平面解析幾何中的易錯點剖析

平面解析幾何研究的內(nèi)容是求曲線方程，再通過方程的特征研究曲線的幾何性質(zhì)，是數(shù)與形結(jié)合的典范，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法研究曲線的思想方法.高考中重點考查直線、圓以及圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)，直線與圓和圓錐曲線的位置關(guān)系，對同學們的思維能力、運算求解能力及數(shù)學思想方法的靈活運用要求較高.復習這部分內(nèi)容時要理清概念，掌握基本方法，特別要注意理清概念的內(nèi)涵與外延，對一些常見概念及公式的易錯點要了如指掌.本文從解析幾何的典型易錯知識與方法加以剖析，以提高大家的辨別能力，提高解題速度與正確率.

易錯剖析一：基本概念理解偏差致錯

例1設雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的虛軸長為2，焦距為23，則雙曲線的漸近線方程為.

錯解：由題意，b=2，c=23，故a=22，所以雙曲線的漸近線方程為y=±22x.

錯因分析：雖然結(jié)果正確，但是解決問題過程中概念不清晰，雙曲線的虛軸長為2b，焦距為2c.

正解：因為2b=2，所以b=1，因為2c=23，所以c=3，所以a=c2-b2=2，所以雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±22x.

例2已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是.

錯解：方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，所以m2+n>0，3m2-n>0，所以-m2

∴焦距2c=2×2|m|=4，解得|m|=1，∴-1

錯因分析：方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，不一定是m2+n>0，3m2-n>0，應正確轉(zhuǎn)化為（m2+n）·（3m2-n）>0，解得-m2

正解：∵方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，∴（m2+n）·（3m2-n）>0，解得-m2

由雙曲線性質(zhì)，知c2=（m2+n）+（3m2-n）=4m2（其中c是半焦距），∴焦距2c=2×2|m|=4，解得|m|=1，∴-1

評注：對于圓錐曲線的概念和性質(zhì)要準確把握，其中雙曲線的實軸長、虛軸長，橢圓的長軸長、短軸長及焦距分別對應是哪些量是易錯點，再有，橢圓、雙曲線及拋物線的方程要先確定焦點位置，再確定基本量.

易錯剖析二：知識交匯處轉(zhuǎn)化不準確致錯

例3直線xsinα+y+2=0的傾斜角的取值范圍是.

錯解：設直線的傾斜角為θ，則有tanθ=-sinα.因為sinα∈[-1，1]，所以-1≤tanθ≤1，所以-π4≤θ≤π4.

錯因分析：上述錯解中不理解直線傾斜角的概念，其范圍應該是θ∈[0，π），再有要善于用正切函數(shù)的圖像解題.

正解：設直線的傾斜角為θ，則有tanθ=-sinα.因為sinα∈[-1，1]，所以-1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.

評注：根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性.

易錯剖析三：選用直線方程時沒有考慮其適用條件致錯

例4經(jīng)過點P（-5，-4），且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是.

錯解：由題意，設所求方程為y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.

由12·（5k-4）·（4k-5）=5得，k=85，故所求直線方程為8x-5y+20=0.

錯因分析：截距概念模糊不清，誤將直線在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”.事實上，直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為12·|5k-4|·|4k-5|，而不是12·（5k-4）·（4k-5）.

正解：由題意設所求方程為y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.

由12·|5k-4|·|4k-5|=5得，k=85或k=25.

故所求直線方程為8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.

點評：“距離”與“截距”、兩直線夾角與到角等基本概念，看似基礎(chǔ)，實則涉及到一類問題的本質(zhì)，易致錯.

例5過點（3，3）且橫、縱截距相等的直線方程.

錯解：設所求方程為xa+ya=1，將（3，3）代入得a=6，得直線方程為x+y-6=0.

錯因分析：上述錯解所設方程為xa+ya=1，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實上，橫、縱截距為0且過點（3，3）的直線y=x也符合條件，主要審題不嚴致錯.

正解：x+y-6=0或x-y=0.

