圓柱形永磁體磁場建模及仿真研究

周恩權(quán) 鄭仲橋 張燕紅 王奇瑞

（1.海安交睿機(jī)器人科技有限公司，江蘇 南通 226000；2.常州工學(xué)院，江蘇 常州 213032；3.江蘇大學(xué)現(xiàn)代農(nóng)業(yè)裝備與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

圓柱形永磁體磁場建模及仿真研究

周恩權(quán)1鄭仲橋2張燕紅2王奇瑞3

（1.海安交睿機(jī)器人科技有限公司，江蘇 南通 226000；2.常州工學(xué)院，江蘇 常州 213032；3.江蘇大學(xué)現(xiàn)代農(nóng)業(yè)裝備與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

為了尋求圓柱形永磁體磁場的簡便算法，基于永磁體等效電流模型，把永磁體被磁化的效果視為永磁體表面存在面電流產(chǎn)生的磁場，得到了永磁體磁場的空間分布規(guī)律，推導(dǎo)出圓柱體型永磁體空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度解析公式，并通過MATLAB多重?cái)?shù)值積分功能求出圓柱形永磁體的空間磁感應(yīng)強(qiáng)度。結(jié)果表明：計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)測量值基本吻合，用永磁體等效模型及磁場數(shù)值積分方法計(jì)算永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度不僅簡單而且計(jì)算精度較高。

永磁體；磁場；數(shù)值積分；磁感應(yīng)強(qiáng)度

1 永磁體等效電流模型的建立

1.1 永磁體電流等效模型

物質(zhì)是由原子組成的，每個原子又由原子核和電子組成。電子繞原子核轉(zhuǎn)動形成電流，這些環(huán)流定向排列起來，在宏觀上顯示出N和S極。當(dāng)磁介質(zhì)均勻時，介質(zhì)內(nèi)部任何兩個分子環(huán)流中相鄰的那一對電流元方向總是彼此相反，它們的效果相互抵消。因此，永磁體的等效電流模型可以認(rèn)為是，永磁體外部空間磁場是由永磁體側(cè)表面的束縛面電流產(chǎn)生的。其束縛面電流密度為：

其中，Jm表示束縛面電流密度；Br表示剩余磁化強(qiáng)度；μ0表示真空磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7H/m。

1.2 圓柱形永磁體三維磁場解析式推導(dǎo)

當(dāng)半徑為r0、高度為h的圓柱形永磁體沿一個方向均勻磁化且達(dá)到飽和狀態(tài)后，外部空間中任意一點(diǎn)的磁場僅由永磁體表面閉合電流環(huán)路所激發(fā)。設(shè)環(huán)路內(nèi)電流為I，則在與平面xoy平行的任意一平面上電流密度由于是圓柱形永磁體，選用柱坐標(biāo)系，用()r0,θ,z0表示位于永磁體內(nèi)部的點(diǎn)，建立如圖1所示坐標(biāo)系。

圖1 圓柱永磁體的參數(shù)

考慮到由平面Z與z+dz構(gòu)成的薄層，在其外部空間任一點(diǎn)p(x,y,z)處，由強(qiáng)度為Jmdz的電流環(huán)產(chǎn)生的磁場為dB→，從畢奧-薩伐爾定律和磁場疊加原理可知，圓柱體外任一點(diǎn)p(x,y,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

電流環(huán)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度B→在x,y,z的分量分別為：

圓柱永磁體空間磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

將（1）代入（6）得

1.3 MATLAB計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度

已知函數(shù)的積分表達(dá)式時，理論上可以用牛頓萊布尼茨公式求解，但在磁場計(jì)算中并不實(shí)用，大多數(shù)函數(shù)找不到積分函數(shù)。MATLAB提供很多數(shù)值積分的命令函數(shù)，可以根據(jù)實(shí)際情況調(diào)用，不但方便而且精確。表1列出了部分?jǐn)?shù)值積分命令。

表1 積分命令表

本文用到的積分命令是dblquad，dblquad實(shí)際上是重復(fù)調(diào)用quad實(shí)現(xiàn)的。quad的原理是自適應(yīng)辛普生求積法。如果用二次插值多項(xiàng)式——拋物線y=g（x）所圍成的曲邊梯形的面積近似代y=f（x）所圍成的曲邊梯形的面積，這時所得的積分公式稱為辛普生公式：

當(dāng)上述變步長辛普生積分法用于計(jì)算二重積分時，數(shù)值積分的處理方法是將二重積分（10）分解為式（11）和式（12）：

在MATLAB環(huán)境下編程，將（7）中的模型轉(zhuǎn)化為fun（θ，Z0）的M文件，通過B=dblquad（fun，a，b，c，d，tol）來實(shí)現(xiàn)模型的求積。其中，a和b為θ的上下限，c和d為Z0的上下限，tol為積分精度（默認(rèn)精度10e-6）。

2 實(shí)例求解及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 模型驗(yàn)證

根據(jù)以上推導(dǎo)的圓柱永磁體空間磁場強(qiáng)度的模型，在MATLAB環(huán)境下編程仿真。仿真和實(shí)驗(yàn)用的永磁體各項(xiàng)參數(shù)如表2所示。

表2 圓柱永磁體材料和尺寸參數(shù)

以圓柱永磁體底面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓柱的中軸為Z軸，建立如圖2所示的坐標(biāo)系。在永磁體上表面Z軸上取如表3所示的12個場點(diǎn)，通過計(jì)算、測量及和磁偶極子模型的結(jié)果進(jìn)行比較。計(jì)算和測量結(jié)果如表3。

