進(jìn)行擬合檢驗(yàn)并對不同擬合分布進(jìn)行擬合優(yōu)度比較。采用Kolmogorov-Smirnov法檢驗(yàn)觀測的時間序列經(jīng)驗(yàn)分布是否服從混合分布模型、條件概率分布模型,并對其擬合優(yōu)度進(jìn)行比較評價。構(gòu)造柯爾莫哥洛夫統(tǒng)計(jì)量Dn為

(15)

表5 瑪納斯河年徑流序列分布擬合檢驗(yàn)及擬合優(yōu)度

由表5可知, P-Ⅲ分布、條件概率分布和混合分布對應(yīng)的柯爾莫哥洛夫統(tǒng)計(jì)值分別為0.106 0、0.056 2和0.049 8,均小于臨界統(tǒng)計(jì)值0.177 1,通過擬合檢驗(yàn)。根據(jù)ABS、OLS、AIC擬合優(yōu)度結(jié)果,混合分布模型各項(xiàng)擬合優(yōu)度評價值分別為0.856 5、0.018 6和-456.35,均為三類模型最優(yōu)值,故瑪納斯河年徑流序列的最優(yōu)分布模型為混合分布模型。

3 結(jié) 論

a. 瑪納斯河1956—2014年年徑流序列的Hurst指數(shù)為0.929 3,存在巨變異。1995年為瑪納斯河年徑流序列變異年份。

b. 混合分布模型的擬合曲線上部和條件概率分布相近,與P-Ⅲ分布存在較大差異;混合分布模型的擬合曲線中部比條件概率分布和P-Ⅲ分布擬合效果更佳;擬合曲線下尾段三種模型擬合度高且無明顯波動,擬合較好。混合分布模型比P-Ⅲ型分布模型、條件概率分布模型擬合優(yōu)度更佳,更適于對瑪納斯河年徑流進(jìn)行頻率分析。

c.混合分布與傳統(tǒng)P-Ⅲ分布設(shè)計(jì)年徑流成果差異顯著,表明依照現(xiàn)行的P-Ⅲ分布對瑪納斯河水資源進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計(jì)會存在較大安全隱患。因此,為了提高瑪納斯河水資源利用可靠性和管理的科學(xué)性,有必要考慮年徑流非一致性的最優(yōu)分布模型——混合分布模型對現(xiàn)行瑪納斯河設(shè)計(jì)年徑流進(jìn)行修訂。

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