基于分形理論的銹蝕鋼筋表面輪廓分布特征

（江蘇大學土木工程與力學學院，江蘇鎮(zhèn)江212013）

基于分形理論的銹蝕鋼筋表面輪廓分布特征

陸春華，楊金木，延永東，傅巧瑛

（江蘇大學土木工程與力學學院，江蘇鎮(zhèn)江212013）

為了更準確地表征銹蝕鋼筋的表面輪廓分布特征，利用分形理論的結(jié)構(gòu)函數(shù)法推導出銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)與尺度系數(shù)的計算模型.從受氯鹽侵蝕的混凝土梁試件中獲取4根不同銹蝕率的鋼筋試樣，利用千分尺測量鋼筋的截面直徑，并進行統(tǒng)計，研究其分布規(guī)律.統(tǒng)計結(jié)果表明：銹蝕鋼筋截面直徑不拒絕正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布；利用所得模型計算出銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)與尺度系數(shù)，其分形維數(shù)與鋼筋的銹蝕率成正相關(guān)關(guān)系.結(jié)合分形維數(shù)和尺度系數(shù)定義的特征參數(shù)，可以實現(xiàn)銹蝕鋼筋表面輪廓絕對測量與相似測量的統(tǒng)一，有助于更為準確地表征銹蝕鋼筋的表面輪廓.

銹蝕鋼筋；分布特征；分形理論；結(jié)構(gòu)函數(shù)法；特征參數(shù)

鋼筋銹蝕是混凝土結(jié)構(gòu)耐久性能退化的主要原因，很多學者采用鋼筋銹蝕率進行銹蝕鋼筋力學性能的退化研究［1－4］.但是鋼筋銹蝕率是一個平均化的概念，不能反映銹蝕鋼筋表面的不均勻分布狀態(tài)和程度［5］.實際上，由于混凝土自身材料的不均勻性、所處環(huán)境的變異性及受力部位的不均勻性，銹蝕鋼筋表面輪廓是復(fù)雜且不穩(wěn)定的，沿鋼筋長度方向銹蝕會有一定的變化［6］.文獻［1，7］研究發(fā)現(xiàn)，銹蝕鋼筋力學性能受到坑蝕深度和分布影響，且坑蝕附近產(chǎn)生的應(yīng)力集中隨著坑蝕深度增加更加明顯.相同銹蝕率的鋼筋，其力學性能表現(xiàn)也有一定差異［8］.

近年來，分形理論的發(fā)展為人們解決研究對象表面輪廓不均勻性問題帶來新思路.文獻［9］利用盒計數(shù)法計算銹蝕前后P11鋼管表面的分形維數(shù)，對比發(fā)現(xiàn)分形維數(shù)能夠快速準確地實現(xiàn)鋼材耐腐蝕性評價.文獻［10］利用分形理論表征了金屬復(fù)合材料在幾何扭曲方面的特點.文獻［11］對鋼材受沖擊破壞截面進行研究后發(fā)現(xiàn)，截面分形維數(shù)與材料的沖擊韌性成正相關(guān)關(guān)系.文獻［12］探討了考慮摩擦因素的球體交接面法向接觸剛度的分形計算模型，結(jié)果表明分形維數(shù)決定法向接觸剛度與法向荷載成正比還是反比關(guān)系.

鑒于分形理論的上述特點，本研究以受氯鹽侵蝕的銹蝕鋼筋為研究對象，用結(jié)構(gòu)函數(shù)法計算其截面直徑的分形維數(shù)，討論其分形特征；結(jié)合分形維數(shù)與尺度系數(shù)，推導出銹蝕鋼筋截面直徑的特征參數(shù)，以便能更為準確地描述銹蝕鋼筋表面輪廓的分布特征.

1 分形維數(shù)的計算模型

銹蝕鋼筋的粗糙表面是由掃描長度到原子長度的無數(shù)個空間頻率組成，如果表面被重復(fù)放大，可以觀察到粗糙表面不斷出現(xiàn)的細微結(jié)構(gòu).因此粗糙表面盡管有連續(xù)的輪廓，卻是處處不可微的，而且具有自仿射性.粗糙表面輪廓的這種多尺度性和自仿射性使其難以建立數(shù)學模型［13］.

分形幾何的出現(xiàn)給上述粗糙表面輪廓的描述奠定了數(shù)學基礎(chǔ)，其中Weierstrass Mandelbrot分形函數(shù)（W M函數(shù)）滿足連續(xù)性、處處不可微性和自仿射性，可用來表征和模擬粗糙表面的輪廓［14］.圖1為分形函數(shù)（W M函數(shù)）表征的銹蝕鋼筋表面輪廓示意圖.

