四旋翼飛行器姿態(tài)的顯式模型預(yù)測控制

王 侖, 蘇 敏, 楊 帆, 佃松宜

(四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都 610065)

四旋翼飛行器姿態(tài)的顯式模型預(yù)測控制

王 侖, 蘇 敏, 楊 帆, 佃松宜

(四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都 610065)

針對(duì)四旋翼飛行系統(tǒng)的多變量、強(qiáng)耦合和帶約束等復(fù)雜特性，提出了基于顯式模型預(yù)測的控制方法。首先根據(jù)四旋翼飛行系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，建立了九狀態(tài)空間模型，并解耦成2個(gè)子系統(tǒng)。然后，采用多參數(shù)二次規(guī)劃法，離線計(jì)算了四旋翼飛行系統(tǒng)的顯式最優(yōu)控制律，在線查找當(dāng)前狀態(tài)對(duì)應(yīng)的控制量。數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在滿足約束條件同時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間較短，超調(diào)量較小且具有一定的抗擾動(dòng)能力，成功實(shí)現(xiàn)了四旋翼飛行器的姿態(tài)穩(wěn)定控制。

四旋翼飛行系統(tǒng)； 顯式模型預(yù)測控制； 狀態(tài)空間模型； 多參數(shù)二次規(guī)劃

0 引言

四旋翼飛行器是模擬直升機(jī)控制而研制的高階、非線性、強(qiáng)耦合實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，適合實(shí)時(shí)飛行仿真和控制算法驗(yàn)證[1]。近年來，直升機(jī)的分析和控制得到了廣泛的關(guān)注和重視[2]，文獻(xiàn)[3]采用經(jīng)典的PID方法實(shí)現(xiàn)了四旋翼飛行器姿態(tài)角控制，但PID控制響應(yīng)速度慢、控制精度較低；文獻(xiàn)[4]基于Backstepping實(shí)現(xiàn)了四旋翼飛行器系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)的目的，但其抗擾能力不強(qiáng)，且對(duì)初始條件要求較高；文獻(xiàn)[5]基于輸出調(diào)節(jié)理論和信號(hào)補(bǔ)償方法，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒控制器，該方法考慮了直升機(jī)系統(tǒng)中存在的不確定性和外部干擾，但控制器階數(shù)較高，不易實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[6]采用線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)，解決了直升機(jī)模型的姿態(tài)飛行穩(wěn)定問題，但未考慮系統(tǒng)存在輸入輸出受限的情況。

模型預(yù)測控制(MPC)是處理帶約束多變量最優(yōu)控制問題最有效的方法之一，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于石油和化學(xué)工業(yè)系統(tǒng)，并取得巨大的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益[7]。文獻(xiàn)[8]采用模型預(yù)測算法，解決了飛行器姿態(tài)控制中存在的驅(qū)動(dòng)電機(jī)、系統(tǒng)狀態(tài)和輸出帶約束的問題，但在實(shí)際快速系統(tǒng)中難以應(yīng)用；文獻(xiàn)[9]針對(duì)高超聲速飛行器不確定性特點(diǎn)，結(jié)合滑模和預(yù)測控制方法的優(yōu)點(diǎn)，解決了系統(tǒng)帶約束的問題，同時(shí)克服了常規(guī)滑模的抖振現(xiàn)象，但其調(diào)節(jié)時(shí)間較長；文獻(xiàn)[10]針對(duì)飛行器模型中存在的不確定和干擾失配問題，提出了基于非線性干擾觀測器的廣義預(yù)測控制方法，但該方法在線辨識(shí)時(shí)間較長；文獻(xiàn)[11]采用魯棒預(yù)測控制方法，考慮了輸入受限的高超聲速飛行器非線性縱向運(yùn)動(dòng)模型的控制問題，該方法在保證系統(tǒng)控制性能和穩(wěn)定性的同時(shí)還降低了系統(tǒng)的保守性，但該方法運(yùn)算過程較為復(fù)雜。

