壓電陶瓷精密位移系統(tǒng)的變論域模糊控制法

（鄭州輕工業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，鄭州 450002）

壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器（PZT）是利用其逆壓電效應(yīng)從而實(shí)現(xiàn)位移的輸出的執(zhí)行器件。壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器具有體積小、響應(yīng)快、集成度高等特點(diǎn)，克服了傳統(tǒng)位移執(zhí)行器精度不足且機(jī)構(gòu)復(fù)雜等問(wèn)題。在光學(xué)精密工程、微機(jī)械系統(tǒng)、MEMS技術(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1]。

在高精密定位系統(tǒng)當(dāng)中，應(yīng)用較為廣泛的就是壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器，通過(guò)陶瓷兩端施加高電壓，即可實(shí)現(xiàn)位移的輸出。但是由于壓電陶瓷本身的遲滯性和蠕變性，極大地限制了其在控制過(guò)程中的輸出精度。通過(guò)構(gòu)建一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)壓電陶瓷的實(shí)時(shí)控制，相比于傳統(tǒng)的PID控制系統(tǒng)，模糊控制（fuzzy）系統(tǒng)能夠在線整定控制參數(shù)，將PID控制與模糊控制結(jié)合形成模糊PID控制（fuzzy-PID）有更為優(yōu)秀的控制效果。進(jìn)一步，模糊控制當(dāng)中較為依賴模糊規(guī)則的制定且模糊控制過(guò)程能對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行改變，但是模糊控制器并沒有隨著控制過(guò)程發(fā)生變化，因此通過(guò)對(duì)論域的改變，也就是對(duì)伸縮因子的改變，從而形成了變論域模糊PID控制，最終應(yīng)用于壓電陶瓷位移系統(tǒng)。

1 壓電陶瓷定位系統(tǒng)

本文涉及的壓電陶瓷微定位系統(tǒng)，由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源、PZT、定位機(jī)構(gòu)、測(cè)微儀和數(shù)據(jù)采集卡（NI ELVIS II）構(gòu)成，如圖1所示。采用蘇州博實(shí)公司生產(chǎn)的HPV驅(qū)動(dòng)電源，輸出電壓 （Ui）對(duì)PZT（SABS型）進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，測(cè)微儀選取電容測(cè)微儀（LVDT型）對(duì)輸出位移（Xout）進(jìn)行測(cè)量，最終將測(cè)量的數(shù)據(jù)匯入數(shù)據(jù)采集卡當(dāng)中，通過(guò)電腦當(dāng)中的LabVIEW軟件，對(duì)輸入和模擬輸出進(jìn)行控制。

圖1 微位移系統(tǒng)硬件控制框圖Fig.1 Hardware block diagram of micro-displacement system

2 壓電陶瓷的數(shù)學(xué)模型

2.1 壓電陶瓷的原理

壓電陶瓷具有正、逆壓電效應(yīng)，在施加電壓與作用力的情況下分別輸出位移和電壓。本文主要針對(duì)其逆壓電效應(yīng)，在強(qiáng)電場(chǎng)的作用下，壓電陶瓷內(nèi)部的電介質(zhì)發(fā)生形變，從而產(chǎn)生了位移，其位移大小與電場(chǎng)的大小成正比，壓電系數(shù)與其內(nèi)部壓電陶瓷電荷密度等有關(guān)系。因此PZT由于工藝不同，其輸出曲線也不盡相同，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)可知，在施加電壓較小時(shí)，其輸出曲線呈現(xiàn)線性關(guān)系。隨著電壓增加，壓電陶瓷的伸縮效應(yīng)增加，但同時(shí)由于壓電陶瓷的蠕變性和遲滯性，其輸出曲線呈非線性的特點(diǎn)。

2.2 壓電陶瓷電容模型

壓電陶瓷在施加電壓時(shí)，由于其內(nèi)部晶體的運(yùn)動(dòng)，有蠕變性和遲滯性等特點(diǎn)，因此傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分析較為繁瑣。壓電陶瓷兩端施加電壓的共振頻率較高，一般高于10 kHz，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于共振頻率，因此在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，壓電陶瓷可以看做電容、電感和電阻的等效電路模型，如圖2所示[2]。