圖1 分形函數(shù)表征的銹蝕鋼筋的表面輪廓

圖1中，將鋼筋表面輪廓表示成函數(shù)Z（x），其表達式［15］為

式中：D為分形維數(shù)；G為特征尺度系數(shù)；γ為大于1的常數(shù)；γn為輪廓的空間頻率，當n＝n1時，γn1＝1／l（l為取樣長度）.

由式（1）可知，Z（x）級數(shù)收斂，而dZ／dx發(fā)散，這意味著函數(shù)在任意點均不可微，同時滿足自放射關(guān)系：

定義Z（x）的增量方差S（τ）為結(jié)構(gòu)函數(shù)，即

由W M分形函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)R（τ），即

經(jīng)過傅立葉變換得到

將式（6）代入式（3），積分得到

式中Γ（x）為Gamma函數(shù).

式中C為尺度系數(shù)，反應(yīng)輪廓的不平整度.

對式（8）兩邊取對數(shù)，針對若干尺度τ對輪廓曲線的離散信號計算出相應(yīng)的S（τ）.在雙對數(shù)坐標ln S（τ）－lnτ中進行擬合，得到一條近似的直線，擬合直線的斜率為α，截距為A，最后換算得到表面輪廓曲線的分形維數(shù)D和尺度系數(shù)C.其中，分形維數(shù)D與斜率α的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

2 試 驗

2.1 試驗梁設(shè)計

試驗中采用的混凝土梁尺寸為b×h×L＝150 mm×100 mm×1 500 mm.混凝土設(shè)計強度為C30，水泥采用42.5普通硅酸鹽水泥，粗骨料采用粒徑為5～25 mm的碎石，細骨料采用細度模數(shù)為1.62的江砂，混凝土配合比詳情如表1所示.

表1 混凝土配合比詳情

混凝土縱向鋼筋采用直徑16 mm的HRB335鋼筋，每根梁放置2根鋼筋，單根長度1 600 mm.保護層厚度分別為20 mm和40 mm.圖2為試驗梁設(shè)計圖.實際工程中的混凝土結(jié)構(gòu)由于受到荷載作用通常處于帶裂縫工作狀態(tài)，為了真實模擬實際工程中的混凝土結(jié)構(gòu)受荷載作用的工作狀態(tài)，在澆鑄構(gòu)件時，參考實際工程中受彎構(gòu)件常見的裂縫參數(shù)，用金屬薄片在梁構(gòu)件表面預(yù)制不同寬度、深度和間距的預(yù)裂縫（見圖2）.混凝土梁澆筑后自然養(yǎng)護28 d，并測得立方體抗壓強度為32.1 MPa.

圖2 試驗梁設(shè)計圖（單位：mm）

2.2 試驗方法

圖3為鋼筋的銹蝕部位分布情況.為了更加真實地反應(yīng)自然環(huán)境下混凝土試件內(nèi)部鋼筋的銹蝕形態(tài)，將試件置于質(zhì)量分數(shù)為5%的NaCl溶液池中，采用干濕比為1∶1的循環(huán)試驗法進行加速銹蝕，單個循環(huán)周期為14 d，共歷時1 400 d.干濕循環(huán)試驗結(jié)束后，將混凝土試件取出，置于室外環(huán)境，干燥7 d，隨后對試件破型，取出銹蝕鋼筋.然后對其銹蝕部位進行外觀檢測和統(tǒng)計記錄（見圖3）.從圖3中可以看出，鋼筋沿長度方向的銹蝕形態(tài)呈現(xiàn)不均勻性，越靠近保護層一側(cè)銹蝕程度越嚴重.

圖3 鋼筋的銹蝕部位分布情況

考慮到銹坑分布位置和試驗數(shù)據(jù)多樣化，對已取出鋼筋進行合理截取，所有鋼筋試件長度為500 mm，共計4根.將鋼筋試件置于質(zhì)量分數(shù)為5%的稀鹽酸中1～25 min進行清洗，經(jīng)清水漂清后，用無水乙醇清理鋼筋表面殘余污漬，擦干后在電烤箱中進行烘干處理.然后稱取鋼筋除銹后質(zhì)量m，由于銹蝕鋼筋試樣長度l為500 mm，則銹蝕鋼筋的平均線密度為

式中：ρc為銹蝕鋼筋的平均線密度，g·cm－1；m為鋼筋除銹后質(zhì)量，g.

設(shè)未銹蝕前鋼筋的平均線密度為ρ0，則銹蝕鋼筋的截面平均銹蝕率ηavg為

經(jīng)計算，各試件的詳情參數(shù)如表2所示.采用雙尖頭千分尺沿著銹蝕鋼筋試件長度，每隔10mm測量鋼筋的直徑，獲取500 mm采樣長度內(nèi)鋼筋截面直徑分布數(shù)據(jù)，用于分析銹蝕鋼筋截面直徑的分形特征.