針對(duì)上述文獻(xiàn)提到的問題，本文提出了顯式模型預(yù)測控制(Explicit Model Predictive Control，EMPC)的方法應(yīng)用于四旋翼飛行器姿態(tài)控制。該方法通過引入多參數(shù)二次規(guī)劃 (Multi-Parametric Quadratic Programming，MPQP)來代替重復(fù)的滾動(dòng)優(yōu)化，離線計(jì)算每個(gè)狀態(tài)分區(qū)上的狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)顯式控制律，大量縮短系統(tǒng)在線計(jì)算時(shí)間，因此該方法適用于帶約束的快速系統(tǒng)[12]。目前EMPC主要停留在理論研究部分，基于該方法的實(shí)際應(yīng)用較少，本文成功地將EMPC應(yīng)用于四旋翼飛行器姿態(tài)角控制。另外，對(duì)四旋翼飛行器姿態(tài)建模時(shí)，選擇其九狀態(tài)空間模型，并將其解耦為2個(gè)子系統(tǒng)。與現(xiàn)有采用的六狀態(tài)空間模型相比，由于加入了3個(gè)姿態(tài)角的積分環(huán)節(jié)，因此解耦后九狀態(tài)空間模型在大量減少控制器計(jì)算量的同時(shí)，提高了控制精度，可以有效消除穩(wěn)態(tài)誤差。通過仿真驗(yàn)證，成功地將EMPC和解耦后的九狀態(tài)空間模型應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)，并取得較好的控制效果。

1 四旋翼飛行系統(tǒng)的九狀態(tài)空間模型

近年來小型無人機(jī)在國內(nèi)外一直是研究和開發(fā)的熱點(diǎn)。本文研究的對(duì)象是重慶固高公司生產(chǎn)的四旋翼飛行仿真器，該技術(shù)平臺(tái)是一個(gè)四輸入三輸出的對(duì)象。系統(tǒng)輸入是4個(gè)電機(jī)的輸入電壓，輸出為其3個(gè)姿態(tài)角。四旋翼飛行仿真器由4個(gè)螺旋槳及電機(jī)、電滑環(huán)、基座、安裝盤、萬向節(jié)、編碼器和數(shù)據(jù)采集卡等組成[1]。

建立如圖1所示四旋翼飛行器的坐標(biāo)系，圖中的Ff,Fl,Fr和Fb分別表示螺旋槳1,2,3,4號(hào)電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)空氣對(duì)四旋翼飛行器的作用力。四旋翼飛行器姿態(tài)具有3個(gè)自由度，分別為俯仰角P、滾動(dòng)角R、偏航角Y[13]。

圖1 四旋翼飛行器的坐標(biāo)系Fig.1 The coordinate system of quad-rotor aerial vehicle

針對(duì)四旋翼飛行器的復(fù)雜特性，為建立其物理模型，在此做如下假設(shè)[1]。

1) 四旋翼飛行器的結(jié)構(gòu)是完全左右對(duì)稱的，其重心位于x軸上。

2) 四旋翼飛行器受到各旋翼作用力Fx(x=f,l,r,b)與其對(duì)應(yīng)電機(jī)的旋轉(zhuǎn)速度成正比；電機(jī)的旋轉(zhuǎn)速度與電機(jī)的輸入電壓成正比，并忽略存在的空氣阻力以及摩擦力。

3) 由于俯仰角主要受Ff,Fl,Fr3個(gè)力的影響；滾動(dòng)角主要受Fr和Fl2個(gè)力的影響；偏航角只受Fb的影響，因此假設(shè)各角度只受其對(duì)應(yīng)力的影響。

建立俯仰角、滾動(dòng)角、偏航角力矩平衡方程為[1]

(1)

式中:Kfc為電壓升力比;L1為4號(hào)螺旋槳中心到y(tǒng)軸的距離;Lp為1號(hào)螺旋槳中心到z軸的距離;JP,JR,JY分別為俯仰角、滾動(dòng)角、偏航角轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Uf,Ul,Ur,Ub分別為螺旋槳1,2,3,4號(hào)電機(jī)電壓。為了保證系統(tǒng)靜平衡，在1號(hào)螺旋槳臂上增加了配重m1，其位置如圖1所示。物理參數(shù)值如表1所示，參數(shù)來自四旋翼飛行仿真器[1]。

