由一道數(shù)學(xué)題引出的思考
——初一全等三角形復(fù)習(xí)思考

黃 鳴

（江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇蘇州215500）

由一道數(shù)學(xué)題引出的思考
——初一全等三角形復(fù)習(xí)思考

黃 鳴

（江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇蘇州215500）

全等三角形的知識(shí)是初中幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，是初中階段幾何推理的基礎(chǔ)，也是訓(xùn)練學(xué)生思維邏輯性的開始，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生書寫數(shù)學(xué)推理過程養(yǎng)成步步有據(jù)，不憑空亂寫有至關(guān)重要的作用。

全等三角形；復(fù)習(xí)

引 言

全等三角形的知識(shí)是初中幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，是初中階段幾何推理的基礎(chǔ)，也是訓(xùn)練學(xué)生思維邏輯性的開始，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生書寫數(shù)學(xué)推理過程養(yǎng)成步步有據(jù)，不憑空亂寫有至關(guān)重要的作用。因此如何使全等三角形的復(fù)習(xí)課上得有意義，是我需要考慮的。我在復(fù)習(xí)全等三角形時(shí)，就選用了一個(gè)基本圖形，例題和習(xí)題的配備都是圍繞這個(gè)基本圖形而展開的，這樣就做到了一圖多用，即出現(xiàn)了例1的多個(gè)變式，從而突出本節(jié)的重點(diǎn)：尋找證明三角形全等的思路，做到以不變應(yīng)萬變。

一、基本圖形的運(yùn)用

例1：如圖銳角△ABC中，AD⊥ BC，BF⊥ AC。 若 BE=AC，求∠ABC度數(shù)。

例題分析：此題看似求角度，應(yīng)該是個(gè)計(jì)算角度的問題?？蓪?shí)際上它是一個(gè)全等三角形的證明題，不能被它的表象所迷惑，應(yīng)該通過證明全等三角形去解決這個(gè)問題。所以全等三角形不單單可以解決類似相等角相等線段的問題，也能解決有關(guān)特殊角度的問題。

解題思路：本題是通過證明△BED≌△ACD，再從全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=BD，因此△ABD是等腰直角三角形，從而解決∠ABC度數(shù)問題。

解題過程：

點(diǎn)評(píng)：本例題運(yùn)用了全等三角形的證明方法，在學(xué)生解答中應(yīng)注意書寫描述的合理性。

二、例1的條件稍加改變，就可以形成變式1的題目

變式1：如圖銳角△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC。若AC=6cm，AD=BD，求BE的長。（圖形同上）

例題分析：這個(gè)題目看似求線段長度，應(yīng)該是個(gè)計(jì)算線段長度的問題，可是實(shí)際上它是要求線段和已知線段關(guān)系的判斷問題。從條件入手發(fā)現(xiàn)要求線段和已知線段可能是相等關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為求證全等三角形的問題來解決。所以全等三角形有時(shí)還可以解決有關(guān)的線段長度問題。

解題思路：本題是通過證明△BED≌△ACD，再從全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BE=AC，再由等量代換得到BE的長度也為6cm，但這次全等的證明與例1有所不同。

解題過程：前面的解題過程和上面類似，然后：

點(diǎn)評(píng)：在做完例1后再思考變式1時(shí)，思路有了上題的模式可套，會(huì)容易一些，但在證明全等三角形的過程中，尋找判定條件時(shí)應(yīng)區(qū)分與例1的判定方法有所不同。

在變式1的圖形下再做細(xì)微的改變，又得到一道新的題目，如下：

變式2：如圖△ABC中，AD⊥BC，若BE＝AC，DE＝DC，BE和AC垂直嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論。（圖形同上）

例題分析：從這道題目的已知條件出發(fā)，很容易可以判斷出,需要證明全等三角形，得出角度的關(guān)系，再聯(lián)系要求證的結(jié)論是垂直，已知條件中有垂直出現(xiàn)，那么可以用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)去解決這個(gè)問題。

解題思路：本題是通過證明△BED≌△ACD，首先要抓住直角三角形證明有幾種方法，證明全等后，再從全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠EBD=∠EAF，再由三角形內(nèi)角和得到∠BFC=90°或∠BFA=90°，再得到最后結(jié)論為垂直。

解題過程：證明過程略。

點(diǎn)評(píng)：本題是非常經(jīng)典的一道例題，在很多參考書上都有，學(xué)生在初學(xué)求證過程中，不會(huì)整理思路。在求證垂直的解題中，大多數(shù)需要證明夾角為90°，那么怎樣證角90°，除了計(jì)算一條思路外，還可以通過證明與已知的90°角相等這種方法，證明角度相等也可以用全等三角形去解決。

三、動(dòng)態(tài)問題的變式

那么除了上述的變式之外，動(dòng)態(tài)問題，也是近年來經(jīng)常提到的問題，因此在這張圖形上也可以把AC邊和BD邊上的兩個(gè)點(diǎn)看作可以移動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)，將上面的題目再稍加變化得到下題：

變 式 3： 在 △ ABC中，AB＝ AC， ∠ BAC＝ ∠ ACB＝60°，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上運(yùn)動(dòng)，且AE＝CD，AD、BE相交于點(diǎn)F。求∠BFD的度數(shù)。

例題分析：這道題目看似求角度的計(jì)算問題，實(shí)際上還是要通過全等三角形的證明，再通過全等三角形的性質(zhì)去尋找要求的角和已知角之間存在的關(guān)系。

解題思路：本題通過證明△ABE≌△CAD，然后由全等三角形得到對(duì)應(yīng)角∠ABE=∠CAD相等，再由三角形內(nèi)角和得到∠ABE+∠AEB=120°，再通過等量代換得到∠CAD+∠AEB=120°，所以∠AFE=60°，因此∠BFD=∠AFE=60°。

解題過程：

點(diǎn)評(píng)：本題的求證對(duì)于剛學(xué)習(xí)全等三角形的學(xué)生來說，還是具有一定難度的，但是如果通過上面幾題的練習(xí)，思維上也就能套上這樣的思路去求解這類問題了。

結(jié) 語

上面舉例的幾個(gè)問題，對(duì)于初學(xué)全等三角形的學(xué)生來說，經(jīng)常存在著各種問題，比如解題思路不會(huì)往全等去考慮，還有角度線段間的轉(zhuǎn)化沒有那么順利，因此此類問題還是值得我們教師拿出來和學(xué)生一起研究討論的。

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(S).北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

[2]萬波.淺析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的全等三角形解題策略[J].數(shù)理化解題研究,2016,(35):12.

[3]李紅雪.尋找條件,得出結(jié)論——引導(dǎo)型教學(xué)在初中數(shù)學(xué)三角形全等中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2014,(20):10.

黃鳴，1979年生，女，江蘇常熟人，現(xiàn)任江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教師，2009年獲常熟市中小學(xué)教師解題基本功競賽二等獎(jiǎng)；2012年獲常熟市初中教師把握學(xué)科能力競賽三等獎(jiǎng)。中學(xué)一級(jí)教師。