基于Markov模型的多狀態(tài)不可修元件可靠性評(píng)估

李志強(qiáng), 徐廷學(xué), 董 琪, 劉玉東

(1.海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001； 2.中國(guó)人民解放軍95080部隊(duì)，廣東 汕頭 515000)

基于Markov模型的多狀態(tài)不可修元件可靠性評(píng)估

李志強(qiáng)1, 徐廷學(xué)1, 董 琪1, 劉玉東2

(1.海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001； 2.中國(guó)人民解放軍95080部隊(duì)，廣東 汕頭 515000)

運(yùn)用元件多狀態(tài)可靠性理論建?？梢钥朔鹘y(tǒng)二元模型進(jìn)行可靠性評(píng)估造成信息遺失的缺點(diǎn)，提高評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性。針對(duì)現(xiàn)有模型主要集中于元件漸變失效研究的現(xiàn)狀，引入Markov過(guò)程后，闡述了元件多狀態(tài)的定義，在元件多狀態(tài)連續(xù)時(shí)間Markov過(guò)程推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，分別提出了元件發(fā)生漸變失效和突變失效的狀態(tài)轉(zhuǎn)移可靠性模型。并以某導(dǎo)彈延遲活門(mén)為例，建立同時(shí)發(fā)生漸變失效和突變失效的狀態(tài)轉(zhuǎn)移微分方程，確定了元件在指定水平下的可靠度函數(shù)，通過(guò)仿真獲得了元件在確定時(shí)刻的可靠度，為基層級(jí)維修單位制定保障決策提供依據(jù)。

多狀態(tài)元件； 可靠性評(píng)估； Markov過(guò)程； 漸變失效； 突變失效； 狀態(tài)轉(zhuǎn)移

0 引言

傳統(tǒng)的可靠性研究主要集中于只考慮元件或系統(tǒng)正常運(yùn)行與故障停工兩種狀態(tài)，典型的方法是故障樹(shù)分析法?，F(xiàn)實(shí)世界中的很多系統(tǒng)都是由具有不同性能參數(shù)和多種故障模式的元件組成[1]。根據(jù)不同的判定準(zhǔn)則，二元可靠性模型將這些元件的技術(shù)狀態(tài)劃為正?；蚬收?，造成了大量的信息遺失，進(jìn)而影響了可靠性分析的正確性。近年來(lái)，隨著貝葉斯網(wǎng)絡(luò)理論、分?jǐn)?shù)階理論、馬爾可夫(Markov)理論、Petri網(wǎng)理論的發(fā)展，元件/系統(tǒng)的多狀態(tài)可靠性研究進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期：文獻(xiàn)[2]研究了貝葉斯網(wǎng)絡(luò)在多元件構(gòu)成的混聯(lián)系統(tǒng)中進(jìn)行可靠性評(píng)估的應(yīng)用；文獻(xiàn)[3]對(duì)部分失效多狀態(tài)元件/系統(tǒng)進(jìn)行了非整數(shù)階可靠性建模研究；文獻(xiàn)[4]運(yùn)用多狀態(tài)Markov模型對(duì)發(fā)電站狀態(tài)轉(zhuǎn)移進(jìn)行了短期可靠性分析；為了避免Markov過(guò)程的狀態(tài)空間爆炸問(wèn)題，文獻(xiàn)[5]應(yīng)用Petri網(wǎng)建立了復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可靠性模型?，F(xiàn)有研究主要集中于系統(tǒng)層級(jí)以及具有高價(jià)值的可維修元件，本文從元件狀態(tài)轉(zhuǎn)移角度出發(fā)，對(duì)多狀態(tài)不可修元件的可靠性進(jìn)行分析。

1 模型基本定義

1.1 Markov過(guò)程定義

對(duì)于復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)，如果任意時(shí)間段內(nèi)的故障數(shù)可以描述成泊松分布，故障時(shí)間、維修時(shí)間描述成指數(shù)分布，這就滿足了Markov過(guò)程應(yīng)用于可靠性分析的條件。獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程{X(t)|t≥0}的n階聯(lián)合分布滿足如下的條件[6]

(1)

對(duì)于任意時(shí)間t0

Pr{X(t)≤x|X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=

x1,X(t0)=x0}=Pr{X(t)≤x|X(tn)=xn} 。

(2)