代入各數(shù)值并化簡可得

(2)

表1 四旋翼飛行仿真器物理參數(shù)

根據(jù)假設(shè)3)，螺旋槳1,2,3號(hào)電機(jī)只影響俯仰角和滾動(dòng)角；4號(hào)電機(jī)只影響偏航角。因此可以把該系統(tǒng)解耦成兩個(gè)子系統(tǒng)，分別記為系統(tǒng)1和系統(tǒng)2。選取俯仰角、俯仰角速度、俯仰角的積分、滾動(dòng)角、滾動(dòng)角速度、滾動(dòng)角的積分為狀態(tài)量，1，2,3號(hào)電機(jī)電壓為輸入量，建立俯仰角、滾動(dòng)角的狀態(tài)空間模型(系統(tǒng)1)為

(3)

式中：

選取偏航角、偏航角速度、偏航角的積分為系統(tǒng)狀態(tài)量，4號(hào)電機(jī)電壓為系統(tǒng)輸入量，建立偏航角的狀態(tài)空間模型(系統(tǒng)2)為

(4)

2 離線計(jì)算

顯式模型預(yù)測控制引入MPQP解決約束最優(yōu)控制問題，對(duì)狀態(tài)空間進(jìn)行凸劃分并將隱式的閉環(huán)MPC系統(tǒng)等價(jià)轉(zhuǎn)換為顯式的PWA系統(tǒng)，因此最優(yōu)控制序列和MPC系統(tǒng)的顯式關(guān)系式由離線優(yōu)化得到，不需要反復(fù)地在線優(yōu)化計(jì)算[14-16]。

考慮如下約束最優(yōu)控制問題

(5)

式中:U[,…,]′為最優(yōu)控制序列，即決策向量;N為預(yù)測時(shí)域，定義T∈Rn為所有x(0)的可行域，xN∈Tset為終端約束集，且Τset為凸集。Q=QT≥0，R=RT>0，P≥0分別為狀態(tài)、輸入和輸出權(quán)值矩陣。E,L,M分別是控制輸入、狀態(tài)和輸出的約束，由實(shí)際問題確定其取值。

由于xk+1的控制模型為線性的，因此可得

(6)

將式(5)代入式(6)，帶約束的最優(yōu)控制問題可以轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)問題[14]。

(7)

s.t.GU≤W+Ex(0) 。

初始狀態(tài)x(0)決定最優(yōu)序列U，若將初始狀態(tài)x(0)作為最優(yōu)問題的參數(shù)變量，能夠避免最優(yōu)問題重復(fù)在線計(jì)算，由此推出最優(yōu)問題的MPQP，U和x(0)之間的顯式表達(dá)式滿足如下條件[14]。

在式(7)的MPQP問題中，H>0，可行域Τ= {x∈Rn|Lx≤K}為凸集，且最優(yōu)控制序列U為x(0)的分段仿射(Piece-Wise Affine，PWA)函數(shù)。

U=Fix(0)+Gix(0)∈CCR i

(8)

式中:CCR i={x∈Rn|Lix≤Ki}是T的凸劃分，即CCRi∪CCR j=T,CCR i∩CCR j=φ(i≠j)，i，j=1,…,Nk，Nk為狀態(tài)區(qū)域分區(qū)的數(shù)量，矩陣L,K,Fi,Gi和Li,Ki,Nk由求解式(7)MPQP問題得到。將式(5)系統(tǒng)離散化，記離散時(shí)間常數(shù)為k，系統(tǒng)狀態(tài)為x(k)，那么顯式控制量u(k)是關(guān)于x(k)的PWA函數(shù)，形式為[16]

u(k)=fix(k)+gix(k)∈CCR i

(9)

式中:fi,gi分別為Fi,Gi的首行[12]。

3 數(shù)值仿真

3.1 離線控制器設(shè)計(jì)

