巧用對(duì)比方法，輕松學(xué)習(xí)“實(shí)數(shù)”

吳琳

“實(shí)數(shù)”屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域.同學(xué)們?cè)谄吣昙?jí)上學(xué)期已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)過有理數(shù)，對(duì)有理數(shù)的概念和運(yùn)算等有了比較深刻的認(rèn)識(shí).本章是在有理數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的初步知識(shí).本章的特點(diǎn)是新概念比較多，比如實(shí)數(shù)、無理數(shù)、平方根、算術(shù)平方根、立方根等.在學(xué)習(xí)過程中，如果不能準(zhǔn)確地認(rèn)清這些概念，不能識(shí)別這些概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，那么，在解題過程中，就會(huì)經(jīng)常產(chǎn)生混淆，出現(xiàn)錯(cuò)誤.怎樣才能學(xué)好“實(shí)數(shù)”這一章的內(nèi)容呢？剛才已經(jīng)提到了，實(shí)數(shù)是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，許多有理數(shù)的概念和運(yùn)算可以“平移”到實(shí)數(shù)中來，這就給我們一個(gè)啟示，把一些容易產(chǎn)生混淆的概念放在一起，運(yùn)用對(duì)比的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以提高學(xué)習(xí)效率.

一、利用概念的從屬關(guān)系進(jìn)行對(duì)比

概念的從屬關(guān)系即如果有兩個(gè)概念，一個(gè)是大概念，另一個(gè)是小概念，則大概念包括小概念，小概念包含在大概念之中.

比如，實(shí)數(shù)和有理數(shù)這兩個(gè)概念.

什么是有理數(shù)？在七年級(jí)的時(shí)候，我們學(xué)過，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).什么是實(shí)數(shù)？有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).從這兩個(gè)概念的定義中不難發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)與有理數(shù)這兩個(gè)概念屬于從屬關(guān)系，實(shí)數(shù)包含有理數(shù)，但實(shí)數(shù)不一定都是有理數(shù)，它也可能是無理數(shù)，而有理數(shù)一定是實(shí)數(shù).比如[2]不是有理數(shù)，但它是實(shí)數(shù).以上是這兩個(gè)概念的區(qū)別，兩個(gè)概念之間也有聯(lián)系.有理數(shù)中的有關(guān)概念，比如相反數(shù)、絕對(duì)值可以推廣到實(shí)數(shù)，有理數(shù)的運(yùn)算（如加、減、乘等）以及運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)（如交換律、分配律、結(jié)合律等）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

再比如平方根和算術(shù)平方根這兩個(gè)概念.如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的平方根，如果a是一個(gè)正數(shù)，那么a的平方根就有兩個(gè)，比如4的平方根就有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)分別是2和-2，其中2又叫作4的算術(shù)平方根.因此，平方根一定包括算術(shù)平方根，但不一定是算術(shù)平方根，而算術(shù)平方根一定屬于平方根.

通過以上的對(duì)比學(xué)習(xí)，兩個(gè)概念是不是可以弄得更清楚了？

二、利用概念的本質(zhì)區(qū)別進(jìn)行對(duì)比

兩個(gè)概念如果在內(nèi)涵上是完全對(duì)立的，有著本質(zhì)上的區(qū)別，那么，這兩個(gè)概念也可以放在一起進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí).

比如，無限循環(huán)小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù).無限循環(huán)小數(shù)是無限小數(shù)的一種情形，就是從小數(shù)點(diǎn)后某一位開始不斷地重復(fù)出現(xiàn)前一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字的無限小數(shù).實(shí)際上，每一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)都能夠轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的形式，因此，無限循環(huán)小數(shù)實(shí)際上屬于有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后雖然也有無數(shù)個(gè)數(shù)，但是不循環(huán)，無限不循環(huán)小數(shù)又稱為無理數(shù).比如判斷[13]是有理數(shù)還是無理數(shù)，有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，[13]化成小數(shù)時(shí)除不盡，就判定[13]是一個(gè)無理數(shù)，這就錯(cuò)了.任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都可以轉(zhuǎn)化為小數(shù)的形式，其中有的分?jǐn)?shù)化為小數(shù)后是有限小數(shù)，比如[12]化成小數(shù)后就是一個(gè)有限小數(shù)0.5，而有的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后是一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)，比如[13]化成小數(shù)后就是一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)0.3，因此，[13]是一個(gè)有理數(shù).所以，對(duì)于無限循環(huán)小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)這兩個(gè)概念來說，本質(zhì)上一個(gè)屬于有理數(shù)，另一個(gè)則屬于無理數(shù).

三、利用概念的相似特征進(jìn)行對(duì)比

如果兩個(gè)概念不相同，但是具有一些非常相似的特征，這時(shí)候，把這兩個(gè)概念放在一起，通過對(duì)比的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)可以更好地理解和掌握.

比如，平方根和立方根這兩個(gè)概念.

從定義角度看，這兩個(gè)概念的定義方式是完全一樣的：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的平方根；如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的立方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫作開平方，求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫作開立方.開平方與平方互為逆運(yùn)算，開立方與立方互為逆運(yùn)算.

以上是這兩個(gè)概念相似的地方，兩個(gè)概念也有區(qū)別.根據(jù)定義，只有非負(fù)數(shù)才有平方根，其中正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根；而任何一個(gè)數(shù)都有立方根，這個(gè)數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0，一個(gè)數(shù)的立方根只有1個(gè).比如，64的平方根是8和-8，64的立方根就是4，-64沒有平方根，但-64的立方根是-4.

另外，在本章的學(xué)習(xí)過程中，我們也可以把有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的關(guān)系和實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí).

總之，對(duì)比是一種非常有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，同學(xué)們?cè)谝院蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要注意不斷地領(lǐng)會(huì)，并加強(qiáng)運(yùn)用.

（作者單位：江蘇省南通市崇川學(xué)校）endprint