在Markov過(guò)程中，隨機(jī)變量在t>tn時(shí)刻的概率依賴于隨機(jī)變量在tn時(shí)刻的取值，而與在tn之前實(shí)現(xiàn)過(guò)程無(wú)關(guān)，即未來(lái)某個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)概率，可以只考慮過(guò)程的當(dāng)前狀態(tài)，而不依賴于過(guò)去時(shí)刻的狀態(tài)，這個(gè)特性稱為“無(wú)記憶性”[7]，則有

Pr{X(t)≤x|X(tn)=xn}=Pr{X(t-tn)≤x|X(0)=xn} 。

(3)

1.2 多狀態(tài)元件定義

根據(jù)性能水平劃分，假設(shè)元件具有k個(gè)不同狀態(tài)，由集合g={g1,g2,…,gk}表示。元件的當(dāng)前狀態(tài)和性能參數(shù)函數(shù)G(t)在任意時(shí)刻的取值都是隨機(jī)變量。G(t)從g中取值，即G(t)∈g。同時(shí)，假設(shè)集合g中元素是按順序排列的，即對(duì)于任意的i，gi+1≥gi。

多狀態(tài)元件可以劃分為兩類[8]：1) 不可修元件，只有當(dāng)發(fā)生故障之后才能被注意到的元件，或者維修不具有經(jīng)濟(jì)性的元件，或者只有第一次故障之前具有實(shí)用性的元件；2) 可修元件，一旦發(fā)生故障就可以立即進(jìn)行修理的元件，該類元件的壽命周期由運(yùn)行時(shí)間和維修時(shí)間組成。不可修元件的壽命只持續(xù)到第一次進(jìn)入不可接受狀態(tài)的子集。一般說(shuō)來(lái)，一個(gè)元件的狀態(tài)可接受性依賴于元件的性能與指定的性能水平。不妨假設(shè)性能水平W(t)也是一個(gè)隨機(jī)變量，從集合w={w1,w2,…,wm}中取值。元件性能參數(shù)與指定性能水平的關(guān)系可以通過(guò)接受函數(shù)F(G(t),W(t))表達(dá)。

2 多狀態(tài)連續(xù)時(shí)間Markov過(guò)程

現(xiàn)定義一個(gè)離散狀態(tài)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程{X(t)|t≥0}，X(t)∈{1,2,…,K}，參數(shù)t有連續(xù)范圍的取值，t∈[0,∞)。這個(gè)過(guò)程與隨機(jī)過(guò)程{G(t)|t≥0}緊密相關(guān)。當(dāng)X(t)=i時(shí)，多狀態(tài)元件相應(yīng)的性能參數(shù)為gi:G(t)=gi。在時(shí)間節(jié)點(diǎn)ti，i=1,2,…,k，當(dāng)相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移發(fā)生時(shí)，離散狀態(tài)隨機(jī)過(guò)程X(t)就減1。在可靠性應(yīng)用中，狀態(tài)集合S通常是確定的，S={1,2,…,K}，因此，X(t)∈{1,2,…,K}。

如果對(duì)于t0

Pr{X(tn)=xn|X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=x1,X(t0)=x0}=Pr{X(tn)=xn|X(tn-1)=xn-1}

(4)

令t=tn-1，tn=tn-1+Δt，式(4)可轉(zhuǎn)化為

Pr{X(t+Δt)=i|X(t)=j}=πji(t,t+Δt)

(5)

簡(jiǎn)化為

πji(t,t+Δt)=πji(t,Δt)

(6)

如果概率πji(t,Δt)不依賴于時(shí)間t，只依賴于Δt，此時(shí)Markov過(guò)程具有時(shí)間齊次性。πjj(t,Δt)表示在初始時(shí)刻過(guò)程處于狀態(tài)j，經(jīng)歷時(shí)間段Δt沒(méi)有發(fā)生狀態(tài)改變的概率，即

(7)

對(duì)每一個(gè)j定義一個(gè)非減連續(xù)函數(shù)aj(t),即

(8)

對(duì)于每一個(gè)j和i≠j定義一個(gè)非減連續(xù)函數(shù)aji(t)，即

(9)