通過對(duì)四旋翼飛行器各物理量測量與分析，可以得到各角度的約束范圍以及電機(jī)電壓最大值[13]。其他參數(shù)通過多次仿真設(shè)定如下。

對(duì)系統(tǒng)1，設(shè)定采樣時(shí)間為0.03 s，狀態(tài)約束為-(203020153020)T≤x1≤(203020153020)T，輸入約束為-(6.777)T≤u1≤(6.777)T，狀態(tài)加權(quán)矩陣為diag(30.50.00140.50.001)，輸入加權(quán)矩陣為三階單位矩陣，預(yù)測時(shí)域?yàn)?。

對(duì)系統(tǒng)2，設(shè)定采樣時(shí)間為0.03 s，狀態(tài)約束為-(1003020)T≤x2≤(1003020)T，輸入約束為-6.4≤u2≤6.4，狀態(tài)加權(quán)矩陣為diag(30.40.001)，輸入加權(quán)矩陣為單位矩陣，預(yù)測時(shí)域?yàn)?。

離線計(jì)算得到系統(tǒng)1，2控制分區(qū)如圖2所示。

圖2 控制分區(qū)圖Fig.2 Control partition

其中,系統(tǒng)1的控制分區(qū)為73個(gè)，系統(tǒng)2分區(qū)為7個(gè)，系統(tǒng)分區(qū)總個(gè)數(shù)為80個(gè)。當(dāng)系統(tǒng)未解耦時(shí)，可求得控制分區(qū)為511個(gè)，因此解耦后的系統(tǒng)將控制分區(qū)減少了421個(gè)，極大地減小了計(jì)算量。

在線算法通過當(dāng)前狀態(tài)x(k)，來獲得其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)分區(qū)CCRi，根據(jù)式(9)計(jì)算得到其對(duì)應(yīng)的顯式控制器。本文在線算法采用直接查找法，由于四旋翼飛行系統(tǒng)解耦后，狀態(tài)分區(qū)較少，因此直接查找法即可滿足控制器設(shè)計(jì)要求。

3.2 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證本文EMPC控制器性能，數(shù)值仿真及實(shí)驗(yàn)加入文獻(xiàn)[6]中LQR控制方法與本文采用的EMPC方法比較，且同時(shí)使用九狀態(tài)空間模型。設(shè)定四旋翼飛行器俯仰角、滾動(dòng)角、偏航角分別為9°，-8°，-10°，控制目標(biāo)為使其分別調(diào)節(jié)到零值，仿真時(shí)間為30 s。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)曲線(數(shù)值仿真)Fig.3 The regulation curves of system state(numerical simulation)

從圖3可以看出,在調(diào)節(jié)到穩(wěn)態(tài)過程中，LQR控制器控制的3個(gè)姿態(tài)角在6 s左右到達(dá)穩(wěn)態(tài)值，且調(diào)節(jié)過程會(huì)存在一定的超調(diào)量；EMPC控制器控制的3個(gè)姿態(tài)角均在3 s左右到達(dá)穩(wěn)態(tài)值，且無超調(diào)量。在15 s時(shí)對(duì)3個(gè)姿態(tài)角分別加入一個(gè)階躍擾動(dòng)，使3個(gè)姿態(tài)角產(chǎn)生相應(yīng)的變化。從圖3中可得出，在遇到擾動(dòng)時(shí)，EMPC控制器相比于LQR控制器，3個(gè)姿態(tài)角能更快回到平衡位置，并無超調(diào)量。因此，從仿真結(jié)果可以看出,EMPC控制各姿態(tài)角有更好的快速性和抗擾動(dòng)性。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)

本文實(shí)驗(yàn)對(duì)象為固高公司生產(chǎn)的四旋翼飛行仿真器。四旋翼仿真器連接計(jì)算機(jī)，在該產(chǎn)品自帶的Matlab環(huán)境下進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。計(jì)算機(jī)通過數(shù)據(jù)采集卡獲得各旋翼上編碼器計(jì)數(shù)值，并計(jì)算控制電壓，用實(shí)時(shí)控制軟件對(duì)飛行器進(jìn)行姿態(tài)的實(shí)時(shí)控制。設(shè)定四旋翼飛行器初始俯仰角、滾動(dòng)角、偏航角分別為12°,-10°,-16°，控制目標(biāo)為調(diào)節(jié)各姿態(tài)角到零值，實(shí)驗(yàn)時(shí)間為40 s。EMPC與LQR控制四旋翼飛行器的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)曲線(姿態(tài)角)Fig.4 The regulation curve of system state(attitude angle)

