讓學(xué)生如數(shù)學(xué)家般操作思考

鐘燕萍

【前言】

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：“綜合與實踐”的實施是以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動?！熬C合與實踐”的教學(xué)，重在實踐、重在綜合，是基于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，經(jīng)歷自主探索，在觀察、想象、辨別、綜合等多方能力下，感悟基本數(shù)學(xué)思想，在獲得深刻數(shù)學(xué)理解的同時，孕育良好的學(xué)科情懷。下面以《奇妙的密鋪》為例，談?wù)勎覍Α熬C合與實踐”這一教學(xué)領(lǐng)域的一些看法。

【案例：課堂實錄】

一、初識密鋪，感知“奇妙”

師：觀察下圖，這些圖形在拼接時有什么特點？

師：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱作平面圖形的鑲嵌。

二、探索密鋪，揭秘“奇妙”

（一）解“密”活動一：探索密鋪一種平面圖形

探究一

下面的平面圖形，把它們分別嘗試密鋪，在能密鋪的平面圖形下面打“√”

探究二

正多邊形的密鋪

探究三

任意三角形、任意四邊形的密鋪（每一種單獨鋪，都是完全一樣的三角形和四邊形）

1. 學(xué)生繼續(xù)擺拼。

2. 匯報：

生：我們經(jīng)過驗證：任意三角形、任意四邊形都可以密鋪。

師：你們是怎樣擺的？有什么技巧？老師這有一些任意三角形、四邊形，能到屏幕上拖動擺拼？

請學(xué)生到一體機上擺。

師：你們發(fā)現(xiàn)什么？

生：任意三角形可以不用擺，因為兩個完全一樣的三角形能拼成一個平行四邊形。剛才已經(jīng)驗證平行四邊形可以密鋪。

師：你真是活學(xué)善用！

生：只要把三角形的各個內(nèi)角拼在一起，用六個，當(dāng)中就沒有縫了！

師：為什么要6個？

生：因為剛好密鋪。

生：只要把四邊形各個內(nèi)角拼在一起，用四個，就可以密鋪了！

師：真的嗎？我們嘗試一下。（屏幕出現(xiàn)內(nèi)角接合圖）

師：剛才兩位同學(xué)太有才了，真可以這樣哦！這說明了在什么情況下能密鋪？

生：有發(fā)現(xiàn)了，三角形的內(nèi)角和是180°，兩個180°就是360°，這樣擺就沒有縫隙，能密鋪了。

生：對！任意四邊形，內(nèi)角和都是360°，像剛才的正三角形、平行四邊形，等腰梯形，都因為這個原因能密鋪。

師：那正六邊形為什么能密鋪？

生：還是跟角度有關(guān)！正六邊形的內(nèi)角和為：180°×（6-2）=720°，每個角720°÷6=120°，120°×3=360°，所以能密鋪！

師：太精彩！現(xiàn)在你們能用數(shù)據(jù)去說明了！那能用數(shù)據(jù)說明正七、八、九、十…邊形不能密鋪嗎？

生：正七邊形：180°×（7-2）÷7≈129°，129不能乘一個整數(shù)得到360°，其它的也如此類推。

師：真是個小數(shù)學(xué)家呀！原來密鋪還有這樣的秘密！你們認(rèn)為：能密鋪的條件是什么？

生：一周有360°，如果能把這360°鋪嚴(yán)，就可以進(jìn)行密鋪。

師：這真是一個了不起的發(fā)現(xiàn)！回到我們之前的猜想，彥夫同學(xué)猜：可能跟內(nèi)角和有關(guān)，只要內(nèi)角和為180的倍數(shù)，就能密鋪，這句話對嗎？

生：這是對的！剛才我們已經(jīng)驗證了內(nèi)角和180°、360°、540°、720°都可以，它們是180的倍數(shù)。

生：不對的！我們驗證的正七、八、九、十…邊形，它們的內(nèi)角和都是180的倍數(shù)，它們是不能密鋪的！

師：看來“理是越辯越明的！”你們今天太出色了，居然通過動手操作、猜想、驗證、推論發(fā)現(xiàn)可以密鋪的秘密！能密鋪的條件是什么？

生：把平面圖形鋪在一個平面上圍繞在公共頂點可以鋪成 360°的周角，這樣的圖形就可以密鋪。

師：你說的真周全！請問能密鋪的正多邊形中，最多是幾邊形？

生：正六邊形！

師：（課件：蜂巢圖片） 大自然的能工巧匠、天才數(shù)學(xué)家、聰明的小蜜蜂就是利用這一原理——用能密鋪的正多邊形中邊數(shù)最多的正六邊形來做蜂房，使儲物空間達(dá)到最大。

（二）解“密”活動二：探索密鋪兩種平面圖形

探究四

探索從七巧板中任取兩種平面圖形的密鋪情況

1. 驗證：想一想，盡可能使用較少的塊數(shù)證明；將作品直接鋪在展示區(qū)內(nèi)。

2. 交流展示：學(xué)生對照畫面介紹自己的作品。

3. 總結(jié)：同樣的選擇，有不同的鋪法；不同的選擇，共同的結(jié)論——課件展示七巧板中任意兩種圖形的十種不同組合密鋪結(jié)果：七巧板中任意兩種圖形都能組合成密鋪的作品。七巧板真“巧”??！那么，任意三種、四種圖形的組合也能進(jìn)行密鋪嗎？歡迎同學(xué)們課后進(jìn)行研究。