如果過(guò)程在某個(gè)時(shí)刻處于狀態(tài)j，在下一個(gè)時(shí)間段Δt內(nèi)，可能出現(xiàn)從狀態(tài)j到某個(gè)狀態(tài)i的轉(zhuǎn)移或者繼續(xù)保持在狀態(tài)j，因此有

(10)

令ajj=-aj，聯(lián)合式(8)、式(10)可得

(11)

令pi(t)為X(t)在時(shí)間t的狀態(tài)概率，有

pi(t)=Pr{X(t)=i} j=1,2,…,K，t≥0

(12)

式(12)定義了X(t)在時(shí)間t的概率分布函數(shù)。由于在任意時(shí)間t≥0，過(guò)程將處于K個(gè)狀態(tài)中的某一個(gè)，則

(13)

對(duì)于給定的t>t1，運(yùn)用全概率公式，可以用轉(zhuǎn)移概率πij(t1,t)和X(t1)的概率分布函數(shù)表達(dá)X(t)的概率分布函數(shù)，即

(14)

令t1=0，有

(15)

這就意味著連續(xù)時(shí)間Markov過(guò)程的概率完全由轉(zhuǎn)移概率πij(0,t)和初始概率向量p(0)=[p1(0),p2(0),…,pK(0)]決定。

對(duì)于所有的i,j∈S，連續(xù)時(shí)間Markov過(guò)程的轉(zhuǎn)移概率滿足Chapman-Kolmogorov方程，可以寫(xiě)成

(16)

運(yùn)用全概率公式，有

k,X(t1)=i}Pr{X(t2)=k|X(t1)=i}

(17)

過(guò)程在t+Δt時(shí)刻的狀態(tài)概率可以在t時(shí)刻狀態(tài)概率的基礎(chǔ)上獲得，即

(18)

可以通過(guò)兩種方式在時(shí)刻t+Δt轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j，進(jìn)而求解式(18)：

2) 在t時(shí)刻，過(guò)程處于狀態(tài)i≠j，在時(shí)間段Δt內(nèi)從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j，相應(yīng)事件的概率分別為pi(t)和aijΔt。

聯(lián)立式(15)、式(18)有

(19)

或者

(20)

對(duì)式(20)兩邊同除以Δt，并取極限lim Δt→0，有

(21)

此時(shí)，通過(guò)微分方程組式(21)可以確定元件的齊次Markov過(guò)程狀態(tài)概率pj(t),j=1,2,…,K，其初始條件為

pj(t)=aj j=1,2,…,K

(22)

引入行向量p(t)=[p1(t),p2(t),…,pK(t)]和轉(zhuǎn)移密度矩陣a，即

(23)

矩陣中對(duì)角線元素為ajj=-aj，將式(21)寫(xiě)成矩陣形式，即

(24)

如果對(duì)于某個(gè)時(shí)間t>0，有πij(t)>0，則狀態(tài)j從狀態(tài)i出發(fā)是可達(dá)的。如果每個(gè)狀態(tài)從其他任意狀態(tài)出發(fā)都是可達(dá)的，則連續(xù)時(shí)間Markov過(guò)程是不可約的。對(duì)于一個(gè)不可約的連續(xù)時(shí)間Markov過(guò)程，每一個(gè)狀態(tài)i∈S的極限都存在，且與初始狀態(tài)i∈S獨(dú)立，即

(25)

如果穩(wěn)態(tài)概率存在，則這個(gè)過(guò)程稱為可遍歷的。由于常數(shù)概率所有對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)都等于0，即

(26)

(27)

借助式(27)可以解出如下的代數(shù)線性方程，即

(28)

因此，可遍歷連續(xù)時(shí)間Markov鏈的穩(wěn)態(tài)概率可以通過(guò)式(27)、式(28)確定。

3 多狀態(tài)不可修元件可靠性評(píng)估

對(duì)于不可修元件，狀態(tài)轉(zhuǎn)移由元件失效或者部分失效引起，元件在t時(shí)刻的故障率[9]定義為

(29)

式中：R(t)=1-F(t)為元件的可靠度函數(shù)；F(t)為故障分布函數(shù)；f(t)為元件故障密度函數(shù)。對(duì)于齊次Markov過(guò)程，故障率并不依賴于時(shí)間，可以表示為λ=1/TMTTF，TMTTF為平均故障時(shí)間。