圖5 控制輸入變化曲線Fig.5 System control input curves

從圖4、圖5可以看出，使用九狀態(tài)控制模型可以消除誤差，精確調(diào)節(jié)到指定角度。LQR控制3個(gè)姿態(tài)角在10 s左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，且產(chǎn)生較大超調(diào)，到達(dá)穩(wěn)態(tài)后振動(dòng)頻率較大，4個(gè)電機(jī)控制電壓超過約束范圍，需要對(duì)電壓限幅；EMPC控制在滿足約束條件下，調(diào)節(jié)時(shí)間為4 s，基本無超調(diào)量，到達(dá)穩(wěn)態(tài)后波動(dòng)更小。

4.2 擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)

在四旋翼飛行器到達(dá)穩(wěn)態(tài)后，大約6 s時(shí)手動(dòng)給四旋翼飛行器一個(gè)擾動(dòng)，使3個(gè)角度均產(chǎn)生一定變化，并與LQR控制的3個(gè)姿態(tài)角做比較?？刂颇繕?biāo)為回到初始零位，實(shí)驗(yàn)時(shí)間為40 s，其調(diào)節(jié)曲線如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)曲線(擾動(dòng)實(shí)驗(yàn))Fig.6 The regulation curve of system state(perturbation experiment)

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在遇到擾動(dòng)時(shí)，九狀態(tài)模型仍然可以消除穩(wěn)態(tài)誤差。LQR控制3個(gè)姿態(tài)角在調(diào)節(jié)10 s后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但超調(diào)量較大，到達(dá)穩(wěn)態(tài)后存在一定波動(dòng)。而EMPC控制的3個(gè)姿態(tài)角在遇到擾動(dòng)時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間為4 s，超調(diào)量較小，在穩(wěn)定后具有較小的波動(dòng)值，因此具有較好的抗擾動(dòng)能力。

5 結(jié)束語

針對(duì)帶約束的多輸入多輸出四旋翼飛行器快速系統(tǒng)，提出了基于顯式模型預(yù)測控制的方法。首先建立四旋翼飛行系統(tǒng)的九狀態(tài)空間模型，并將其解耦成2個(gè)子系統(tǒng)，有效減少計(jì)算量，提高控制精度。仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了基于九狀態(tài)空間模型實(shí)施顯式模型預(yù)測控制方法在四旋翼飛行系統(tǒng)姿態(tài)控制中的可行性和有效性。

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ExplicitModelPredictiveControlforAttitudeofQuad-rotorAerialVehicles

WANG Lun, SU Min, YANG Fan, DIAN Song-yi

(College of Electrical and Information,Sichuan University,Chengdu 610065,China)

Considering the complex characteristics of quad-rotor aerial vehicles,such as multiple variables,strong coupling and the constraints,we proposed a controlling method based on explicit model prediction. According to the dynamic characteristics of the quad-rotor flight system,a nine-state space model was built,which was decoupled into two subsystems.Then,the explicit optimal controlling law of the quad-rotor flight system is calculated offline by multi-parameter quadratic programming,and the controlled quantity corresponding to the current state was searched online. Numerical simulation and experiment results show that the proposed method has the advantages of short adjusting time,small overshoot and certain anti-disturbance ability,as well as meeting the constraint requirements,and the stability control of the attitude is successfully achieved.

quad-rotor flight system; explicit model predictive control; state space model; multi-parameter quadratic programming

王侖，蘇敏，楊帆，等.四旋翼飛行器姿態(tài)的顯式模型預(yù)測控制[J].電光與控制，2017，24( 11) : 53-57.WANG L，SU M，YANG F，et al．Explicit model predictive control for attitude of quad-rotor aerial vehicles[J].Electronics Optics & Control，2017，24( 11) : 53-57．

2016-12-14

2017-01-04

王 侖(1994 —),男，湖北孝感人，碩士生，研究方向?yàn)轱@式模型預(yù)測控制。

TP29

A

10.3969/j.issn.1671-637X.2017.11.011