三、運用密鋪，創(chuàng)造“奇妙”

1. 了解密鋪歷史與欣賞荷蘭著名版畫藝術(shù)家埃舍爾作品。

2. 欣賞絢爛多彩的“密鋪世界”。

3. 創(chuàng)造屬于我們的美。

【思考】

經(jīng)歷了這么一節(jié)孩子們不肯下課的課堂，看著課后還在一直擺弄的孩子，此時孩子們擺拼的愿望寫在他們的臉上，寫在他們的行動上。正所謂：言有盡而意無窮，余言盡在不言中，此時的我們，教者舒心，學(xué)者快樂，奇妙的密鋪，帶給孩子意外的驚喜，思考的沖突，以及美的享受；更讓孩子感受數(shù)學(xué)知識的奧妙，激發(fā)學(xué)習(xí)的濃厚興趣，也讓我對這課堂產(chǎn)生一定的思考：

“綜合與實踐”的實施既然是以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主，以獲得豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的學(xué)習(xí)活動。這種實踐活動，必須依托合理的活動設(shè)計，通過學(xué)生自主參與、親身實踐、交流分享、反思總結(jié)，逐步將感性認(rèn)識上升為理性思考。所以教師在進(jìn)行活動設(shè)計時特別的要關(guān)注學(xué)生能否發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題這“四能”的培養(yǎng)。endprint

一、創(chuàng)造時機，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并提出問題

在《奇妙的密鋪》中，我創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生欣賞“密鋪的圖案”時讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“這些圖案沒有重疊，中間沒有空隙”；欣賞“生活中的密鋪”時，學(xué)生提出：怎樣才能密鋪？能密鋪，必需具備什么條件？問題由學(xué)生始，才能激發(fā)學(xué)生的主體意識。這些由學(xué)生提出的問題將是我們探究式學(xué)習(xí)的起點。培養(yǎng)學(xué)生有一雙數(shù)學(xué)的眼睛，一顆數(shù)學(xué)的大腦，帶著自己提出的問題學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)探索就更投入，更帶勁。

二、圍繞問題，讓學(xué)生分析問題和解決問題

問題提出后，圍繞問題，這時的教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)活動，層層推進(jìn)。首先，讓學(xué)生有據(jù)可依地進(jìn)行猜想。本案例中，我先讓學(xué)生擺拼六種基本平面圖形，然后再讓學(xué)生猜測：能密鋪可能跟什么有關(guān)？學(xué)生借助擺拼的經(jīng)驗，猜測跟邊有關(guān)、跟邊的奇偶性有關(guān)、跟角的度數(shù)有關(guān)……無疑，他們都是有一定根據(jù)的，這樣的猜測是孩子們已經(jīng)運用了在操作過程所得到的經(jīng)驗，通過思索、不完全的歸納、類比、想象得到的。接著我們以這樣的猜測為驗證目標(biāo)，為下一步探索提供了方向和思路。故此，我們呼吁：教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)條件，讓學(xué)生的猜想以一定的數(shù)學(xué)事實為根據(jù)，再添加自己可貴的想象成分，大膽進(jìn)行猜想，然后進(jìn)行小心的求證，培養(yǎng)學(xué)生良好的探究習(xí)慣。

其次，讓學(xué)生一絲不茍地進(jìn)行探索。在本案例中，我創(chuàng)設(shè)條件，讓學(xué)生自發(fā)提出問題，而后為探討“能密鋪的條件”這問題，展開四次探究?？v觀這些探究活動，可以說學(xué)生是投入的，甚至是幸福的，因為是他們自己提出問題并解決了問題！我們的教學(xué)不能給予學(xué)生探究的錯覺：一探準(zhǔn)成。讓學(xué)生探究活動要充分，甚至要逐步擺脫直觀思維的依賴，創(chuàng)造條件，讓學(xué)生從小就學(xué)會像數(shù)學(xué)家那樣探究思考。

三、鞏固成果，讓學(xué)生應(yīng)用原理激發(fā)創(chuàng)作

通常普通的數(shù)學(xué)課堂，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，總感覺有人為編造的痕跡。但是在“綜合與實踐”中注重的就是數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，強調(diào)的是數(shù)學(xué)知識在生活的應(yīng)用。讓學(xué)生學(xué)有所成地應(yīng)用創(chuàng)作是綜合與實踐的提升。在本案例中，我兩次播放密鋪在生活中被廣泛應(yīng)用的實例，除了讓學(xué)生感受密鋪的奇妙外，更是讓學(xué)生感受這知識在生活中的應(yīng)用。課后介紹密鋪歷史以及荷蘭版畫藝術(shù)家埃舍爾作品，激發(fā)孩子們的創(chuàng)作熱情。最后以點睛之筆，一個小小的創(chuàng)作鑲嵌制作過程，讓學(xué)生明白：原來鑲嵌藝術(shù)離我們并不遙遠(yuǎn)，美麗在你我手中……

責(zé)任編輯 徐國堅endprint