多狀態(tài)元件的失效可以分為漸變失效和突變失效[10-11]：元件發(fā)生漸變失效將引起元件發(fā)生從狀態(tài)i到相鄰狀態(tài)i-1的轉(zhuǎn)移，即漸變失效引起元件性能發(fā)生最小的退化；元件發(fā)生突變失效將引起元件發(fā)生從狀態(tài)i到低級(jí)狀態(tài)j(j

3.1 漸變失效型

元件狀態(tài)發(fā)生逐級(jí)退化，由隨機(jī)過(guò)程{G(t)|t≥0}表示。假設(shè)從狀態(tài)i到狀態(tài)i-1的任意轉(zhuǎn)移密度為λi,i-1，i=2,3,…,k。元件在任意狀態(tài)i的停留時(shí)間服從參數(shù)為λi,i-1的指數(shù)分布，則這個(gè)過(guò)程為連續(xù)時(shí)間Markov過(guò)程，狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖1所示。

圖1 不可修元件漸變失效狀態(tài)轉(zhuǎn)移Fig.1 State transition of non-repairable element with gradual failures

現(xiàn)定義一個(gè)離散狀態(tài)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程{X(t)|t≥0}，X(t)∈{1,2,…,k}。這個(gè)過(guò)程與隨機(jī)過(guò)程{G(t)|t≥0}緊密相關(guān)。當(dāng)X(t)=i時(shí)，多狀態(tài)元件相應(yīng)的性能參數(shù)為gi:G(t)=gi。在時(shí)間節(jié)點(diǎn)ti，i=1,2,…,k，當(dāng)相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移發(fā)生時(shí)，離散狀態(tài)隨機(jī)過(guò)程X(t)就減1。X(t)的狀態(tài)概率表示為

pi(t)=Pr{X(t)=i} i=1,2,…,k t≥0

(30)

根據(jù)式(21)，建立圖1所示Markov過(guò)程的狀態(tài)概率微分方程

(31)

從式(31)可以看出，當(dāng)元件處于狀態(tài)k時(shí)，只有一個(gè)從此狀態(tài)到狀態(tài)k-1密度為λk,k-1的轉(zhuǎn)移，并且沒(méi)有到狀態(tài)k的轉(zhuǎn)移。在每一個(gè)狀態(tài)i，i=2,3,…,k-1，都有一個(gè)從前一個(gè)狀態(tài)i+1到此狀態(tài)的密度為λi+1,i的轉(zhuǎn)移和從此狀態(tài)到狀態(tài)i-1密度為λi,i-1的轉(zhuǎn)移，沒(méi)有來(lái)自于狀態(tài)1的轉(zhuǎn)移。這就意味著，如果隨機(jī)過(guò)程進(jìn)入了狀態(tài)1之后，將不會(huì)離開(kāi)。

假設(shè)元件退化的隨機(jī)過(guò)程從最佳狀態(tài)k以最大的元件性能參數(shù)gk開(kāi)始。因此，初始條件為

pk(0)=1,pk-1(0)=pk-2(0)=…=p1(0)=0。

(32)

運(yùn)用Laplace-Stieltjes變換理論和式(32)初始條件，式(31)可以轉(zhuǎn)化為

(33)

式(33)可寫(xiě)為

(34)

從第一個(gè)等式開(kāi)始解方程，將值代入下一式，逐一迭代，得到

(35)

在多數(shù)情況下，對(duì)于指定性能水平gi+1≥w≥gi(i=1,2,…,k-1)，可接受的狀態(tài)為超過(guò)元件性能參數(shù)gi的i+1,i+2,…,k級(jí)。具有最低性能等級(jí)的狀態(tài)概率p1(t)確定了多狀態(tài)元件在指定水平g2≥w>g1情況下的不可靠函數(shù)?？煽慷群瘮?shù)定義為元件不處于最差狀態(tài)的概率，即R1(t)=1-p1(t)。如果指定水平為gi+1≥w>gi，i=1,2,…,k-1，那么多狀態(tài)元件的不可靠度函數(shù)為元件處于不可接受狀態(tài)1,2,…,i的概率總和。因此，可靠度函數(shù)為

(36)

