基于模糊核優(yōu)化的圖像盲去模糊算法

尤佳旗

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

基于模糊核優(yōu)化的圖像盲去模糊算法

尤佳旗

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

針對(duì)圖像的模糊算法優(yōu)化問(wèn)題，首先選取高斯分布擬合自然圖像的分布特性，利用雙邊濾波器從模糊圖像中提取出清晰的圖像邊緣。針對(duì)降噪進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，在初步估計(jì)出模糊核之后，對(duì)模糊核進(jìn)行正規(guī)化修正工作。最后在圖像復(fù)原階段，利用優(yōu)化的凸函數(shù)擬合自然圖像分布，并利用快速傅里葉變換提高算法計(jì)算速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明該模糊核優(yōu)化算法與現(xiàn)有的其他算法相比,復(fù)原后的圖像具有更好的視覺(jué)效果,且計(jì)算時(shí)間減少約20%。

高斯分布；濾波器；模糊核；傅里葉變換

圖像的運(yùn)動(dòng)模糊是指相機(jī)在曝光時(shí)間范圍之內(nèi)產(chǎn)生移動(dòng)從而導(dǎo)致的圖像重影的現(xiàn)象，這種重影現(xiàn)象在視覺(jué)上呈現(xiàn)為圖像的模糊感。盲去模糊是指在模糊方式未知的情況下，僅僅依靠退化圖像本身來(lái)還原出原始清晰圖像的過(guò)程，圖像的運(yùn)動(dòng)模糊過(guò)程可以通過(guò)將清晰圖像同模糊核(PSF:即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù))卷積來(lái)完成，然后加上噪聲因素的考慮,公式如下

B=K*L+N

(1)

其中，“*”表示二維卷積操作；L表示原始清晰圖像；B表示退化的模糊圖像；K表示模糊卷積核；N表示加性噪聲。式(1)適用于相機(jī)沿著平行于圖像平面的方向移動(dòng)的情況。

近年來(lái)的盲去模糊算法取得了較多的進(jìn)展。絕大多數(shù)方法依賴于圖像的先驗(yàn)分布狀況對(duì)清晰圖像或者模糊核進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[1]中使用零均值高斯混合分布來(lái)匹配具有重尾分布的圖像先驗(yàn)?zāi)Ｐ?，然后使用變分貝葉斯框架進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[2]中利用稀疏先驗(yàn)分布同時(shí)描述原有清晰圖像和模糊核，然后使用一種交替極小化的方式進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[3]中通過(guò)首先定位階梯狀邊緣然后將局部強(qiáng)度朝著邊緣傳播的方法來(lái)預(yù)測(cè)清晰的圖像邊緣。文獻(xiàn)[4]中使用雙邊濾波和沖擊濾波來(lái)預(yù)測(cè)清晰的邊緣。文獻(xiàn)[5]采用超拉普拉斯分布來(lái)建模，因?yàn)樗葮?biāo)準(zhǔn)拉普拉斯分布更接近于重尾分布并且采用一個(gè)有效的最小化方法來(lái)解決這個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題。

在一般的去模糊算法中,先進(jìn)行模糊核估計(jì),然后通過(guò)去模糊算法對(duì)圖像進(jìn)行圖像復(fù)原。得到精確模糊核的步驟為：增強(qiáng)并選擇有用的圖像邊緣；利用提取的圖像邊緣估計(jì)模糊核；對(duì)得到的模糊核進(jìn)行修正。由于盲去運(yùn)動(dòng)模糊過(guò)程對(duì)噪聲極其敏感,即使很小的噪聲也會(huì)嚴(yán)重影響圖像復(fù)原的效果。因此,得到精確的模糊核來(lái)估計(jì)出清晰的圖像的兩個(gè)前提是：恢復(fù)突出的邊緣和噪聲抑制。本文就通過(guò)對(duì)這兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)得到一種新的圖像去模糊算法。