例6過點P（2，4）引圓（x-1）2+（y-1）2=1的切線，則切線方程為.

錯解：當直線的斜率存在時，設直線方程為y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，

即d=|k-1+4-2k|k2+（-1）2=|3-k|k2+1=1，

解得k=43，

∴所求切線方程為43x-y+4-2×43=0，

即4x-3y+4=0.

綜上，切線方程為4x-3y+4=0.

錯因分析：選用直線的點斜式方程時沒有考慮斜率不存在的情形.

正解：在上述解的基礎(chǔ)上，再討論當直線的斜率不存在時，直線方程為x=2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；綜上，切線方程為x=2或4x-3y+4=0.

點評：直線方程的五種形式中，每種形式都有其適用條件，忽視斜率不存在或零截距的情況，是很多學生經(jīng)常犯的錯誤.當含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.如本題中，要關(guān)注過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解.

易錯剖析四：使用公式時沒有考慮公式適用的大前提

例7直線x+y+2=0與2x+2y+1=0之間的距離是.

錯解：用公式d=|2-1|2=22.

錯因分析：本題的“陷阱”是兩平行直線的距離公式使用的大前提是兩直線方程中x，y對應項的系數(shù)要相等.

正解：先將2x+2y+1=0化為x+y+12=0，

則兩平行線間的距離為d=|2-12|2=324.

例8直線l過點P（-1，2）且到點A（2，3）和點B（-4，5）的距離相等，則直線l的方程為.

錯解：思路一：設直線l的方程為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.

由題意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1，

即|3k-1|=|-3k-3|，∴k=-13.

∴直線l的方程為y-2=-13（x+1），

即x+3y-5=0.

思路二：由題意可知AB∥l時，有k=kAB=-13，直線l的方程為y-2=-13（x+1），即x+3y-5=0.

錯因分析：思路一沒有考慮斜率不存在的情形，思路二從形出發(fā)只考慮了一種情形.

正解：思路一：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.

由題意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1，

即|3k-1|=|-3k-3|，∴k=-13.

∴直線l的方程為y-2=-13（x+1），

即x+3y-5=0.

當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1，也符合題意.

思路二：當AB∥l時，有k=kAB=-13，直線l的方程為y-2=-13（x+1），即x+3y-5=0.

當l過AB中點時，AB的中點為（-1，4）.

∴直線l的方程為x=-1.

故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.

評注：利用距離公式應注意：①點P（x0，y0）到直線x=a的距離d=|x0-a|，到直線y=b的距離d=|y0-b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為對應相等.

例9過直線2x+y+4=0和圓（x+1）2+（y-2）2=4的交點，并且面積最小的圓的方程為.

錯解：設所求圓的方程為（x+1）2+（y-2）2-4+k（2x+y+4）=0，

即x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0，

所求圓的半徑

r=（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）

=125k2-16k+16.

顯然，當k=--1610，即k=85時，5k2-16k+16有最小值165，此時，圓的半徑最小，從而面積最小.故所求的圓的方程為x2+y2+265x-125y+375=0.

錯因分析：本題的“陷阱”是方程x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0表示圓的充要條件，上述解法忽視了k的限制條件（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）>0.

正解：設所求圓的方程為（x+1）2+（y-2）2-4+k（2x+y+4）=0，

即x2+y2+2（k+1）x+（k-4）y+1+4k=0，

化為圓的標準方程得[x+（k+1）]2+[y+12（k-4）]2=（k+1）2+14（k-4）2-（4k+1），

由（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）>0，得5k2-16k+16>0，

此時，所求圓的半徑

r=（k+1）2+14（k-4）2-（1+4k）

=125k2-16k+16.

顯然，當k=--1610，即k=85時，5k2-16k+16有最小值165，此時，圓的半徑最小，從而面積最小.故所求的圓的方程為x2+y2+265x-125y+375=0.

評注：審題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是挖掘方程表示圓的充要條件，理清條件間錯綜復雜的關(guān)系.審題不清，是解析幾何解題的大忌.