3.2 突變失效型

現(xiàn)討論同時(shí)具有漸變失效和突變失效的多狀態(tài)不可修元件，狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖2所示。

對(duì)于由狀態(tài)空間圖表示連續(xù)時(shí)間Markov模型，根據(jù)式(21)和式(32)可以得到關(guān)于狀態(tài)概率的微分方程

(37)

解方程組可以確定元件的狀態(tài)概率pi(t)，i=1,2,…,k。如同只有漸變失效的多狀態(tài)不可修元件一樣，同時(shí)具有漸變失效和突變失效的元件的不可靠度等于各個(gè)不可接受狀態(tài)的概率之和。因此，對(duì)于指定性能水平w(gi

圖2 不可修元件突變-漸變失效狀態(tài)轉(zhuǎn)移Fig.2 State transition of non-repairable element with mutational and gradual failures

4 實(shí)例分析

某導(dǎo)彈在發(fā)射后攻擊敵機(jī)的過(guò)程中，有一段時(shí)間極短的程控飛行，延遲活門(mén)的氣動(dòng)延遲時(shí)間正好是導(dǎo)彈歸零段飛行的時(shí)間。歸零段的設(shè)計(jì)是為了確保載機(jī)的安全，使得導(dǎo)彈在飛離載機(jī)之后的一段時(shí)間內(nèi)不作機(jī)動(dòng)飛行，以避免導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)飛行與載機(jī)相撞的危險(xiǎn)。在某導(dǎo)彈測(cè)試過(guò)程中，要求氣動(dòng)延遲時(shí)間為320～520 ms，經(jīng)延遲活門(mén)延遲后，氮?dú)獠磐ㄟ^(guò)制導(dǎo)活門(mén)傳至舵?zhèn)鲃?dòng)機(jī)構(gòu)氣缸內(nèi)，推動(dòng)活塞作直線運(yùn)動(dòng)，通過(guò)搖臂對(duì)舵形成控制力矩，從而控制導(dǎo)彈飛行。

對(duì)于基層級(jí)維修來(lái)說(shuō)，延遲活門(mén)屬于一個(gè)只可換、不可維修的元件。根據(jù)延遲活門(mén)的機(jī)械原理，延遲時(shí)間是一個(gè)逐漸增長(zhǎng)的過(guò)程，從320～520 ms，直至超出520 ms，進(jìn)入故障狀態(tài)。從測(cè)試原理可知，延遲活門(mén)延遲時(shí)間可以劃分為g4=[320,360)，g3=[360,420)，g2=[420,520]，g1=(520，+∞)4個(gè)狀態(tài)等級(jí)，相應(yīng)的故障率分別為λ4,3=2y-1，λ3,2=1y-1，λ2,1=0.7y-1，λ4,2=0.5y-1，λ3,1=0.3y-1，λ4,1=0.1y-1，初始條件分別為p4(0)=1，p3(0)=p2(0)=p1(0)=0。

根據(jù)式(37)建立延遲活門(mén)多個(gè)狀態(tài)的微分方程

(38)

通過(guò)式(33)～式(35)進(jìn)行拉氏變換與拉氏反變換，并代入狀態(tài)轉(zhuǎn)移參數(shù)值，則有

(39)

對(duì)于g1

各狀態(tài)概率與元件可靠度函數(shù)如圖3所示。

圖3 延遲活門(mén)各狀態(tài)概率與可靠度曲線Fig.3 State probability and reliability curve of delay valve

延遲活門(mén)處于各個(gè)狀態(tài)的概率與元件在指定水平下的可靠度函數(shù)之間的數(shù)值關(guān)系很明顯。對(duì)于具有四階狀態(tài)的延遲活門(mén)來(lái)說(shuō)，在不發(fā)生徹底失效的情況下，指定性能水平有3個(gè)區(qū)間范圍，分別介于4個(gè)狀態(tài)之間，相應(yīng)的可靠性指標(biāo)也有3個(gè)取值。由于R3(t)與p4(t)相等，處于3個(gè)區(qū)間范圍的可靠性值只有2條，即R1(t)，R2(t)。

假設(shè)每次檢測(cè)或者掛飛過(guò)程中，延遲活門(mén)工作時(shí)間為1 h，可累計(jì)檢測(cè)或者掛飛40次，即可累計(jì)工作40 h，當(dāng)時(shí)間期滿時(shí)，元件的可靠度R1為0.901 6(t=40 h)。