圖2 壓電陶瓷等效模型Fig.2 Eqivalent model of PZT

由ΣUi＝0，和ΣIi＝ΣIo可得：

此外

即

對(duì)式（5）拉普拉斯轉(zhuǎn)換后可得：

由壓電陶瓷本身特性考慮，在施加電場(chǎng)的情況下，壓電陶瓷的輸出位移與其內(nèi)部電荷之間的關(guān)系為[3]

即：

根據(jù)簡(jiǎn)化后的模型，PZT將其作為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)的表現(xiàn)，因此可以得到壓電陶瓷自身特性與位移與電壓的關(guān)系為

式中：dc為PZT位移轉(zhuǎn)換系數(shù)；τ為工作時(shí)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)；k為壓電陶瓷疊片的彈性模量。

因此可以得到壓電陶瓷在被施加電壓時(shí)的數(shù)學(xué)模型為[4]

3 變論域模糊控制器的設(shè)計(jì)

3.1 模糊PID控制器

PID控制器是工業(yè)工程中應(yīng)用最為廣泛的控制器，其通過(guò)在控制過(guò)程中的比例、積分、微分組成控制量，從而對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行實(shí)時(shí)控制[5]。

模糊PID控制是將PID控制與模糊控制相結(jié)合，通過(guò)對(duì)控制過(guò)程中的誤差e以及誤差變化率ec的變化的分析，經(jīng)過(guò)模糊控制器規(guī)則庫(kù)的推理，最終控制比例、積分、微分3個(gè)控制參數(shù)的大小，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的實(shí)時(shí)控制，模糊推理規(guī)則庫(kù)的精確程度直接關(guān)系推理精度，規(guī)則庫(kù)越復(fù)雜精確，則輸出變量越精確。

式中：kp0，ki0，kd0是 PID 控制器初始控制變量；Δkp0，Δki0，Δkd0是經(jīng)過(guò)模糊推理后的輸出變量。其控制器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 模糊控制器模型Fig.3 Fuzzy controller model

控制器采用雙輸入（e，ec）、三輸出（Δkp0，Δki0，Δkd0）的結(jié)構(gòu)形式，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，將輸入和輸出變量的模糊控制論域同時(shí)設(shè)定為｛-E，E｝，其推理的模糊子集設(shè)定為［NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB］，并給出量化等級(jí)。利用Matlab中的模糊推理工具箱，對(duì)模糊規(guī)則和模糊語(yǔ)言進(jìn)行設(shè)定，本文只給出Δkp0的模糊控制規(guī)則，如表1所示。

表1 kp0的模糊控制規(guī)則Tab.1 Fuzzy control rule of kp0

模糊推理中有Mamdani法、Larsen法、Zadeh法等，本文采用常見的Mamdani法進(jìn)行推理，解模糊則采用加權(quán)平均解模糊方法，如下：

根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行的動(dòng)態(tài)范圍，e=［emin，emax］，ec=［ecmin，ecmax］，Δkm=［Δkmmin，Δkmmax］。因此論域的變換公式為[6]

式中：Ke、Kec、LK（m）為確定量化因子和比例因子。

3.2 變論域模糊控制器

模糊PID控制器比一般的PID控制器在控制效果上有更優(yōu)秀的表現(xiàn)，但是相比于其他智能控制方法，模糊控制器在控制前期一旦確定控制策略則無(wú)法更改，這樣就限制了其自適應(yīng)控制的能力。李洪興教授最早在1997年提出了模糊控制器的智能“升級(jí)”，也就是將控制過(guò)程中，控制變量的論域隨著誤差的變化而變化。這樣是為了避免當(dāng)誤差在較大范圍內(nèi)變化時(shí)，論域也會(huì)增大，隨之會(huì)帶來(lái)相對(duì)控制規(guī)則的減小、控制精度的降低。而變論域的策略能在控制過(guò)程當(dāng)中實(shí)現(xiàn)論域的智能增大或者縮小[7]。

模糊控制的本質(zhì)就是插值器，而變論域的工作方式就是變相地對(duì)插值進(jìn)行加密，變相地增大控制的規(guī)則。其控制原理如圖4所示。

圖4 變論域工作原理Fig.4 Working principle of variable-universe

若模糊控制器的輸入的論域?yàn)椋?E，E］，輸出的論域?yàn)椋?U，U］，通過(guò)論域伸縮因子α（x）、 β（y），z 則論域變化為［-α（x）E，α（x）E］、［-β（y）U， β（y）U］。

