歐拉-拉格朗日方程在一維波動方程中的應(yīng)用

王 穎 史旭光

(北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083)

歐拉-拉格朗日方程在一維波動方程中的應(yīng)用

王 穎 史旭光

(北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083)

本文以一維弦上微元的動能和勢能為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出了一維波動方程。文章首先介紹了通過力學(xué)分析得到一維波動方程的方法。然后分析了一維自由運動粒子的動能和勢能，引入系統(tǒng)的哈密頓量和拉格朗日函數(shù)，由最小作用原理得到了歐拉-拉格朗日方程，也就是粒子的運動方程。將這一方法用于分析一維弦上波動，給出微元的拉格朗日密度函數(shù)，得到可以描寫無窮多自由度系統(tǒng)的歐拉-拉格朗日方程，從而導(dǎo)出了一維波動方程。最后分析了一維弦上波動的拉格朗日密度與弦理論中Polyakov作用量中的拉格朗日密度的關(guān)系。

波動方程；拉格朗日函數(shù)；最小作用量原理；歐拉-拉格朗日方程

波動是物理學(xué)中的重要概念。人們一般采用動力學(xué)、運動學(xué)或者疊加原理等方法得到一維波動方程[1-3]，而這些方法中很少有通過能量得到波動方程。本文先介紹從一維弦受力分析得到一維波動方程的方法，然后給出一維粒子拉格朗日函數(shù)，并根據(jù)最小作用量得到歐拉-拉格朗日方程。通過分析一維弦上微元的動能和勢能，給出一維弦上波動的拉格朗日密度函數(shù)，從歐拉-拉格朗日方程推導(dǎo)波動方程。

1 一維波動方程力學(xué)推導(dǎo)

一維波動方程的推導(dǎo)可由一維弦上微元受力分析得到?？紤]一根張緊的弦，弦的一端是振源，當(dāng)振源簡諧振動時，便會有波在弦上傳播。如圖1，在此弦上選取一段微元dx[4]，微元dx兩端的張力分別為T1,T2，T1和水平方向的夾角為θ+dθ，T2與水平方向的夾角為θ。由于微元在水平方向不發(fā)生位移，因此水平方向受力平衡

T1cosθ+dθ-T2cosθ=0

(1)

圖 1

微元dx在豎直方向有位移，豎直方向受力分析為

(2)

其中ρ是弦的密度。因為dθ很小，根據(jù)方程(1)，可以得到條件T1≈T2=T。因此，方程(2)變成

(3)

化簡得出波動方程為

(4)

其中u為弦上波速，滿足

(5)

2 一維粒子的歐拉-拉格朗日方程

考慮一個粒子在一維空間運動的情況。假設(shè)t=0時粒子在x1處，在t時刻粒子在x2處，且滿足邊界條件

xt1=x1

(6)

xt2=x2

(7)

(8)

(9)

(10)

對此作用量進行變分，結(jié)合最小作用量原理[5,6]有

(11)

因為對于任意的δx式(11)都成立，所以式(11)的括號內(nèi)一項必須為零，即

(12)

此式即為粒子在一維空間運動的歐拉-拉格朗日方程。

3 一維弦上波動的歐拉-拉格朗日方程

考慮到一維弦上波動時，上述一維運動粒子的歐拉-拉格朗日方程需要修改。原因在于一維粒子其自由度只有x和t。而一維弦作為波傳播的介質(zhì)，是一個連續(xù)的質(zhì)點系統(tǒng)，質(zhì)點和質(zhì)點之間存在相互作用。當(dāng)波在一維弦上傳播時，是弦上所有質(zhì)點進行集體運動的結(jié)果，其自由度是無窮多的。為了能描述這一質(zhì)點系系統(tǒng)，需要引入拉格朗日密度函數(shù)

L=Lφx,?μφx,xμ

(13)

其中φ是波函數(shù)，描述波動。xμ,μ=0,1是時空坐標(biāo)，代表t,x。拉格朗日量L與拉格朗日密度函數(shù)L滿足下式

(14)

由拉格朗日密度函數(shù)，推得系統(tǒng)的作用量為

(15)

其中dx2=dxdt為具有邊界的二維時空體積R的體積元。當(dāng)坐標(biāo)xμ做以下微小的變換

(16)

作用量式(15)的變化為

(17)