1 邊緣提取

由于圖像復(fù)原過(guò)程對(duì)噪聲極其敏感,即使很小的噪聲也會(huì)嚴(yán)重降低圖像復(fù)原的效果。傳統(tǒng)的濾除噪聲的方法是使用高斯濾波器,計(jì)算目標(biāo)像素點(diǎn)鄰域內(nèi)所有像素值的權(quán)重平均值,其中距離鄰域中心越遠(yuǎn),權(quán)重越小。這種方法雖然能在保留圖像信息的同時(shí)消減噪聲,但會(huì)使圖像中細(xì)小邊緣模糊,這樣將不利于用圖像邊緣估計(jì)模糊核。本文利用雙邊濾波器[6]對(duì)模糊圖像進(jìn)行平滑操作,能在降低圖像噪聲的同時(shí)保持圖像邊緣。雙邊濾波器公式為

(2)

其中，Ix表示雙邊濾波器處理輸出結(jié)果;k為歸一化因子;L表示模糊圖像;x表示目標(biāo)像素點(diǎn)，是以x為中心的鄰域;"ξ" 表示鄰域像素點(diǎn);f函數(shù)表示x與"ξ" 兩個(gè)像素之間的空間距離;g函數(shù)表示像素值之間的相似程度權(quán)重。

為了利用圖像邊緣估計(jì)模糊核，需要對(duì)增強(qiáng)的圖像邊緣進(jìn)行提取。而雙邊濾波器只能起到濾除噪聲和保持邊緣的作用,并不能使圖像的邊緣信息增強(qiáng)。因此本文采用改進(jìn)的沖擊濾波器對(duì)模糊圖像進(jìn)行邊緣增強(qiáng),使沖擊濾波器具備降噪和邊緣增強(qiáng)的同時(shí),還能保持圖像總變分不變,信號(hào)能量不會(huì)隨著時(shí)間流逝而被削弱。首先,Osher和Rudin[7]提出一種雙曲線偏微分方程圖像銳化增強(qiáng)模型,即沖擊濾波器的原型。其數(shù)學(xué)模型如下

(3)

要增強(qiáng)圖像對(duì)噪聲的抗干擾能力,通常做法就是卷積信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)和低通濾波器,比如高斯濾波器,其數(shù)學(xué)公式為

(4)

其中，Gσ是標(biāo)準(zhǔn)偏差為σ的高斯分布。該沖擊濾波器的缺點(diǎn)是：當(dāng)模糊核過(guò)小時(shí)，無(wú)法良好的過(guò)濾噪聲；而當(dāng)模糊核過(guò)大時(shí)，雖然噪聲能被過(guò)濾，但信號(hào)精度卻大幅下降。Guy Gilboa針對(duì)該問(wèn)題做出如下的改進(jìn)，使其能夠正確處理有噪聲的信號(hào)[8]。首先在原有沖擊濾波器模型中增加一個(gè)線性擴(kuò)散項(xiàng)，目的是降低放大過(guò)程引入的噪聲干擾，其數(shù)學(xué)模型為

(5)

其中，λ>0，用于調(diào)節(jié)沖擊濾波和擴(kuò)散的權(quán)重。通過(guò)讓擴(kuò)散項(xiàng)ΔL乘以‖sign(L)‖可以使總變分差[9]保持不變，當(dāng)圖像梯度L≠0時(shí)，‖sign(L)‖=1，即信號(hào)不平坦時(shí)，對(duì)圖像進(jìn)行沖擊濾波。當(dāng)圖像梯度L=0時(shí)，‖sign(L)‖=0 ，即不破壞信號(hào)的平坦區(qū)域。因此該模型具備降噪以及邊緣增強(qiáng)的功能的同時(shí)，能保持模糊圖像總變分不變,使信號(hào)能夠不會(huì)隨著時(shí)間流逝而被削弱。

文獻(xiàn)[10]提出結(jié)合時(shí)間因素來(lái)達(dá)到降低噪聲和邊緣增強(qiáng)的目的,改進(jìn)的沖擊濾波器為

(6)

