芻議線性規(guī)劃中的一些解決策略

江蘇省南京田家炳高級(jí)中學(xué) 曾榆茗

芻議線性規(guī)劃中的一些解決策略

江蘇省南京田家炳高級(jí)中學(xué) 曾榆茗

提到線性規(guī)劃，不少同學(xué)認(rèn)為這類題目較為基礎(chǔ)、簡(jiǎn)單，一旦出現(xiàn)此類題目，分?jǐn)?shù)便是囊中之物。然而，一旦題目稍有一些刁難，不少同學(xué)便會(huì)掉進(jìn)陷阱中，接下來(lái)，我們來(lái)談一談線性規(guī)劃中常見(jiàn)的一些模型以及各類模型相對(duì)應(yīng)的解決策略。

一、“X+Y”模型

例 1 已 知 等 差 數(shù) 列 {an}中， 首 項(xiàng) a1＞0， 公 差 d＞0， 若a1+a2≤60，a2+a3≤100，則5a1+a5的最大值為_(kāi)______。

分析：很多同學(xué)會(huì)產(chǎn)生疑惑，數(shù)列的題目和線性規(guī)劃有什么關(guān)聯(lián)？但是當(dāng)我們開(kāi)始嘗試解答時(shí)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的道理。

解：由題意，∵a1+a2≤60， a2+a3≤100且{an}為等差數(shù)列，a1＞0，d＞0，

∴2a1+d≤60，2a1+3d≤100，a1＞ 0，d＞0，

令 a1=x， d=y，

我們可以畫出可行域：

∴當(dāng)6x+4y=t經(jīng)過(guò)D（20，20）時(shí)，t的最大值為200。

∴5a1+a5的最大值為200。

總結(jié)：通過(guò)這一題，我們可以發(fā)現(xiàn)線性規(guī)劃不僅適用于函數(shù)問(wèn)題，同時(shí)在數(shù)列問(wèn)題上也有它們的影子，而所謂的“X+Y”模型的線性規(guī)劃通常是直接寫出它們的表達(dá)式，畫出它們的可行域進(jìn)行求解。

二、“XY”模型

例2 在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，則a4的取值范圍是_________。

分析：有了例1的經(jīng)驗(yàn)，我們很容易根據(jù)題目條件得到下列關(guān)系：解∵a1≥1，a2≤2，a3≥3，

∴a1≥1，a1·q≤2， a1q2≥3。

令a1=x q=y，

∴目標(biāo)函數(shù)：xy3=t。

到了這一步應(yīng)該都沒(méi)有什么問(wèn)題，但是接下來(lái)許多同學(xué)就開(kāi)始不知所措了，因?yàn)槲覀儫o(wú)法準(zhǔn)確地畫出可行域，但是根據(jù)例1，我們能得到一些啟發(fā)：雖然我們不會(huì)畫關(guān)于“XY”模型的圖象，但是我們可以想辦法將我們不熟悉的模型轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型，也就是說(shuō)將“XY”模型轉(zhuǎn)變?yōu)椤癤+Y”模型再進(jìn)行解答，所以我們想到了左右同時(shí)取對(duì)數(shù)進(jìn)行求解。

解：∵a1≥1，a2≤2，a3≥3，

∴a1≥1，a1·q≤2， a1q2≥3。

令a1=x q=y，

將不等式組左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，我們得到

令lnx=m，lny=n，

由此，我們可以畫出它的可行域：

總結(jié)：當(dāng)我們面對(duì)關(guān)于“XY”模型的線性規(guī)劃時(shí)，我們通常將我們不熟悉的“XY”模型轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的“X+Y”模型，通常可以采用左右取對(duì)數(shù)的做法，然后再根據(jù)“X+Y”模型畫出可行域進(jìn)行解答。

分析：有了前兩題的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于這道題我們很容易上手：

解：∵5c-3a≤b≤4 c-a，

∴令b為y，a為x，

我們可以畫出可行域進(jìn)行求解，但面對(duì)clnb≥a+clnc這樣的條件，我們很容易轉(zhuǎn)化為但是下面許多同學(xué)就無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行了，因?yàn)槲覀兊玫降臈l件與我們所要求的條件并沒(méi)有什么太大的關(guān)聯(lián)，但是，當(dāng)我們細(xì)心觀察，我們還是可以發(fā)現(xiàn)其中的突破口：因?yàn)轭}目要求的是但是我們的條件是關(guān)于的，而因此我們可以

解：∵5c－3a≤b≤4c-a，∴令b為y，a為x，

我們可以畫出可行域：

∴ lny≥ x。

∴ y≥ ex，x ∈

通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)小小的線性規(guī)劃也會(huì)有千變?nèi)f化的題目，但只要我們掌握了其中的方法，將三種模型的解題思路牢記于心，所有的題目都可以迎刃而解！