考慮到式(16)，有dx′2=1+?μδxμdx2。可得

(18)

此處δL為

(19)

結(jié)合式(18)和(19)，有

(20)

由于

(21)

式(20)變?yōu)?/p>

(22)

上式第二項來自于斯托克斯公式，?R是二維時空體積R的邊界。在邊界?R上，有δφ=0,δxμ=0。因此，歐拉-拉格朗日方程為

(23)

以上過程可以推廣到任意維度，系統(tǒng)的運動方程都是(23)式。

4 由歐拉-拉格朗日方程推導(dǎo)一維波動方程

對于一維弦上的波動，微元在y方向上振動，波沿x方向上傳播，坐標(biāo)xμ代表t,x，此時μ=0,1。我們使用y來表示波函數(shù)φ。為了得到拉格朗日密度函數(shù)，首先考慮在x處的微元dx的動能，微元dx的動能表達(dá)式較為簡單，可寫為

(24)

微元dx的勢能較復(fù)雜，可由功能關(guān)系推得。微元dx在x方向所受合力為零，沒有位移，因此在x沒有形變。微元dx的彈性形變產(chǎn)生在y方向上，此方向上的形變記為dy[7]。形變后的微元dx的長度變?yōu)?/p>

(25)

由此得到由于弦的形變微元dx產(chǎn)生的伸長量為

(26)

也即

(27)

(28)

此功轉(zhuǎn)化為微元dx所具有的勢能Ep?？紤]到式(7)，微元dx的勢能為

(29)

由動能式(24)和勢能式(29)，描述微元dx的拉格朗日函數(shù)為

(30)

由此可以得到一維弦上的波動的拉格朗日密度為

(31)

參考式(23)，則歐拉-拉格朗日方程變?yōu)?/p>

(32)

將拉格朗日密度函數(shù)式(30)代入此歐拉-拉格朗日方程，得到一維弦上波動方程

(33)

5 討論

為了給出拉格朗日密度函數(shù)式(31)更簡潔的表示，定義新坐標(biāo)

u0=ut,u2=x

(34)

同時引入矩陣

(35)

使用式(34)和式(35)可以得到微元dx的拉格朗日密度函數(shù)的

(36)

(37)

此式是平直時空條件下，弦理論polyakov作用量[8]中定義的拉格朗日密度函數(shù)。

通過拉格朗日密度函數(shù)的方法推導(dǎo)一維波動方程可以使我們更加深入地理解一維弦上波動方程與波的動能和勢能的聯(lián)系。從拉格朗日密度函數(shù)出發(fā)研究一維弦上波動的問題，不僅可以得到波動方程，還可以給出一維弦上波動問題的哈密頓量，研究一維弦上波的能動張量及各種對稱性問題。這正是用拉格朗日方法研究波動問題的優(yōu)勢所在。

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APPLICATIONOFEULER-LAGRANGEEQUATIONINONE-DIMENSIONALWAVEEQUATION

WANGYingSHIXuguang

(College of Science, Beijing Forestry University, Beijing 100083)

In this paper, the one-dimensional wave function is studied in frame of the kinetic energy and potential energy. In general, one-dimensional wave equation is obtained through the force analysis of an arbitrary string element and Newton’s second law. In this paper, we introduce the Lagrangian of a particle, which moves in the potentialV. Then Euler-Lagrange equation, Which is also the motion equation of particle, is given based on the principle of the least action. In the frame of this theory, we give the kinetic energy and potential energy of the string element. Then the Lagrange density function of the 1-dimension string element is defined. The Euler-Lagrange equation to describe a system with infinite degrees of freedom is obtained. Based on these, the one-dimensional wave equation is revealed. At last, we give the relations between Lagrange density function in one-dimensional wave and Lagrange density function in Polyakov interaction in string theory.

wave equation; Lagrangian function; principle of least action; Euler-Lagrange equation

2016-11-09;

2017-05-16

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助(2015ZCQ-LY-02)。

史旭光，男，副教授，主要從事大學(xué)物理教學(xué)和拓?fù)鋱稣摰难芯浚瑂hixg@bjfu.edu.cn。

王穎,史旭光. 歐拉-拉格朗日方程在一維波動方程中的應(yīng)用[J]. 物理與工程，2017，27(6)：41-44.

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