該方法用arctan(α·ΔL)代替sign(L)，使函數(shù)具備控制沖擊方向的能力，也能控制邊緣的鋒利程度以及收斂速度。參數(shù)a越大，邊緣就越鋒利。越接近拐點(diǎn)，其ΔL越大，靠近邊緣比相對(duì)平緩點(diǎn)的區(qū)域就能更快變得鋒利。在處理初始階段，信號(hào)所含的噪聲比較強(qiáng)烈，這時(shí)圖像梯度估計(jì)存在較大的誤差。此時(shí)通常需要一個(gè)降噪過(guò)程，因此通過(guò)結(jié)合時(shí)間因素可以達(dá)到降噪與邊緣增強(qiáng)的目的。在處理初期該濾波器主要表現(xiàn)為降噪能力(因?yàn)榇藭r(shí)時(shí)間較小，沖擊濾波器的能力被大幅削弱)，隨著時(shí)間的流逝，沖擊濾波器的權(quán)重逐漸增大，最終達(dá)到增強(qiáng)圖像邊緣的目的[11]。

2 邊緣選擇

當(dāng)模糊核尺度過(guò)大時(shí)，圖像中某些突出邊緣會(huì)不利于模糊核估計(jì)，因此要選取有用的邊緣來(lái)進(jìn)行模糊核估計(jì)是非常重要的。參照文獻(xiàn)[12]設(shè)置選取準(zhǔn)則，公式如下

(7)

其中，B表示模糊圖像；Nh(x)以像素x為中心的h×h的窗口；0.5是避免在平坦區(qū)域產(chǎn)生較大r值。B是梯度,因此在平坦位置,B(y)值很小。在尖峰位置,B(y)值有正有負(fù),在計(jì)算公式的分子部分時(shí),值會(huì)有較大抵消是在Nh(x)的絕對(duì)峰值幅度總和。因此,r值較小時(shí)代表此處是平坦區(qū)域或者尖峰。

為了去掉圖像中的噪聲,本文利用模型M設(shè)置閾值去除較小的r值。

M=H(r-τr)

(8)

其中,H(·)是階躍函數(shù)，τr是閾值。最終選擇的圖像邊緣為

LS=

(9)

3 快速模糊核估計(jì)

B=K*Ls+N

(10)

(11)

由于目標(biāo)函數(shù)中的變量都是矩陣,所以可用如下方程式重新表達(dá)

f(K)=(K*Ls-B)T(K*Ls-B)+ηKTK

(12)

對(duì)式(9)兩邊求偏導(dǎo)，可得

(13)

由式(13)可知，K有閉式解

(14)

運(yùn)用快速傅里葉變化(FFT)技術(shù)，將矩陣的空間卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化到頻率域的點(diǎn)乘運(yùn)算,以此大幅降低計(jì)算量。

(15)

模糊核修正：

(1)模糊核的非負(fù)特性,將模糊核中過(guò)小的元素值以及負(fù)值剔除。定義模糊核的閾值Tk

(16)

其中，max(K)表示模糊核K中最大值；

(2)保持模糊核的連續(xù)性,排除分支,僅保留主要結(jié)構(gòu)；

(3)根掘模糊核的能量守恒特性,對(duì)模糊核進(jìn)行歸一化,即元素和等于1。

圖1 模糊核的修正結(jié)果對(duì)比

4 快速圖像反卷積

一般盲目反卷積就是交替優(yōu)化模糊核K和清晰圖像L，在模糊核估計(jì)和圖像反卷積過(guò)程中，用以下方程求解[14]

K′=arg minK{‖B-K*L‖+ρK(K)}

(17)

L′=arg minL{‖B-K*L‖+ρL(L)}

(18)

其中，‖B-K*L‖是數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)，通常使用L2范數(shù)；ρK(K)和ρL(L)分別是模糊核K和清晰圖像L的泛函數(shù)，是正規(guī)化項(xiàng)。