易錯剖析五：忽視定義中的限制條件致錯

例10已知定圓C1：（x+3）2+y2=1，圓C2：（x-3）2+y2=9，動圓M同時與定圓C1，C2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程.

錯解：由C1：（x+3）2+y2=1，C2：（x-3）2+y2=9，

設圓M半徑為r，則MC1=1+r，MC2=3+r，

故MC2-MC1=2<|C1C2|=6，知M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線，

且2a=2，a=1，c=3；b2=c2-a2=8，

故M的軌跡方程為：x2-y28=1.

錯因分析：上述解法將MC2-MC1=2看成|MC1-MC2|=2，誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致.

正解：在上述解法中添加：由于MC2-MC1=2，知MC2>MC1，點M的軌跡是雙曲線的左支，故M的軌跡方程為：x2-y28=1（x<0）.

評注：直線與圓、圓錐曲線的定義，看似基礎(chǔ)，實則涉及到一類問題的本質(zhì)，如果不注意一些限制條件，容易致錯.

易錯剖析六：題設轉(zhuǎn)化時不等價致錯

例11已知圓（x-a）2+y2=1與圓x2+y2=25沒有公共點，則正數(shù)a的取值范圍是.

錯解：由題意可知，兩圓相離，所以圓心距a2>1+5，又a>0，所以a>6.

錯因分析：兩圓沒有公共點，除了兩圓相離，還可以是兩圓內(nèi)含.endprint

正解：由題意可知，兩圓相離或內(nèi)含，所以a2>1+5或a2<5-1，所以06.

評注：在研究兩圓位置關(guān)系時，要關(guān)注題設條件的等價轉(zhuǎn)化，如兩圓沒有公共點，兩圓可以是外離或內(nèi)含；再如兩圓相切，可以是外切也可以是內(nèi)切.

易錯剖析七：偏重技巧忽視本質(zhì)致錯

例12已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的任意一點到它的兩個焦點（-c，0），（c，0）的距離之和為22，且它的焦距為2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點不在圓x2+y2=59內(nèi)，求m的取值范圍.

錯解：（1）依題意可知2a=22，2c=2.

又b2=a2-c2，解得a=2，b=1.

則橢圓C的方程為x22+y2=1.

（2）聯(lián)立方程x22+y2=1，x-y+m=0，消去y整理得3x2+4mx+2m2-2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-4m3，y1+y2=x1+x2+2m=-4m3+2m=2m3，

即AB的中點為（-2m3，m3）.

又∵AB的中點不在圓x2+y2=59內(nèi)，

∴4m29+m29=5m29≥59，

解得m≤-1或m≥1.

錯因分析：本題第（2）問中忽視了大前提：必需兩根都存在，要用判別式去檢驗，即Δ=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）>0，是致錯的根本原因.

正解：（2）聯(lián)立方程x22+y2=1，x-y+m=0，消去y整理得3x2+4mx+2m2-2=0.

則Δ=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）>0，

解得-3

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-4m3，

y1+y2=x1+x2+2m=-4m3+2m=2m3，

即AB的中點為（-2m3，m3）.

又∵AB的中點不在圓x2+y2=59內(nèi)，

∴4m29+m29=5m29≥59，

解得m≤-1或m≥1.②

由①②得，-3

故m的取值范圍為（-3，-1]∪[1，3）.

評注：在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，通過聯(lián)立方程組，用判別式來判別解的情況是前提.一些技巧性的解法，雖簡化了過程，但忽視了本質(zhì)，易致錯.

同學們，在解決解析幾何問題時，首先要理解直線、圓和橢圓的定義，要理解其方程的結(jié)構(gòu)特征，掌握其幾何性質(zhì)，要充分理解概念，掌握基本方法.高三一輪復習是一個見微知漸的過程，希望通過錯誤的剖析引導同學辨析正誤.在解析幾何的復習中，狠抓三基，不斷對相應題型作出歸納總結(jié)，定能取得很好的效果.

（作者：王小青，江蘇省如皋中學）