表3 測量值和計(jì)算值比較

當(dāng)z=45mm時，在X軸上取如表4所示的12個點(diǎn)，計(jì)算和測量值如表4所示。

表4 測量和計(jì)算值比較表

由表2和表3可知，本文提出的模型的計(jì)算結(jié)果和測量值吻合。磁偶極子模型的計(jì)算結(jié)果和實(shí)際值相差較大，但能反映磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化趨勢。測量值略小于本文模型計(jì)算值，主要原因是理論剩磁大于實(shí)際剩磁［13］。本文提出的方法能滿足工程計(jì)算需求。

2.2 圓柱形永磁體空間磁場仿真研究

圖2給出了圓柱永磁體Bz隨離開上表面距離變化的曲線。由圖2可知，從永磁體上表面到z=60mm的范圍內(nèi)，Bz值迅速下降；當(dāng)z＞60mm時，Bz的值下降緩慢；圖3是當(dāng)Z=25mm、Y=0mm時Bz、BX沿X軸的分布規(guī)律圖。Bz為軸對稱分布而BX為中心對稱分布。這與實(shí)際觀察情況相符。

圖2 BZ沿著Z軸的分布

圖3 Y=0mm，Z=25mm時，BX、BZ沿X軸分布

圖4、5是BZ、BX在xoy平面的分布情況，當(dāng)x=r0或x=-r0時，BZ、BX會達(dá)到極值，BX在x=0時為0；BZ、BX在Z軸方向上開始衰減比較迅速。

圖4 BZ在xoz平面內(nèi)的分布

圖5 BX在xoz平面內(nèi)的分布

圖6、7是當(dāng)z=25mm時，平行于xoy平面上的BZ、BX分布情況。

圖6 在z=25mm的平面內(nèi)，BX分布

圖7 在z=25mm的平面內(nèi)，Bz分布

By的分布和Bx相似，只是場強(qiáng)的方向不同。只要將圖4、5中的X軸換成Y軸就可以得到By的分布圖。

3 結(jié)論

①本文給出了圓柱形永磁體的建模方法，推導(dǎo)出求解圓柱形永磁體外空間任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度模型。通過和磁偶極子模型對比，本文提出的模型和實(shí)測值更吻合，完全滿足工程需求。

②通過MATTALAB的數(shù)值積分功能，省去了對積分公式進(jìn)行離散化的復(fù)雜求導(dǎo)過程。因此，避免了積分公式遞推過程中的穩(wěn)定性問題、精度問題和溢出問題等。

③MATLAB的可視化功能，方便地表示出感應(yīng)強(qiáng)度的大小和分布規(guī)律。

④從宏觀上講，本文推導(dǎo)的模型中場點(diǎn)的值僅取決于所有源點(diǎn)對其的影響，它們之間是通過畢奧-薩伐定理聯(lián)系起來的。如果永磁體的參數(shù)是常數(shù)，那么計(jì)算值就不會因?yàn)榉椒ū旧矶a(chǎn)生誤差。因此，本文采用的方法精度更高。

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Modeling and Simulation for Cylinder Permanent Magnetic Field

Zhou Enquan1Zheng Zhongqiao2Zhang Yanhong2Wang Qirui3
（1.Haian Jaorui Talent Robot Technology Co.,Ltd.，Nantong Jiangsu 226000；2.Changzhou Institute of Technology，Changzhou Jiangsu 213032；3.Key Laboratory of Modern Agricultural Equipmentand Technology，Jiangsu University，Zhenjiang Jiangsu 212013）

To find the convenient and simple calculation method of magnetic field for cylinder permanent magnet,based on permanent magnet equivalent electric current model and,regarded magnetization magnetiz?er effect as surface current on magnetizer,this paper presents the law of magnetic field spatial distribu?tion,derives the analytical formulae of magnetism induction density in space for cylinder permanent,and get the answer of the magnetism induction density for cylinder permanent,through the numerical integration function of MATLAB.The result shows that calculated results are in agreement with those actually-mea?sured.It is convenient and simple and can derive precision calculation results by the magnetic field equiva?lent model of permanent magnet and numerical integration method.

permanent magnet；magnetic field；numerical integration；magnetic induction

永磁材料為重要的功能材料，目前應(yīng)用最多的是圓柱形永磁體、方形永磁體、扇形永磁體和環(huán)形永磁體等［1］。隨著永磁體應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)大，準(zhǔn)確得到永磁體磁場分布和大小成為關(guān)鍵問題。計(jì)算永磁體磁場有解析法［2-4］、電磁積分方程法［5］、有限元法［6-7］、等效磁網(wǎng)絡(luò)法［8］和數(shù)值解析結(jié)合法［9］。目前，國內(nèi)研究圓柱永磁體磁場分布有磁偶極子［1］和經(jīng)驗(yàn)公式法［10］等。磁偶極子法要求場點(diǎn)半徑要遠(yuǎn)大于圓柱永磁體的半徑，因此在圓柱體半徑不能忽略時誤差很大。經(jīng)驗(yàn)公式法，如曹輝［10］提到的圓柱形永磁體磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算公式，只能估算圓柱軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。經(jīng)驗(yàn)公式法中的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)要通過大量試驗(yàn)才能得到［11］，該方法計(jì)算精度較低。為了尋求圓柱永磁體磁場簡便而精確的算法，本文將根據(jù)永磁體等效電流模型，推導(dǎo)出用于計(jì)算圓柱形永磁體外空間任意場點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型，并通過MATLAB多重?cái)?shù)值積分功能［12］，簡化求解過程，提高求解精度。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值吻合。

TM144

A

1003-5168（2017）11-0139-05

2017-10-09

江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（BK20151182）。

周恩權(quán)（1984-），男，碩士，工程師，研究方向：機(jī)械設(shè)計(jì)理論及高可靠性磁力系統(tǒng)。