當(dāng)ρ=2時(shí)，表示該模型運(yùn)用高斯分布先驗(yàn)知識(shí)，即約束最小二乘法，其優(yōu)化函數(shù)定義為

L′=arg minL{‖K*L-B‖2+μ‖L‖2}

(19)

該優(yōu)化函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù),因此,一定存在閉合解。運(yùn)用拉格朗日算法最小化優(yōu)化函數(shù)[15],其過(guò)程如下。

(1)由于該優(yōu)化函數(shù)中的變量都是矩陣形式，可將其重寫成

f(L)=(K*Ls-B)T(K*Ls-B)+
μ(L)T(L)

(20)

(2)對(duì)等式兩邊L求偏導(dǎo)數(shù)，得

(21)

(22)

(4)運(yùn)用快速傅里葉變換(FFT),將矩陣的空間域的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化到頻率域的點(diǎn)乘運(yùn)算,可大大地降低計(jì)算量

(23)

為保持圖像的清晰邊緣，定義目標(biāo)函數(shù)

L′=arg minL{‖l*k-B‖2+μ‖L-Ls‖2}

(24)

(25)

由于快速算法重點(diǎn)在于提高運(yùn)算速度,對(duì)實(shí)際釆集到的運(yùn)動(dòng)模糊圖像的處理結(jié)果不理想,因此對(duì)人工合成的運(yùn)動(dòng)模糊圖像進(jìn)行處理通過(guò)實(shí)驗(yàn),對(duì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像進(jìn)行復(fù)原。選取圖像大小為256×256,首先添加運(yùn)動(dòng)方向?yàn)?35°,運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度為21的運(yùn)動(dòng)模糊核,再添加噪聲是均值為0方差為0.1的高斯噪聲。

圖2 第1次估計(jì)

圖3 第2次估計(jì)

圖4 第3次估計(jì)

圖5 復(fù)原效果

本文算法來(lái)用多尺度復(fù)原模糊核,然后用估計(jì)得模糊核復(fù)原出清晰圖像,選取前3次變化叫明顯的迭代。圖2是第1次估計(jì)，圖3是第2次估計(jì)，圖4是第3次估計(jì),得出清晰模糊核。最后,由估計(jì)得模糊核,反卷積出清晰圖像,復(fù)原結(jié)果如圖5所示。由圖5復(fù)原結(jié)果與其他文獻(xiàn)中含噪聲的濾波器復(fù)原結(jié)果相比，算法的復(fù)原結(jié)果要好很多。從圖像復(fù)原結(jié)果圖可看出,圖像的平滑區(qū)域復(fù)原效果理想,但在圖像尖銳的邊緣區(qū)域卻仍然存在明顯的振鈴效應(yīng)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)圖像盲去模糊技術(shù)進(jìn)行了深入研究，涉及到快速盲去模糊算法、模糊核估計(jì)技術(shù)，提出了利用圖像邊緣及多尺度策略估計(jì)模糊核。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法與現(xiàn)有的其他算法相比，復(fù)原后的圖像具有更好的視覺(jué)效果，且計(jì)算時(shí)間可減少約20%。

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Blind Image Deblurring Based on Optimized Fuzzy Kernel

YOU Jiaqi

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

In view of optimizing image fuzzy algorithm，distribution characteristics of natural images is fitted by selecting gaussian distribution firstly. The bilateral filter is used to extract image edges from blurred image. Setting parameter for noise reduction, after preliminary estimate the fuzzy kernel, fuzzy kernel revision is normalized. Finally, in image restoration stage, optimized convex function is used to fit distribution of natural images and fast Fourier transform algorithm are used to improve calculation speed. The experimental results show that compared with other existing algorithms, this image fuzzy optimization algorithm has better visual effect and significantly reducing computing time about 20% after recovery.

gaussian distribution;filter;fuzzy kernel;the Fourier transform

2017- 02- 28

國(guó)家自然科學(xué)基金 (51475310)；教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20133120120005)

尤佳旗(1992-)，男，碩士研究生。研究方向：圖像處理。

TP18

A

1007-7820(2018)01-054-05