因此伸縮因子α、β分別為[8]

式中：λ∈（0，1）；k＞0；0＜τ＜1；K 為比例常數(shù)； β（0）取0。

在變論域模糊控制器中，根據(jù)誤差e以及誤差變化率ec的變化，作用于輸入與輸出量的伸縮因子（α（x）、β（y）），通過(guò)伸縮因子的改變，最終作用于模糊控制器的比例因子 （LK（m），m=1，2，3）和量化因子（Ke、Kec）。 控制過(guò)程中，由式（16）可知，比例因子增大，則輸出論域增大；量化因子增大，則輸入論域減小，反之亦然。因此變論域模糊控制器的實(shí)質(zhì)就是改變控制器的比例因子與量化因子從而得到論域改變的效果，提高控制精度。其控制框圖如圖5所示。

3.3 系統(tǒng)仿真機(jī)及結(jié)果

用Matlab中Simulink環(huán)境下分別對(duì)壓電陶瓷微位移系統(tǒng)、變論域自適應(yīng)模塊、模糊PID控制器和傳統(tǒng)PID控制器進(jìn)行建模。由于Matlab不提供變論域模糊控制箱，因此一般使用S函數(shù)或者使用Simulink獨(dú)立對(duì)模糊控制模塊進(jìn)行建模。本文使用Simulink對(duì)變論域模塊直接進(jìn)行建模，如圖6所示。將變論域模糊控制模塊與模糊PID控制器（圖7）結(jié)合，最終形成了自適應(yīng)模糊PID控制系統(tǒng)。為了避免在建模過(guò)程中各部分排布混亂，因此將3種控制器分別整合為子系統(tǒng)，并布局在同一輸出下，如圖8所示，從上至下分別為變論域模糊控制系統(tǒng)、模糊PID控制系統(tǒng)和PID控制系統(tǒng)。

圖5 變論域控制器工作原理Fig.5 Principle of variable-universe controller

圖6 變論域控制模塊Fig.6 Model of variable-universe controller

圖7 模糊PID控制模塊Fig.7 Module of fuzzy-pid controller

圖8 三種控制方法Fig.8 Three kinds of control method

3.4 系統(tǒng)仿真

利用Matlab進(jìn)行仿真，設(shè)定輸入階躍響應(yīng)為1，仿真時(shí)間為10，選用定步長(zhǎng)方式，算法選取ode3（bogacki-shampine）。對(duì)圖8所示的仿真模型進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖9所示。仿真結(jié)果顯示，3種控制方法達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間分別為1.9 s、3.2 s和3.7 s，可以看出隨著時(shí)間的增加，變論域控制效果越來(lái)越明顯，其曲線的上升速度明顯變快，能夠快速地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖9 三種控制的方法的階躍響應(yīng)曲線Fig.9 Step response curves of three control method

在系統(tǒng)為t=6時(shí)，加入振幅為0.4、周期為10的干擾信號(hào)，設(shè)定其占空比為1%，可以看出變論域模糊控制器對(duì)干擾的穩(wěn)定效果比模糊PID與PID控制更優(yōu)秀，在擾動(dòng)發(fā)生開始到恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)間要比其它2種方法短，具有較好的魯棒性。

4 結(jié)語(yǔ)

變論域模糊PID控制方法將模糊控制器與PID控制器相結(jié)合，不僅僅能夠在線整定比例、積分、微分3個(gè)控制參數(shù)，而且還能對(duì)模糊控制器的論域進(jìn)行調(diào)節(jié)，變相地?cái)U(kuò)大了控制規(guī)則，提高了控制精度。一般在模糊控制器能夠使用的情況，變論域控制系統(tǒng)都能適用，經(jīng)過(guò)仿真結(jié)果可以看出，該方法能夠表現(xiàn)出更為優(yōu)良的控制效果，特別是在對(duì)于壓電陶瓷這種具有大遲滯性等特點(diǎn)的非線性模型。在面對(duì)干擾的情況下，變論域模糊PID控制器也有不錯(cuò)的表現(xiàn)，抗干擾能力強(qiáng)，具有良好的工程應(yīng)用前景。

圖10 干擾控制曲線Fig.10 Interfence control curve

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