表2 各試件的詳情參數(shù)

3 銹蝕鋼筋截面直徑的特征

3.1 截面直徑的分布特征

對前述4組銹蝕鋼筋試件的截面直徑進行頻數(shù)統(tǒng)計，結(jié)果如圖4所示.由圖4可知，銹蝕鋼筋截面直徑總體呈非對稱的偏態(tài)分布.

利用Matlab軟件中提供的Kstest檢驗函數(shù)，對數(shù)據(jù)進行正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布假設(shè)檢驗［16］.

表3為不同假設(shè)（正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布假設(shè)）檢驗的K S檢驗計算結(jié)果.

圖4 不同截面直徑銹蝕鋼筋的頻數(shù)分布圖

表3 不同假設(shè)檢驗的K S檢驗結(jié)果

從表3可以看出，不論選定較小的顯著性水平α＝0.01還是選定較大的顯著性水平α＝0.05，1＃，2＃，3＃和4＃試件均不拒絕正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布.由此可見，在氯鹽侵蝕環(huán)境下，混凝土內(nèi)銹蝕鋼筋的截面直徑分布規(guī)律較為復(fù)雜，這是鋼筋銹蝕的隨機性和不均勻性導致的.

3.2 截面直徑的分形特征

通過式（3）的離散化結(jié)構(gòu)函數(shù)表達式，利用采集到的銹蝕鋼筋截面直徑數(shù)據(jù)計算截面直徑的分形維數(shù).具體方法如下所示.

如果數(shù)據(jù)采樣點間隔為Δl，在采樣長度l上共采集N個點，則有

令式（3）中τ＝nΔl，n＝0，1，2，…，N－1，則離散化結(jié)構(gòu)函數(shù)表達式為

通過Matlab語言實現(xiàn)結(jié)構(gòu)函數(shù)法的數(shù)值求解模型，并計算S（τ），在雙對數(shù)坐標lnS（τ）－lnτ中整理數(shù)據(jù)，根據(jù)回歸直線斜率α與分形維數(shù)D的關(guān)系得到分形維數(shù)的值.對4根銹蝕鋼筋試件的截面直徑數(shù)據(jù)進行處理計算.鋼筋試件擬合結(jié)果如圖5所示.

由式（8）及圖5可知，lnC為雙對數(shù)坐標lnS（τ）－lnτ中直線的截距值.在此雙對數(shù)坐標系下，大部分散點形成了明顯的線性發(fā)展趨勢.根據(jù)式（9），由圖5中4條趨勢線的斜率可以計算出4根銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)分別如下：D1＝1.915，D2＝1.930，D3＝1.935，D4＝1.915.

考察分形維數(shù)與銹蝕率的關(guān)系可知，銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)隨著鋼筋平均截面銹蝕率的增大而增大.理想狀況下的均勻銹蝕指在任何位置的銹蝕深度相同，所有的坑蝕點形成了坑蝕面，面的維數(shù)是2，所以D＝2；理想狀況下的不均勻銹蝕指在任何位置的銹蝕深度都不同，所有的坑蝕點之間形成相對獨立的線，線的維數(shù)是1，所以D＝1［7］.

在鋼筋銹蝕初期，新坑蝕的出現(xiàn)與老坑蝕的發(fā)展同步進行，新老坑蝕的深度相差較大，鋼筋銹蝕的不均勻性較大，分形維數(shù)D較??；隨著銹蝕的進行，新坑蝕的出現(xiàn)速度減緩，銹蝕主要以老坑蝕的發(fā)展為主，銹蝕速度加快，體現(xiàn)為老坑蝕的銹蝕深度逐漸趨于一致，此時鋼筋銹蝕的不均勻性減小，分形維數(shù)D增加.因此，銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)與鋼筋的銹蝕率成正相關(guān)關(guān)系.

由圖5可知，1＃與4＃的直線斜率相同，但截距不同，說明銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)與鋼筋表面粗糙程度不是唯一對應(yīng)關(guān)系.分形維數(shù)D反映的是銹蝕鋼筋表面輪廓曲線的不規(guī)則性，屬于測度的相似性參數(shù)，對鋼筋表面輪廓粗糙程度變化具有很高的靈敏性；尺度系數(shù)C反映的是單位尺度下銹蝕鋼筋表面輪廓測度的絕對參數(shù)，對表征銹蝕鋼筋表面輪廓變化具有很高的靈敏性［17］.