從延遲活門(mén)的機(jī)械結(jié)構(gòu)來(lái)看，隨著使用次數(shù)的增多，水蒸汽、氧氣進(jìn)入伺服機(jī)構(gòu)，彈簧發(fā)生化學(xué)腐蝕，柱塞件發(fā)生氧化、老化，導(dǎo)致部件與周圍摩擦增大，機(jī)械反應(yīng)不夠靈敏，從而使得氣動(dòng)延遲時(shí)間增長(zhǎng)。當(dāng)延遲活門(mén)的可靠度低于導(dǎo)彈的要求值，基層級(jí)維修單位應(yīng)立即采取換件修理以提高導(dǎo)彈的戰(zhàn)備完好率，中繼級(jí)/基地級(jí)維修單位對(duì)基層級(jí)維修單位返運(yùn)的導(dǎo)彈或延遲活門(mén)進(jìn)行元件維修或者進(jìn)行報(bào)廢處理。

5 結(jié)論

根據(jù)導(dǎo)彈重要部件的性能水平劃分，運(yùn)用Markov模型可以進(jìn)行多狀態(tài)轉(zhuǎn)移可靠度評(píng)估，有效地解決了傳統(tǒng)二元評(píng)估方法在可靠性評(píng)估中造成信息缺失的問(wèn)題，并提高了可靠性評(píng)估的精確性和準(zhǔn)確性。對(duì)于基層級(jí)維修單位來(lái)說(shuō)，某些元部件屬于不可修類型，只能進(jìn)行換件維修，可以利用本文方法，根據(jù)采集的測(cè)試參數(shù)進(jìn)行元部件可靠性評(píng)估，并根據(jù)評(píng)估結(jié)果制定相應(yīng)的維修保障決策。對(duì)于中繼級(jí)/基地級(jí)維修單位來(lái)說(shuō)，這些元件屬于可維修類型，經(jīng)過(guò)維修之后，元部件將回到可以正常工作的某個(gè)技術(shù)狀態(tài)，在下一步工作中將深入分析可修元件的可靠性評(píng)估方法，以及有關(guān)選擇性維修的優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)深入分析可維修/不可維修元件在不同技術(shù)狀態(tài)的可靠性水平，有利于合理安排人力資源、備件資源以及物流資源，進(jìn)而提高導(dǎo)彈裝備的完好性水平。

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Markov Model Based Reliability Assessment of Non-repairable Element with Multiple States

LI Zhi-qiang1, XU Ting-xue1, DONG Qi1, LIU Yu-dong2

(1.Naval Aeronautical and Astronautical University,Yantai 264001,China; 2.No.95080 Unit of PLA,Shantou 515000,China)

Modeling on the basis of reliability theory of multi-state element overcomes the shortage of traditional binary reliability model of information loss,and improves the accuracy of assessment.The existing models mainly focus on the analysis of elements with gradual failures.After Markov processing is introduced,definition of multi-state element is given in detail.The continuous-time Markov processing in element state-transition is described,based on which the state-transition reliability models for both gradual failures and mutational failures of elements are proposed.Taking the delay valve of a certain type of missile as an example,the state-transition differential equations with gradual failures and mutational failures happening simultaneously are established,and the reliability functions of the delay valve at a certain demand level are determined.The reliability of the element at determined moment is obtained,which can supply a reference for making maintenance and support decisions.

multi-state element; reliability assessment; Markov processing; gradual failure; mutational failure; state transition

李志強(qiáng),徐廷學(xué),董琪,等.基于Markov模型的多狀態(tài)不可修元件可靠性評(píng)估[J].電光與控制，2017，24(9)：58-63.LI Z Q,XU T X,DONG Q,et al.Markov model based reliability assessment of non-repairable element with multiple states[J].Electronics Optics & Control,2017,24(9):58-63.

2016-09-12

2017-06-21

國(guó)家自然科學(xué)基金(61571454,51605487)

李志強(qiáng)(1988 —),男，四川宜賓人，博士生，研究方向?yàn)槲淦餮b備綜合保障理論與方法。

TB114.3

A

10.3969/j.issn.1671-637X.2017.09.013