圖5 不同截面直徑銹蝕鋼筋試件的擬合結(jié)果

3.3 特征參數(shù)

結(jié)合分形維數(shù)D與尺度系數(shù)C，定義特征輪廓參數(shù)θ為當銹蝕鋼筋截面直徑的增量方差為單位測度時的測量尺度.根據(jù)定義，令S（τ）＝1，則θ的表達式為

由于θ值非常小，為了更好地用θ值表征銹蝕鋼筋表面輪廓分布特征，令

式（15）中，參數(shù)M將分形維數(shù)D與尺度系數(shù)C結(jié)合起來，既能體現(xiàn)銹蝕鋼筋表面輪廓的相似性，又能體現(xiàn)出其變化的絕對性.當C∈（0，＋∞）確定時，M隨D∈（1，2）的增加單調(diào)遞增；當D確定時，M隨C的增加單調(diào)遞增，所以M可以確定地表征出銹蝕鋼筋表面輪廓的分布特征.計算試驗樣本M值，結(jié)果見表4.

表4 銹蝕鋼筋特征參數(shù)

由表4可知，隨著分形維數(shù)和尺度系數(shù)的變化，M值變化非常明顯.由于M結(jié)合了分形維數(shù)D與尺度系數(shù)C的特點，所以比單獨利用D或者C描述鋼筋表面輪廓特征更為準確，實現(xiàn)了銹蝕鋼筋表面輪廓絕對測量與相似測量的統(tǒng)一.

4 結(jié) 論

1）氯鹽環(huán)境中，銹蝕鋼筋截面直徑的分布特征比較復(fù)雜，當選定的顯著水平不大于0.06時，不拒絕正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布.鋼筋截面直徑分布的復(fù)雜性主要是鋼筋銹蝕不均勻?qū)е碌?

2）通過結(jié)構(gòu)函數(shù)法求解得到4根銹蝕鋼筋樣本截面直徑的分形維數(shù)，結(jié)果表明，銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)D與鋼筋的銹蝕率成正相關(guān)關(guān)系.

3）分形維數(shù)D反映的是銹蝕鋼筋表面輪廓曲線的不規(guī)則性，尺度系數(shù)C反映的是單位尺度下銹蝕鋼筋表面輪廓測度的絕對參數(shù)，都不能作為單一表征鋼筋銹蝕特征的理想?yún)?shù).M結(jié)合了分形維數(shù)D與尺度系數(shù)C的特點，所以比單獨利用D或者C描述鋼筋表面輪廓特征更為準確，實現(xiàn)了銹蝕鋼筋表面輪廓絕對測量與相似測量的統(tǒng)一.

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Surface profile distribution characteristics of corroded steel bars based on fractal theory

LU Chunhua，YANG Jinmu，YAN Yongdong，F(xiàn)U Qiaoying
（Faculty of Civil Engineering and Mechanics，Jiangsu University，Zhenjiang，Jiangsu 212013，China）

To precisely characterize the surface profile of corroded steel bars，a calculating model of fractal dimension and scale coefficient for the cross sectional diameter of corroded steel bars was derived based on structure functionmethod.Four steel specimenswith different corrosion rateswere obtained from concrete beams eroded by chloride salt.Utilizingmicrometer tomeasure the cross sectional diameter，the distribution characteristicswere analyzed.The results show that the diameter of corroded steel bar does not reject normal distribution，lognormal distribution and Weibull distribution.The fractal dimension and the scale coefficient are calculated by derived calculating model，and the fractal dimension of cross sectional diameter is positively correlated with rebar corrosion rate.Combining with fractal dimension and scale coefficient，the unified relationship between absolute measurement and similar measurement of surface profile of corroded steel bars can be realized by the characteristic parameter of corroded steel bars，which helps to characterize the surface profile of corroded steel barsmore precisely.

corroded steel bars；distribution characteristic；fractal theory；structure function method；characteristic parameter

10.3969／j.issn.1671－7775.2018.01.017

TU511.32

A

1671－7775（2018）01－0102－06

2016－09－28

國家自然科學基金資助項目（51378241，51578267）；江蘇省“六大人才高峰”高層次人才選拔培養(yǎng)資助項目（2015－JZ－008）

陸春華（1979—），男，江蘇昆山人，博士，副教授（lch79＠ujs.edu.cn），主要從事混凝土結(jié)構(gòu)耐久性的研究.

楊金木（1992—），男，安徽馬鞍山人，碩士研究生（trlife＠yeah.net），主要從事混凝土結(jié)構(gòu)耐久性的研究.

陸春華，楊金木，延永東，等.基于分形理論的銹蝕鋼筋表面輪廓分布特征［J］.江蘇大學學報（自然科學版），2018，39（1）：102－107.

（責任編輯 趙 鷗）